Funkcja sinc - Sinc function

W matematyce , fizyce i technice , funkcja sinc , oznaczana przez sinc( x ) , ma dwie formy, znormalizowaną i nieznormalizowaną.

Znormalizowana funkcja sinc (kolor niebieski) i nieznormalizowana funkcja sinc (kolor czerwony) pokazane na tej samej skali
Sinc działa jako dźwięk, przy 2000 Hz (±1,5 sekundy wokół zera).

W matematyce historyczna nieznormalizowana funkcja sinc jest zdefiniowana dla x ≠ 0 by

Alternatywnie, nieznormalizowana funkcja sinc jest często nazywana funkcją próbkowania , oznaczoną jako Sa( x ).

W cyfrowym przetwarzaniu sygnałów i teorii informacji The funkcja sinc znormalizowane jest zwykle określony dla x ≠ 0 o

W każdym przypadku wartość przy x = 0 jest zdefiniowana jako wartość graniczna

dla wszystkich rzeczywistych a ≠ 0 .

Normalizacja powoduje całki funkcji na liczb rzeczywistych na wartość 1 (podczas gdy sam całką funkcji nieznormalizowanych sinc ma wartość Õ ). Kolejną użyteczną właściwością jest to, że zera znormalizowanej funkcji sinc są niezerowymi wartościami całkowitymi x .

Znormalizowana funkcja sinc jest transformaty Fouriera z funkcji prostokątnej bez skalowania. Jest używany w koncepcji rekonstrukcji ciągłego sygnału o ograniczonym paśmie z równomiernie rozmieszczonych próbek tego sygnału.

Jedyna różnica między tymi dwiema definicjami polega na skalowaniu zmiennej niezależnej ( x ) przez współczynnik π . W obu przypadkach wartość funkcji w usuwalnej osobliwości w punkcie zero jest rozumiana jako wartość graniczna 1. Funkcja sinc jest zatem wszędzie analityczna, a zatem cała funkcja .

Termin sinc / s ɪ ŋ k / został wprowadzony przez Philipa M. Woodward w 1952 jego artykule „teoria informacji i odwrotność prawdopodobieństwa w telekomunikacji”, w którym powiedział, że funkcja „występuje tak często w analizie Fouriera i jego zastosowania, że to wydaje się zasługiwać na własną notację” oraz jego książkę z 1953 r. Probability and Information Theory, with Applications to Radar . Sama funkcja została po raz pierwszy matematycznie wyprowadzona w tej formie przez Lorda Rayleigha w jego wyrażeniu ( Wzór Rayleigha ) dla sferycznej funkcji zerowego rzędu Bessela pierwszego rodzaju.

Nieruchomości

Lokalne maksima i minima (małe białe kropki) nieznormalizowanej, czerwonej funkcji sinc odpowiadają jej przecięciu z niebieską funkcją cosinus .
Rzeczywista część kompleksu sinc Re(sinc z ) = Re( grzech Z/z)
Część urojona kompleksu sinc Im(sinc z ) = Im(grzech Z/z)
Wartość bezwzględna | sinc z | = |grzech Z/z|

Te przejścia przez zero o nieznormalizowanych sinc są niezerowym całkowitej wielokrotności Õ , podczas przejścia przez zero znormalizowanego sinc występować w niezerowych całkowitymi.

Lokalne maksima i minima nieznormalizowanego sinc odpowiadają jego przecięciu z funkcją cosinus . To jest,grzech ( ξ )/ξ= cos( ξ ) dla wszystkich punktów ξ gdzie pochodnagrzech ( x )/xwynosi zero, a zatem osiągane jest ekstremum lokalne. Wynika to z pochodnej funkcji sinc:

Pierwsze kilka wyrazów nieskończonego szeregu dla współrzędnej x n -tego ekstremum o dodatniej współrzędnej x to

gdzie

i gdzie nieparzyste n prowadzi do lokalnego minimum, a parzyste n do lokalnego maksimum. Ze względu na symetrię wokół y osi istnieje ekstrema z x współrzędnych - x n . Ponadto istnieje absolutne maksimum przy ξ 0 = (0, 1) .

Znormalizowana funkcja sinc ma prostą reprezentację jako iloczyn nieskończony :

i jest powiązany z funkcją gamma Γ( x ) poprzez wzór Eulera na odbicie :

Euler odkrył, że

i ze względu na tożsamość produktu w sumie

iloczyn Eulera można przeliczyć jako sumę

Ciągłej transformacji Fouriera znormalizowanego sinc (na zwykłej częstotliwości) rect ( F ) :

gdzie funkcja prostokątna wynosi 1 dla argumentu pomiędzy −1/2 oraz 1/2, a zero w przeciwnym razie. Odpowiada to temu, że filtr sinc jest idealnym ( ceglanym murem , czyli prostokątnym pasmem przenoszenia) filtrem dolnoprzepustowym .

