Operator momentu pędu - Angular momentum operator
Część serii artykułów o |
Mechanika kwantowa |
---|
W mechanice kwantowej The kątowe operator pędu jest jednym z kilku powiązanych operatorów analogicznymi do klasycznego pędu . Operator momentu pędu odgrywa kluczową rolę w teorii fizyki atomowej i molekularnej oraz innych problemach kwantowych związanych z symetrią obrotową . Taki operator jest stosowany do matematycznej reprezentacji stanu fizycznego układu i daje wartość momentu pędu, jeśli stan ma dla niego określoną wartość. Zarówno w układach mechaniki klasycznej, jak i kwantowej, moment pędu (wraz z pędem liniowym i energią ) jest jedną z trzech podstawowych właściwości ruchu.
Istnieje kilka operatorów momentu pędu: całkowity moment pędu (zwykle oznaczany J ), orbitalny moment pędu (zwykle oznaczany L ) i spinowy moment pędu ( w skrócie spin , zwykle oznaczany S ). Termin operator momentu pędu może (mylnie) odnosić się do całkowitego lub orbitalnego momentu pędu. Całkowity moment pędu jest zawsze zachowywany , patrz twierdzenie Noether .
Przegląd
W mechanice kwantowej moment pędu może odnosić się do jednej z trzech różnych, ale powiązanych ze sobą rzeczy.
Orbitalny moment pędu
Klasyczna definicja momentu pędu jest . Kwantowo-mechaniczne odpowiedniki tych obiektów mają tę samą zależność:
gdzie r to kwantowy operator pozycji , p to kwantowy operator pędu , × to iloczyn krzyżowy , a L to orbitalny operator momentu pędu . L (podobnie jak p i r ) jest operatorem wektorowym (wektorem, którego składowe są operatorami), tj. gdzie L x , L y , L z są trzema różnymi operatorami kwantowo-mechanicznymi.
W szczególnym przypadku pojedynczej cząstki bez ładunku elektrycznego i bez spinu , operator orbitalnego momentu pędu można zapisać w bazie pozycji jako:
gdzie ∇ jest wektorowym operatorem różniczkowym, del .
Obrotowy moment pędu
Istnieje inny rodzaj momentu pędu, zwany spinowym momentem pędu (częściej skracanym do spin ), reprezentowany przez operator spinu . Spin jest często przedstawiany jako cząstka dosłownie wirująca wokół osi, ale jest to tylko metafora: spin jest nieodłączną właściwością cząstki, niezwiązaną z jakimkolwiek (choć doświadczalnie obserwowalnym) ruchem w przestrzeni. Wszystkie cząstki elementarne mają charakterystyczny spin, który zwykle jest niezerowy. Na przykład elektrony zawsze mają „spin 1/2”, a fotony zawsze mają „spin 1” (szczegóły poniżej ).
Całkowity moment pędu
Wreszcie istnieje całkowity moment pędu , który łączy zarówno spin, jak i orbitalny moment pędu cząstki lub układu:
Zasada zachowania momentu pędu oznacza, że J dla układu zamkniętego lub J dla całego wszechświata jest zachowane. Jednak L i S nie są na ogół konserwowane. Na przykład interakcja spin-orbita umożliwia przenoszenie momentu pędu tam i z powrotem między L i S , przy czym całkowite J pozostaje stałe.
Relacje dojazdowe
Relacje komutacyjne między komponentami
Orbitalny operator momentu pędu jest operatorem wektorowym, co oznacza, że można go zapisać za pomocą składowych wektora . Komponenty mają ze sobą następujące relacje komutacyjne :
gdzie [ , ] oznacza komutator
Można to ogólnie zapisać jako
- ,
gdzie l , m , n są indeksami składowymi (1 dla x , 2 dla y , 3 dla z ), a ε lmn oznacza symbol Levi-Civita .
Możliwe jest również wyrażenie zwarte jako jedno równanie wektorowe:
Stosunki komutacyjne można wykazać jako bezpośrednią konsekwencją kanonicznych stosunków komutacyjnych , gdzie δ LM jest trójkąt Kronecker .
