Teoria Seiberga-Wittena - Seiberg–Witten theory

W fizyce teoretycznej , teoria Seiberg-Witten teoria, że wyznacza dokładną niskoenergetycznego skutecznego działania (na bezmasowych stopni swobody) z supersymetryczne miernik teorii mianowicie metryką moduły przestrzeni o zmniejszonym ciśnieniem. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}} = 2}$

krzywe Seiberga-Wittena

Ogólnie rzecz biorąc, efektywne Lagrange'y teorii z cechowaniem supersymetrycznym są w dużej mierze zdeterminowane przez ich właściwości holomorficzne i zachowanie w pobliżu osobliwości. W szczególności, w teorii cechowania z rozszerzoną supersymetrią , przestrzeń modułowa próżni jest specjalną rozmaitością Kählera, a jej potencjał Kählera jest ograniczony powyższymi warunkami. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}} = 2}$

W pierwotnym podejściu Seiberga i Wittena ograniczenia holomorficzne i dualności elektryczno-magnetycznej są wystarczająco silne, aby niemal jednoznacznie ograniczyć prepotencjał, a zatem metrykę przestrzeni moduli próżni, dla teorii z grupą cechowania. ${\displaystyle SU(2)}$

Bardziej ogólnie, rozważmy przykład z grupą mierników SU(n). Klasyczny potencjał to

${\ Displaystyle V (x) = {\ Frac {1} {g ^ {2}}} \ nazwa operatora {Tr} [\ phi , {\ bar {\ phi }}] ^ {2} \,}$

( 1 )

To znika w przestrzeni moduli, więc wartość oczekiwaną próżni może być obrócona do podalgebry Cartana, co czyni ją bezśladową ukośną złożoną macierzą . ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle a}$

Ponieważ pola nie mają już oczekiwanej wartości znikającej próżni , inne pola stają się ciężkie z powodu efektu Higgsa. Są one integrowane w celu znalezienia efektywnej teorii cechowania abelowego. Jego dwupochodne, czterofermionowe działanie niskoenergetyczne można wyrazić w postaci pojedynczej funkcji holomorficznej w następujący sposób: ${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}} = 2}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi}}\operator {im} {\Bigl [}\int d^{4}\theta {\frac {d{\mathcal {f}}}{dA} }{\bar {A}}+\int d^{2}\theta {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\mathcal {F}}}{dA^{2 }}}W_{\alpha }W^{\alpha }{\Bigr ]}\,}$

( 3 )

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {i}{2\pi}}{\mathcal {A}}^{2}\operatorname {\ln} {\frac {{\mathcal {A} }^{2}}{\Lambda ^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{k}{\frac {\Lambda ^{4k} }{{\mathcal {A}}^{4k}}}{\mathcal {A}}^{2}\,}$

( 4 )

Pierwszy termin to obliczenie pętli perturbacyjnej, a drugi to część instanton, w której określa się stałe liczby instantonów. W teoriach, których grupy cechowania są produktami grup unitarnych, można je dokładnie obliczyć przy użyciu technik lokalizacji i kształtu granicznego. ${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Z tego możemy uzyskać masę cząstek BPS . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle M \ około | na + ma_ {D} | \,}$

( 5 )

${\ Displaystyle a_ {D} = {\ Frac {d {\ mathcal {F}}} {da}} \,}$

( 6 )

Jednym ze sposobów interpretacji tego jest to, że te zmienne i ich dualność można wyrazić jako okresy meromorficznej różniczki na powierzchni Riemanna zwanej krzywą Seiberga-Wittena. ${\displaystyle a}$

Związek z integrowalnymi systemami

Specjalną geometrię Kählera na przestrzeni moduli próżni w teorii Seiberga-Wittena można utożsamić z geometrią bazy złożonego układu całkowicie całkowalnego . Całą fazę tego złożonego, całkowicie całkowalnego układu można utożsamić z przestrzenią moduli próżni teorii 4D zwartej na okręgu. Relacja między teorią Seiberga-Wittena a systemami całkowalnymi została omówiona przez Erica D'Hokera i DH Phonga . Zobacz system Hitchin .

Seiberg-Witten prepotencjał poprzez zliczanie instanton

Stosując techniki lokalizacji supersymetrycznej, można wyraźnie określić funkcję podziału instantonu w teorii super Yanga-Millsa. Prepotencjał Seiberga-Wittena można następnie wydobyć za pomocą podejścia lokalizacyjnego Nikity Niekrasowa . Powstaje w granicy płaskiej przestrzeni , , funkcji podziału teorii podlegającej tzw . Ta ostatnia jest specyficznym tłem czterowymiarowej supergrawitacji. Można go formalnie zaprojektować, podnosząc teorię super Yanga-Millsa do sześciu wymiarów, a następnie kompaktując na 2 torusach, jednocześnie skręcając czterowymiarową czasoprzestrzeń wokół dwóch niekurczliwych cykli. Ponadto skręca się fermiony, aby wytworzyć kowariancyjnie stałe spinory generujące nieprzerwane supersymetrie. Te dwa parametry , z -background odpowiadają kątów obrotu czasoprzestrzeni. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}} = 2}$${\displaystyle \varepsilon_{1}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {2} \ do 0}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}} = 2}$${\displaystyle \varepsilon_{1}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {2}}$${\ Displaystyle \ Omega}$

W tle Ω możemy całkować wszystkie niezerowe mody, dzięki czemu całka ścieżki z warunkiem brzegowym w może być wyrażona jako suma po liczbie chwilowej produktów i stosunków wyznaczników fermionowych i bozonowych, tworząc tzw. Funkcja podziału Niekrasowa . W limicie, gdzie , zbliżając się do 0, suma ta jest zdominowana przez unikalny punkt siodłowy. Z drugiej strony, kiedy , podejść 0, ${\ Displaystyle \ phi \ do}$${\displaystyle x\do \infty}$${\displaystyle \varepsilon_{1}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {2}}$${\displaystyle \varepsilon_{1}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {2}}$

${\ Displaystyle Z (a; \ varepsilon _ {1}, \ varepsilon _ {2}, \ Lambda ) = \ exp \ lewo (- {\ Frac {1} {\ varepsilon _ {1} \ varepsilon _ {2} }}\left({\mathcal {F}}(a;\Lambda )+{\mathcal {O}}(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})\right)\right)\,}$

( 10 )

trzyma.

Zobacz też

• teoria Ginzburga-Landaua

Bibliografia

• Jost, Jürgen (2002). Geometria riemannowska i analiza geometryczna . Springer-Verlag. Numer ISBN 3-540-42627-2.( Patrz rozdział 7.2 )

Zewnętrzne linki

• Seiberg, N.; Witten, E. (1994). „Dualność elektromagnetyczna, kondensacja monopolowa i zamknięcie w supersymetrycznej teorii Yanga-Millsa N = 2”. Fizyka Jądrowa B . 426 : 19-52. arXiv : hep-th/9407087 . doi : 10.1016/0550-3213(94)90124-4 . S2CID  14361074 .