Całka Dirichleta - Dirichlet integral

Część serii artykułów o
Rachunek różniczkowy
Twierdzenie podstawowe integralna reguła Leibniza Granice funkcji Ciągłość Twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie Rolle'a
Mechanizm różnicowy Definicje Pochodna  ( uogólnienia ) Mechanizm różnicowy nieskończenie mały funkcji całkowity Koncepcje Notacja różniczkowa Druga pochodna Niejawne zróżnicowanie Różnicowanie logarytmiczne Powiązane stawki Twierdzenie Taylora Zasady i tożsamości Suma Produkt Łańcuch Moc Iloraz Zasada L'Hôpital Odwrotność Generał Leibniz Formuła Faà di Bruno Reynoldsa
Całka Listy całek Transformacja całkowa Definicje Pochodna pierwotna Całka  ( niewłaściwa ) Całka Riemanna Integracja Lebesgue'a Integracja konturu Całka funkcji odwrotnych Integracja przez Części Dyski Cylindryczne muszle Podstawienie  ( trygonometryczne , Weierstrassa , Eulera ) Wzór Eulera Frakcje częściowe Zmiana kolejności Formuły redukcyjne Różniczkowanie pod znakiem całkowym Algorytm Richa
Seria Geometryczny  ( arytmetyczno-geometryczny ) Harmoniczny Zmienny Moc Dwumianowy Taylor Testy konwergencji Limit sumy (test terminowy) Stosunek Źródło Całka Bezpośrednie porównanie Porównanie limitów Seria naprzemienna Kondensacja Cauchy'ego Dirichlet Abel
Wektor Gradient Rozbieżność Kędzior Laplace'a Kierunkowa pochodna Tożsamości Twierdzenia Gradient Warzywa Stokesa Rozbieżność uogólniony Stokes
Wiele zmiennych Formalizmy Matryca Napinacz Zewnętrzny Geometryczny Definicje Częściowa pochodna Wielokrotna całka Całka liniowa Całka powierzchniowa Całka objętości Jakobian heski
Specjalistyczne Frakcyjny Maliavin Stochastyczny Wariacje
Różnorodny Wstępny rachunek różniczkowy Historia Słowniczek Lista tematów Pszczoła integracyjna Analiza
v T mi

W matematyce , istnieje kilka Całki znane jako całka Dirichleta po niemiecki matematyk Peter Gustav Lejeune Dirichleta , z których jeden jest całka niewłaściwa z sinc funkcji na dodatniej realnej linii:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin x} {x}} \ dx = {\ Frac {\ pi} {2}}.}$

Ta całka nie jest absolutnie zbieżna , co oznacza, że nie jest całkowalna Lebesgue'a, a więc całka Dirichleta jest niezdefiniowana w sensie całkowania Lebesgue'a . Jest jednak definiowana w sensie całki niewłaściwej Riemanna lub uogólnionej całki Riemanna lub Henstocka–Kurzweila . Można to zobaczyć za pomocą testu Dirichleta dla całek niewłaściwych . Wartość całki (w sensie Riemanna lub Henstocka) można wyprowadzić na różne sposoby, w tym transformatę Laplace'a, całkowanie podwójne, różniczkowanie pod znakiem całki, całkowanie konturowe i jądro Dirichleta. ${\ Displaystyle {\ Biggl |} {\ Frac {\ sin x} {x}} {\ Biggl |}}$

Ocena

Transformata Laplace'a

Niech będzie funkcją zdefiniowaną, gdy . Wtedy jego transformata Laplace'a jest dana przez ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} = F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} f (t) \ dt}$

jeśli istnieje całka.

Własnością transformaty Laplace'a przydatną do oceny całek niewłaściwych jest

${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} {\ Biggl [}{\ Frac {f (t)} {t}} {\ Biggl]} = \ int _ {s} ^ {\ infty} F (u) \ ,du,}$

pod warunkiem, że istnieje. ${\ Displaystyle \ Lim _ {t \ Rightarrow 0} {\ Frac {f (t)} {t}}}$

W dalszej części potrzebny jest wynik , który jest transformatą Laplace'a funkcji (patrz rozdział „Różnicowanie pod znakiem całki” dla wyprowadzenia) oraz wersja twierdzenia Abela (konsekwencja twierdzenia o wartości końcowej dla przekształcenie Laplace'a ). ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ sin t \} = {\ Frac {1} {s ^ {2} + 1}}}$${\displaystyle \sin t}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \ dt & = \ lim _ {s \ rightarrow 0} \ int _ {0 }^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\lim _{s\rightarrow 0}{\mathcal {L}}{\Biggl [}{ \frac {\sin t}{t}}{\Biggl]}\\[6pt]&=\lim _{s\rightarrow 0}\int _{s}^{\infty }{\frac {du}{ u^{2}+1}}=\lim _{s\rightarrow 0}\arctan u{\Biggl |}_{s}^{\infty }\\[6pt]&=\lim _{s\rightarrow 0}{\Biggl [}{\frac {\pi }{2}}-\arctan(s){\Biggl ]}={\frac {\pi }{2}}.\end{wyrównany}}}$

Podwójna integracja

Obliczenie całki Dirichleta za pomocą transformaty Laplace'a jest równoważne obliczeniu tej samej podwójnej całki oznaczonej poprzez zmianę kolejności całkowania , a mianowicie

${\ Displaystyle \ lewo (I_ {1} = \ inft _ {0} ^ {\ infty } \ infty _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} \ sin t \ dt \ ds \ prawej )=\left(I_{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,ds\,dt\right) ,}$

${\ Displaystyle \ lewo (I_ {1} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {s ^ {2} +1}} \, ds = {\ Frac {\ pi} 2}}\right)=\left(I_{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt\right),{\text{ podano }}s>0.}$

Różniczkowanie pod znakiem całkowym (sztuczka Feynmana)

Najpierw przepisz całkę jako funkcję dodatkowej zmiennej , a mianowicie transformatę Laplace'a . Więc pozwól ${\displaystyle s}$${\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}$

${\ Displaystyle f (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} {\ Frac {\ sin t} {t}} \ dt.}$

Aby obliczyć całkę Dirichleta, musimy określić . Ciągłość można uzasadnić, stosując zdominowane twierdzenie o zbieżności po całkowaniu przez części. Rozróżnij w odniesieniu do i zastosuj regułę Leibniza do różnicowania pod znakiem całkowym w celu uzyskania ${\ Displaystyle f (0)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s>0}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {df} {ds}} i = {\ Frac {d} {ds}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} {\ frac {\sin t}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {\częściowy }{\częściowy s}}e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,dt.\end{aligned}}}$

Teraz, korzystając ze wzoru Eulera, można wyrazić funkcję sinus w postaci złożonych wykładników: ${\ Displaystyle e ^ {to} = \ cos t + ja \ sin t}$

${\ Displaystyle \ sin t = {\ Frac {1} {2i}} \ lewo (e ^ {to} -e ^ {-to} \ prawej).}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {df} {ds}} i = - \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} \ sin t \, dt = - \ int _ {0}^{\infty }e^{-st}{\frac {e^{it}-e^{-it}}{2i}}dt\\[6pt]&=-{\frac {1} {2i}}\int _{0}^{\infty }\left[e^{-t(si)}-e^{-t(s+i)}\right]dt\\[6pt]&= -{\frac {1}{2i}}\left[{\frac {-1}{si}}e^{-t(si)}-{\frac {-1}{s+i}}e^ {-t(s+i)}\right]{\Biggl |}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left[0-\ left({\frac {-1}{si}}+{\frac {1}{s+i}}\right)\right]=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {1}{si}}-{\frac {1}{s+i}}\right)\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {s+ i-(si)}{s^{2}+1}}\right)=-{\frac {1}{s^{2}+1}}.\end{aligned}}}$

Integracja w stosunku do dawania ${\displaystyle s}$

${\ Displaystyle f (s) = \ int {\ Frac {-ds} {s ^ {2} + 1}} = A-\ arctan s}$

gdzie należy określić stałą całkowania. Ponieważ używam głównej wartości. Oznacza to, że dla${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ Lim _ {s \ do \ infty} f (s) = 0,}$ ${\ Displaystyle A = \ lim _ {s \ do \ infty} \ arctan s = {\ Frac {\ pi} {2}}}$${\displaystyle s>0}$

${\ Displaystyle f (s) = {\ Frac {\ pi} {2}} - \ arctan s.}$

Wreszcie, przez ciągłość w , mamy , jak poprzednio. ${\displaystyle s=0}$${\ Displaystyle f (0) = {\ Frac {\ pi } {2}} - \ arctan (0) = {\ Frac {\ pi } {2}}}$

Kompleksowa integracja

Ten sam wynik można uzyskać przez złożoną integrację. Rozważać

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {e ^ {iz}} {z}}.}$

W funkcji zmiennej zespolonej , ma ona w początku prosty biegun, co uniemożliwia zastosowanie lematu Jordana , którego inne hipotezy są spełnione. ${\displaystyle z}$

Zdefiniuj następnie nową funkcję

${\ Displaystyle g (z) = {\ Frac {e ^ {iz}} {z + i \ varepsilon}}.}$

Biegun został odsunięty od rzeczywistej osi, dzięki czemu można go zintegrować wzdłuż półokręgu o promieniu wyśrodkowanym i zamkniętym na rzeczywistej osi. Jeden wtedy osiąga granicę . ${\displaystyle g(z)}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle z=0}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ rightarrow 0}$

Całka zespolona wynosi zero według twierdzenia o resztach, ponieważ w ścieżce całkowania nie ma biegunów

${\ Displaystyle 0 = \ int _ {\ gamma} g (z) \ dz = \ int _ {-R} ^ {R} {\ Frac {e ^ {ix}} {x + i \ varepsilon}} \ ,dx+\int _{0}^{\pi }{\frac {e^{i(Re^{i\theta }+\theta )}}{Re^{i\theta }+i\varepsilon }}iR \,d\theta .}$

Drugi termin znika w nieskończoność. Jeśli chodzi o pierwszy całki, można użyć jednej wersji twierdzenia Sokhotski-Plemelj do Całki w prostej: dla złożonych funkcji -valued f określony i w sposób ciągły różniczkowalną na prostej i rzeczywistych stałych a z znajdujemy ${\ Displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a<0<b}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ do 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ Frac {f (x)} {x \ pm ja \ varepsilon}} \ dx = \ mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,}$

gdzie oznacza wartość główną Cauchy'ego . Wracając do powyższych pierwotnych obliczeń, można napisać ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\ Displaystyle 0 = {\ mathcal {P}} \ int {\ Frac {e ^ {ix}} {x}} \ dx-\ pi ja.}$

Biorąc część urojoną po obu stronach i zauważając, że funkcja jest parzysta, otrzymujemy ${\ Displaystyle \ sin (x) / x}$

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ dx = 2 \ inft _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\sin(x)}{x}}\,dx.}$

Wreszcie,

${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx = \ int _ {0} ^ {\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Alternatywnie, wybierz jako kontur integracji dla połączenia górnych półokręgów półpłaszczyznowych o promieniach i razem z dwoma odcinkami linii rzeczywistej, które je łączą. Z jednej strony całka konturowa wynosi zero, niezależnie od i ; z drugiej strony, jak i część urojona całki zbiega się do (tutaj jest dowolna gałąź logarytmu na górnej półpłaszczyźnie), prowadząc do . ${\displaystyle f}$${\displaystyle \varepsilon}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle \varepsilon}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ do 0}$${\displaystyle R\do \infty}$${\ Displaystyle 2I + \ Im {\ duży (} \ ln 0-\ ln (\ pi i) {\ duży )} = 2I-\ pi}$${\ Displaystyle \ ln z}$${\ Displaystyle I = {\ Frac {\ pi} {2}}}$

Jądro Dirichleta

Pozwolić

${\ Displaystyle D_ {n} (x) = 1 + 2 \ suma _ {k = 1} ^ {n} \ cos (2kx) = {\ Frac {\ sin [(2n + 1) x]} {\ grzech (x)}}}$

być jądrem Dirichleta .

Od razu wynika, że${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2}} D_ {n} (x) dx = {\ Frac {\ pi} {2}}.}$

Definiować

${\ Displaystyle f (x) = {\ zacząć {przypadki} {\ Frac {1} {x}} - {\ Frac {1} {\ sin (x)}} & x \ neq 0 \ \ [ 6pt] 0 & x = 0\end{przypadki}}}$

Oczywiście jest ciągła, gdy , aby zobaczyć jej ciągłość w 0, zastosuj Regułę L'Hopitala : ${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in (0,\pi /2]}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do 0} {\ Frac {\ sin (x) x} {x \ sin (x)}} = \ lim _ {x \ do 0} {\ Frac {\ cos ( x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-\sin(x)}{2\cos(x)-x \sin(x)}}=0.}$

Tym samym spełnia wymagania lematu Riemanna-Lebesgue'a . To znaczy ${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ lambda \ do \ infty} \ int _ {0} ^ {\ pi /2} f (x) \ sin (\ lambda x) dx = 0 \ prawostrzałka \ lim _ {\ lambda \ do \infty }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(\lambda x)}{x}}dx=\lim _{\lambda \to \infty }\int _{ 0}^{\pi /2}{\frac {\sin(\lambda x)}{\sin(x)}}dx.}$

(Użyta tu forma lematu Riemanna-Lebesgue'a została udowodniona w cytowanym artykule.)

Chcielibyśmy to powiedzieć

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (t)} {t}} dt = i \ lim _ {\ lambda \ do \ infty} \ int _{0}^{\lambda {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(t)}{t}}dt\\[6pt]=&\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(\lambda x)}{x}}dx\\[6pt]=&\lim _{\ lambda \to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(\lambda x)}{\sin(x)}}dx\\[6pt] =&\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin((2n+1)x)}{\sin(x )}}dx\\[6pt]=&\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}D_{n}(x)dx={\ szczelina {\pi }{2}}\end{wyrównana}}}$

W tym celu jednak musimy uzasadnić przełączenie granicy rzeczywistej z na granicę całkową w . Jest to w rzeczywistości uzasadnione, jeśli możemy pokazać, że granica istnieje, co robimy teraz. ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle n}$

Korzystając z integracji przez części , mamy:

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ Frac {\ sin (x)} {x}} dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ Frac {d (1-\ cos () x))}{x}}dx=\lewo.{\frac {1-\cos(x)}{x}}\prawo|_{a}^{b}+\int _{a}^{b }{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}dx}$

Teraz, jak i termin po lewej zbiegają się bez problemu. Zobacz listę granic funkcji trygonometrycznych . Pokazujemy teraz, że jest to całkowicie całkowalna, co oznacza, że ​​istnieje granica. ${\displaystyle a\do 0}$${\displaystyle b\do \infty}$${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {1-\ cos (x)} {x ^ {2}}} dx}$

Najpierw staramy się związać całkę w pobliżu początku. Wykorzystując rozwinięcie cosinusa w szereg Taylora o zero,

${\ Displaystyle 1- \ cos (x) = 1 - \ suma _ {k \ geq 0} {\ Frac {x ^ {2 k}} {2 k!}} = - \ suma _ {k \ geq 1} {\ frac {x^{2k}}{2k!}}.}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {1-\ cos (x)} {x ^ {2}}} \ prawo | = \ lewo | - \ suma _ {k \ geq 0} {\ Frac {x ^ { 2k}}{2(k+1)!}}\right|\leq \sum _{k\geq 0}{\frac {|x|^{k}}{k!}}=e^{|x |}.}$

Dzieląc całkę na kawałki, mamy

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ lewo | {\ Frac {1-\ cos (x)} {x ^ {2}}} \ prawej | dx \ leq \ int _ {- \infty }^{-\varepsilon }{\frac {2}{x^{2}}}dx+\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{|x|}dx+\int _{\ varepsilon }^{\infty }{\frac {2}{x^{2}}}dx\leq K,}$

dla jakiegoś stałego . To pokazuje, że całka jest całkowicie całkowalna, co oznacza, że ​​istnieje całka pierwotna, a przejście z na było w rzeczywistości uzasadnione, a dowód jest kompletny. ${\ Displaystyle K> 0}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle n}$

Zobacz też

• Dystrybucja Dirichleta
• Zasada Dirichleta
• Funkcja Sinc
• Całka Fresnela

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Całki Dirichleta” . MatematykaŚwiat .