Ta całka Fouriera, w tym przypadek szczególny

jest całką niewłaściwą (patrz całka Dirichleta ), a nie zbieżną całką Lebesgue'a , as

Znormalizowana funkcja sinc posiada właściwości, które czynią go idealnym rozwiązaniem w stosunku do interpolacji z próbą ograniczony pasmowo funkcji:

  • Jest to funkcja interpolująca, tj. sinc(0) = 1 , a sinc( k ) = 0 dla niezerowej liczby całkowitej k .
  • Funkcje x k ( t ) = sinc( tk ) ( k integer) tworzą ortonormalną bazę dla funkcji o ograniczonym paśmie w przestrzeni funkcji L 2 ( R ) , o najwyższej częstotliwości kątowej ω H = π (czyli najwyższej częstotliwości cyklu f H =1/2).

Inne właściwości dwóch funkcji sinc obejmują:

  • Nieznormalizowany sinc jest sferyczną funkcją Bessela zerowego rzędu pierwszego rodzaju, j 0 ( x ) . Znormalizowany sinc to j 0x ) .
  • gdzie Si( x ) jest całką sinus ,
  • λ sinc( λx ) (nie znormalizowane) jest jednym z dwóch liniowo niezależnych rozwiązań liniowego równania różniczkowego zwyczajnego
    Drugi to cos( λx )/x, który nie jest ograniczony w x = 0 , w przeciwieństwie do swojego odpowiednika z funkcją sinc.
  • Używając znormalizowanego sinc,
  • Następująca całka niewłaściwa obejmuje (nieznormalizowaną) funkcję sinc:

Związek z rozkładem delta Diraca

Znormalizowana funkcja sinc może być używana jako powstająca funkcja delta , co oznacza, że ​​obowiązuje następujący słaby limit :

To nie jest zwykła granica, ponieważ lewa strona się nie zbiega. Oznacza to raczej, że

dla każdej funkcji Schwartza , jak widać z twierdzenia o inwersji Fouriera . W powyższym wyrażeniu jak → 0 , liczba oscylacji na jednostkę długości funkcji sinc zbliża się do nieskończoności. Niemniej jednak wyrażenie zawsze oscyluje wewnątrz obwiedni ±1/π xNiezależnie od wartości .

To komplikuje nieformalny obraz δ ( x ) jako zero dla wszystkich x z wyjątkiem punktu x = 0 i ilustruje problem myślenia o funkcji delta jako funkcji, a nie jako dystrybucji. Podobna sytuacja występuje w zjawisku Gibbsa .

Podsumowanie

Wszystkie sumy w tej sekcji odnoszą się do nieznormalizowanej funkcji sinc.

Suma sinc( n ) przez liczbę całkowitą n od 1 do równa sięπ − 1/2:

Suma kwadratów również równa się π − 1/2:

Gdy znaki dodatków zmieniają się i zaczynają się od +, suma wynosi1/2:

Naprzemienne sumy kwadratów i sześcianów również są równe 1/2:

Rozszerzenie serii

Szereg Taylora w nieznormalizowanych sinc funkcji mogą być one otrzymywane z sinusa:

Szereg jest zbieżny dla wszystkich x . Znormalizowana wersja jest prosta:

Euler słynie z porównania tej serii do rozszerzenia formy produktu nieskończonego w celu rozwiązania problemu Bazylei .

Wyższe wymiary

Iloczyn funkcji sinc jednowymiarowych łatwo zapewnia wielowymiarową funkcję sinc dla kwadratowej siatki kartezjańskiej ( siatki ): sinc C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) , której transformata Fouriera jest funkcją wskaźnika kwadratu w przestrzeni częstotliwości (tj. ceglany mur zdefiniowany w przestrzeni 2-D). Sinc działania przez nie kartezjańskie kraty (na przykład, sześciokątny kratowego ) jest funkcją, której transformaty Fouriera jest funkcją wskaźnik z strefa brillouina tej siatki. Na przykład funkcja sinc dla sieci heksagonalnej jest funkcją, której transformata Fouriera jest funkcją wskaźnika jednostki sześciokątnej w przestrzeni częstotliwości. Dla sieci niekartezjańskiej tej funkcji nie można uzyskać za pomocą prostego iloczynu tensorowego. Jednakże wyraźny wzór dla funkcji sinc do sześciokąta , korpus skoncentrowane sześciennych , centrowaną sześciennych i innych ogrodzenia wyższe wymiary mogą być wyraźnie określone przy użyciu właściwości geometrycznych stref Brillouina i ich połączenia zonotopes .

Na przykład heksagonalna sieć może być generowana przez (całkowitą) liniową rozpiętość wektorów

Oznaczanie

można wyprowadzić funkcję sinc dla tej heksagonalnej sieci jako

Konstrukcja ta może być wykorzystana do projektowania okien Lanczosa dla ogólnych krat wielowymiarowych.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki