Grupa Nerona-Severiego - Néron–Severi group

W geometrii algebraicznej The grupa Nerón-Severi o różnych oznacza grupę dzielników modulo algebraiczną równoważne ; Innymi słowy jest to grupa elementów na schemacie Picard odmiany. Jej ranga nazywana jest liczbą Picarda . Jego nazwa pochodzi od Francesco Severiego i André Néron .

Definicja

W przypadkach o największym znaczeniu dla klasycznej geometrii algebraicznej, dla pełnej odmiany V, która nie jest osobliwa , spójną składową schematu Picarda jest rozmaitość abelowa zapisana

Rys. ⁰ ( V ).

Iloraz

Pic( V )/Pic ⁰ ( V )

jest grupa przemienna NS ( V ), zwany grupą Nerón-Severi z V . Jest to skończenie generowana grupa abelowa według twierdzenia Nerona-Severiego, co zostało udowodnione przez Severiego na liczbach zespolonych i przez Nerona na bardziej ogólnych polach.

Innymi słowy, grupa Picard pasuje do dokładnej sekwencji

${\ Displaystyle 1 \ do \ operatorname {rys} ^ {0} (V) \ do \ operatorname {rys} (V) \ do \ operatorname {NS} (V) \ do 0}$

Fakt, że pozycja jest skończonych Francesco Severi jest twierdzenie podstawy ; rangę jest liczba Picard z V , często oznaczone ρ ( V ). Elementy porządku skończonego nazywane są dzielnikami Severiego i tworzą skończoną grupę, która jest niezmiennikiem binarodowym i której porządek nazywa się liczbą Severi . Geometrycznie NS( V ) opisuje algebraiczne klasy równoważności dzielników na V ; to znaczy, używając silniejszej, nieliniowej relacji równoważności zamiast liniowej równoważności dzielników , klasyfikacja staje się podatna na dyskretne niezmienniki. Równoważność algebraiczna jest ściśle powiązana z równoważnością numeryczną , zasadniczo topologiczną klasyfikacją według liczb przecięcia .

Pierwsza klasa Cherna i 2-kocykle o wartości całkowitej

Wykładniczy sekwencja wiązka

${\ Displaystyle 0 \ do 2 \ pi ja \ mathbb {Z} \ do {\ mathcal {O}} _ {V} \ do {\ mathcal {O}} _ {V} ^ {*} \ do 0}$

daje początek długiej, dokładnej sekwencji, w której występuje

${\ Displaystyle \ cdots \ do H ^ {1} (V {\ mathcal {O}} _ {V} ^ {*}) \ do H ^ {2} (V \ mathbb {Z}) \ do H ^{2}(V,{\mathcal {O}}_{V})\to \cdots .}$

Pierwsza strzałka to pierwsza klasa Chern w grupie Picard

${\ Displaystyle C_ {1} \ dwukropek \ operatorname {Pic} (V) \ do H ^ {2} (V \ mathbb {Z})}$

a grupę Neron-Severi można utożsamić z jej wizerunkiem. Równoważnie, pod względem dokładności, grupa Neron-Severi jest jądrem drugiej strzałki

${\ Displaystyle \ exp ^ {*} \ dwukropek H ^ {2} (V, 2i \ pi \ mathbb {Z}) \ do H ^ {2} (V {\ mathcal {O}} _ {V}) .}$

W przypadku złożonym grupa Nerona-Severiego jest zatem grupą 2-kocykli, których dual Poincaré jest reprezentowany przez złożoną hiperpowierzchnię, czyli dzielnik Weila .

Dla złożonych tori

Złożone tori są wyjątkowe, ponieważ mają wiele równoważnych definicji grupy Neron-Severi. Jedna definicja wykorzystuje swoją złożoną strukturę do definicji ^str . ³⁰ . Dla złożonego torusa , gdzie jest złożoną wektorową przestrzenią wymiaru i jest siatką o osadzeniu rzędów w , pierwsza klasa cherna umożliwia identyfikację grupy Nerona-severiego z grupą form hermitowskich na takiej, że${\ Displaystyle X = V/\ Lambda}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Lambda}$${\displaystyle 2n}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle c_{1}}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle {\ tekst {im}} H (\ Lambda \ Lambda) \ podseteq \ mathbb {Z}}$

Zauważ, że jest to przemienna forma całkowa na siatce . ${\ Displaystyle {\ tekst {im}} H}$${\ Displaystyle \ Lambda}$

Zobacz też

• Złożony torus

Bibliografia

• VA Iskovskikh (2001) [1994], "Néron-Severi group" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• A. Neron, Problèmes arithmétiques et géometriques attaché à la conception de rang d'une courbe algébrique dans un corps Bull. Soc. Matematyka. Francja, 80 (1952) s. 101-166
• A. Néron, La théorie de la base pour les diviseurs sur les variétés algébriques , Coll. Geom. Alg. Liège, G. Thone (1952) s. 119-126
• F. Severi, La base per le varietà algebriche di qualunque contenute in una data e la teoria generale delle corrispondénze fra i punti di due superficie algebriche Mem. Accad. Ital., 5 (1934) s. 239–283