W fizyce klasycznej istnieje analogiczna zależność:
gdzie L n jest składową klasycznego operatora momentu pędu i jest nawiasem Poissona .
Te same zależności komutacyjne obowiązują dla pozostałych operatorów momentu pędu (spin i całkowity moment pędu):
- .
Można przyjąć, że są one analogiczne do L . Alternatywnie można je wyprowadzić, jak omówiono poniżej .
Te relacje komutacyjne oznaczają, że L ma strukturę matematyczną algebry Liego , a ε lmn są jej stałymi strukturalnymi . W tym przypadku algebra Liego to SU(2) lub SO(3) w notacji fizycznej ( lub odpowiednio w notacji matematycznej), tj. algebra Liego związana z obrotem w trzech wymiarach. To samo dotyczy J i S . Powód omówiono poniżej . Te relacje komutacyjne są istotne dla pomiaru i niepewności, co omówiono poniżej.
W cząsteczkach całkowity moment pędu F jest sumą momentu pędu robrowronowego (orbitalnego) N , momentu pędu spinu elektronów S , oraz momentu pędu spinu jądrowego I . Dla stanów elektronowych singletowych robrotronowy moment pędu jest oznaczony J zamiast N . Jak wyjaśnił Van Vleck, składniki molekularnego momentu pędu robiotronu odnoszące się do osi stałych cząsteczek mają inne relacje komutacji niż te podane powyżej, które dotyczą składników o osiach stałych.
Relacje komutacyjne obejmujące wielkość wektora
Jak każdy wektor, kwadrat wielkości można zdefiniować dla orbitalnego operatora momentu pędu,
- .
jest kolejnym operatorem kwantowym . Komunikuje się z komponentami ,
Jednym ze sposobów udowodnienia, że te operatory komutują, jest rozpoczęcie od relacji komutacji [ L ℓ , L m ] z poprzedniej sekcji:
Matematycznie jest Kazimierz niezmienne w Lie Algebra SO (3) łączone przez .
Jak wyżej, w fizyce klasycznej istnieje analogiczna zależność:
gdzie jest składową klasycznego operatora momentu pędu i jest nawiasem Poissona .
Wracając do przypadku kwantowego, te same zależności komutacyjne dotyczą również innych operatorów momentu pędu (spin i całkowity moment pędu),
Zasada niepewności
Ogólnie rzecz biorąc, w mechanice kwantowej, gdy dwa obserwowalne operatory nie komutują, nazywa się je obserwowalnymi komplementarnymi . Dwie uzupełniające się obserwowalne nie mogą być mierzone jednocześnie; zamiast tego spełniają zasadę nieoznaczoności . Im dokładniej znana jest jedna obserwowalna, tym mniej dokładnie można poznać drugą. Tak jak istnieje zasada nieoznaczoności dotycząca położenia i pędu, istnieją zasady nieoznaczoności dla momentu pędu.
Robertson-Schrödingera relacja daje następującą zasadę nieoznaczoności:
gdzie jest odchylenie standardowe mierzonych wartości X i oznacza wartość oczekiwaną na X . Ta nierówność jest również prawdziwa, jeśli x, y, z są przegrupowane lub jeśli L jest zastąpione przez J lub S .
Dlatego dwie prostopadłe składowe momentu pędu (na przykład L x i L y ) są komplementarne i nie mogą być jednocześnie znane ani mierzone, z wyjątkiem szczególnych przypadków, takich jak .
Możliwe jest jednak jednoczesne zmierzenie lub określenie L 2 i dowolnego składnika L ; Na przykład, L 2 i L Z . Jest to często przydatne, a wartości charakteryzują się azymutalną liczbą kwantową ( l ) i magnetyczną liczbą kwantową ( m ). W tym przypadku stan kwantową systemu jest jednoczesne eigenstate z operatorów L 2 i L Z , lecz nie z L x i L y . Wartości własne są powiązane z l i m , jak pokazano w poniższej tabeli.
Kwantyzacja
W mechanice kwantowej moment pędu jest kwantowany – to znaczy, że nie może zmieniać się w sposób ciągły, a jedynie w „skokach kwantowych” pomiędzy pewnymi dozwolonymi wartościami. W przypadku każdego systemu obowiązują następujące ograniczenia dotyczące wyników pomiarów, gdzie zmniejszona jest stała Plancka :
Jeśli zmierzysz ... | ...rezultatem może być... | Uwagi |
---|---|---|
,
gdzie |
jest czasami nazywany azymutalną liczbą kwantową lub orbitalną liczbą kwantową . | |
,
gdzie |
jest czasami nazywana magnetyczną liczbą kwantową .
Ta sama zasada kwantyzacji obowiązuje dla każdego składnika ; np . . Ta zasada jest czasami nazywana kwantyzacją przestrzenną . |
|
,
gdzie |
s nazywa się spinową liczbą kwantową lub po prostu spinem . | |
,
gdzie |
jest czasami nazywana liczbą kwantową rzutowania spinowego .
Ta sama zasada kwantyzacji obowiązuje dla każdego składnika ; np . . |
|
,
gdzie |
j jest czasami nazywana liczbą kwantową całkowitego momentu pędu . | |
,
gdzie |
jest czasami nazywany całkowitą liczbą kwantową projekcji momentu pędu .
Ta sama zasada kwantyzacji obowiązuje dla każdego składnika ; np . . |
Wyprowadzenie za pomocą operatorów drabiny
Powszechnym sposobem wyprowadzenia powyższych reguł kwantyzacji jest metoda operatorów drabinkowych . Operatory drabiny dla całkowitego momentu pędu są zdefiniowane jako:
Załóżmy, że jest równoczesnym stanem własnym i (tj. stanem o określonej wartości dla i określonej wartości dla ). Następnie korzystając z relacji komutacyjnych dla składowych , można udowodnić, że każdy ze stanów i jest albo zerem, albo równoczesnym stanem własnym i , o takiej samej wartości jak for, ale o wartościach dla których są odpowiednio zwiększane lub zmniejszane . Wynik jest równy zero, gdy użycie operatora drabiny spowodowałoby w przeciwnym razie stan, którego wartość jest poza dopuszczalnym zakresem. Używając w ten sposób operatorów drabinkowych, można znaleźć możliwe wartości i liczby kwantowe dla i .
Wyprowadzenie możliwych wartości i liczb kwantowych dla i . Kliknij [pokaż] po prawej stronie |
---|
Niech będzie funkcją stanu dla systemu z wartością własną dla i wartością własną dla .
Od jest uzyskiwany,
Stosując obie strony powyższego równania do ,
Ponieważ i są rzeczywistymi obserwowalnymi, nie jest ujemna i . W ten sposób ma górną i dolną granicę. Dwie z relacji komutacyjnych dla składowych to:
Można je łączyć w celu uzyskania dwóch równań, które zapisuje się razem za pomocą znaków w poniższych:
gdzie jedno z równań używa znaków, a drugie używa znaków. Stosując obie strony powyższego do , Powyższe pokazuje, że są to dwie funkcje własne z odpowiednimi wartościami własnymi , chyba że jedna z funkcji wynosi zero, w którym to przypadku nie jest funkcją własną. Dla funkcji, które nie są zerem,
Dalsze funkcje własne i odpowiadające im wartości własne można znaleźć, wielokrotnie stosując tak długo, jak wielkość wynikowej wartości własnej wynosi . Ponieważ wartości własne są ograniczone, niech będzie najniższą wartością własną i najwyższą. Następnie
ponieważ nie ma stanów, w których wartość własna jest lub . Stosując do pierwszego równania, do drugiego i używając , można wykazać, że
Odejmowanie pierwszego równania od drugiego i przestawianie,
Ponieważ drugi czynnik jest ujemny. Wtedy pierwszy czynnik musi wynosić zero, a więc . Różnica wynika z sukcesywnego stosowania lub które zmniejszyć lub zwiększyć wartość własną przez tak, że Pozwolić
Następnie za pomocą i powyższego,
a dopuszczalne wartości własne są
Wyrażając w kategoriach liczby kwantów i zastępując w z góry |
Ponieważ i mają takie same relacje komutacyjne jak , można do nich zastosować tę samą analizę drabinkową, z wyjątkiem tego, że istnieje dalsze ograniczenie dotyczące liczb kwantowych, że muszą być liczbami całkowitymi.
Tradycyjne wyprowadzenie ograniczenia do całkowitych liczb kwantowych dla i . Kliknij [pokaż] po prawej stronie |
---|
W reprezentacji Schroedingera składnik z orbitalnego operatora momentu pędu może być wyrażony we współrzędnych sferycznych jako,
For i funkcja własna z wartością własną ,
Rozwiązując dla ,
gdzie jest niezależny od . Ponieważ wymagane jest, aby były jednowartościowe, a dodawanie do wyników współrzędnej dla tego samego punktu w przestrzeni,
Rozwiązywanie dla wartości własnej ,
Z powyższego i relacji wynika, że jest to również liczba całkowita. To pokazuje, że liczby kwantowe i orbitalny moment pędu są ograniczone do liczb całkowitych, w przeciwieństwie do liczb kwantowych dla całkowitego momentu pędu i spinu , które mogą mieć wartości połówkowe. Alternatywą wyprowadzenie który nie ponosi pojedyncze funkcje falowe wycenione następująco i kolejnym argumentem za pomocą grup Liego jest poniżej . |
Alternatywne wyprowadzenie ograniczenia do całkowitych liczb kwantowych dla i Kliknij [pokaż] po prawej stronie |
---|
Kluczową częścią tradycyjnego wyprowadzenia powyżej jest to, że funkcja falowa musi mieć jedną wartość. Obecnie wielu uznaje to za nie do końca poprawne: funkcji falowej nie można zaobserwować i tylko gęstość prawdopodobieństwa musi być jednowartościowa. Możliwe dwuwartościowe półcałkowite funkcje falowe mają jednowartościową gęstość prawdopodobieństwa.
Zostało to uznane przez Pauliego w 1939 r. (cytowane przez Japaridze i in. )
Znaleziono funkcje falowe o podwójnej wartości, takie jak i . Nie zachowują się one dobrze pod operatorami drabiny, ale okazały się przydatne w opisywaniu sztywnych cząstek kwantowych Ballentine podaje argument oparty wyłącznie na formalizmie operatorowym, który nie opiera się na jednowartościowości funkcji falowej. Azymutalny moment pędu jest zdefiniowany jako Zdefiniuj nowych operatorów (Prawidłowość wymiarowa może być zachowana przez wstawienie współczynników masy i jednostkowej częstotliwości kątowej liczbowo równych jeden.) Następnie Ale dwa wyrazy po prawej to tylko hamiltoniany dla kwantowego oscylatora harmonicznego o masie jednostkowej i częstotliwości kątowej i , , i wszystkie dojazdy. Dla komutujących operatorów hermitowskich można wybrać pełny zbiór wektorów bazowych, które są wektorami własnymi dla wszystkich czterech operatorów. (Argument Glorioso można łatwo uogólnić na dowolną liczbę operatorów dojeżdżających). Dla dowolnego z tych wektorów własnych z dla niektórych liczb całkowitych znajdujemy Jako różnica dwóch liczb całkowitych, musi być liczbą całkowitą, od której jest również całka. Bardziej złożoną wersję tego argumentu, wykorzystującą operatory drabinkowe kwantowego oscylatora harmonicznego , podał Buchdahl. |
Interpretacja wizualna
Ponieważ pędy są operatorami kwantowymi, nie można ich rysować jako wektorów, jak w mechanice klasycznej. Niemniej jednak powszechne jest przedstawianie ich w ten sposób heurystycznie. Po prawej stronie przedstawiony jest zbiór stanów z liczbami kwantowymi oraz dla pięciu stożków od dołu do góry. Ponieważ wszystkie wektory są pokazane z długością . Pierścienie reprezentują fakt, który jest znany na pewno, ale i jest nieznany; dlatego każdy klasyczny wektor o odpowiedniej długości i składowej z jest rysowany, tworząc stożek. Oczekiwana wartość momentu pędu dla danego zespołu układów w stanie kwantowym charakteryzowana i może znajdować się gdzieś na tym stożku, podczas gdy nie można jej zdefiniować dla pojedynczego układu (ponieważ składowe nie przechodzą ze sobą).
Kwantyzacja w układach makroskopowych
Powszechnie uważa się, że reguły kwantyzacji są prawdziwe nawet w przypadku układów makroskopowych, takich jak moment pędu L wirującej opony. Jednak nie dają one zauważalnego efektu, więc nie zostało to przetestowane. Na przykład, jeśli jest to z grubsza 100000000, zasadniczo nie ma znaczenia, czy dokładna wartość jest liczbą całkowitą, taką jak 100000000 lub 100000001, czy liczbą niecałkowitą, taką jak 100000000.2 — dyskretne kroki są obecnie zbyt małe, aby je zmierzyć.
Kręt jako generator obrotów
Najbardziej ogólna i podstawowa definicja momentu pędu to generator obrotów. Dokładniej, niech będzie operator obrotu , który obraca dowolny stan kwantowy wokół osi o kąt . Jako operator zbliża się do operatora tożsamości , ponieważ obrót o 0° mapuje wszystkie stany na siebie. Wówczas operator momentu pędu wokół osi definiujemy jako:
gdzie 1 jest operatorem tożsamości . Zauważ też, że R jest morfizmem addytywnym : ; w konsekwencji
gdzie exp to macierz wykładnicza .
Mówiąc prościej, całkowity operator momentu pędu charakteryzuje sposób, w jaki układ kwantowy zmienia się podczas jego obracania. Związek między operatorami momentu pędu i operatorami obrotu jest taki sam, jak związek między algebrami Liego i grupami Liego w matematyce, co omówiono poniżej.
Tak jak J jest generatorem dla operatorów rotacji , L i S są generatorami dla zmodyfikowanych operatorów rotacji częściowej. Operator
obraca pozycję (w przestrzeni) wszystkich cząstek i pól, bez obracania wewnętrznego (spinowego) stanu żadnej cząstki. Podobnie operator
obraca wewnętrzny (spin) stan wszystkich cząstek, nie poruszając żadnych cząstek ani pól w przestrzeni. Relacja J = L + S pochodzi z:
tzn. jeśli pozycje są obrócone, a następnie stany wewnętrzne są obrócone, to w sumie cały system został obrócony.
Obroty SU(2), SO(3) i 360°
Chociaż można by się spodziewać (obrót o 360° jest operatorem tożsamości), nie jest to zakładane w mechanice kwantowej i okazuje się, że często nie jest to prawdą: gdy całkowita liczba kwantowa momentu pędu jest połówką liczby całkowitej (1/2 , 3/2 itd.), , a gdy jest liczbą całkowitą, . Matematycznie struktura obrotów we wszechświecie nie jest SO(3) , grupą trójwymiarowych obrotów w mechanice klasycznej. Zamiast tego jest to SU(2) , który jest identyczny z SO(3) dla małych obrotów, ale gdzie obrót o 360° jest matematycznie odróżniony od obrotu o 0°. (Obrót o 720° jest jednak taki sam, jak obrót o 0°.)
Z drugiej strony, we wszystkich okolicznościach, ponieważ obrót o 360° konfiguracji przestrzennej jest tym samym, co brak obrotu w ogóle. (Różni się to od rotacji 360° wewnętrznego (wirowania) stanu cząstki, który może, ale nie musi, oznaczać brak rotacji w ogóle.) Innymi słowy, operatory noszą strukturę SO(3) , while i nosić strukturę SU(2) .
Z równania wybiera się stan własny i rysuje
co oznacza, że liczby kwantowe orbitalnego momentu pędu mogą być tylko liczbami całkowitymi, a nie pół-całkowitymi.
Połączenie z teorią reprezentacji
Zaczynając od pewnego stanu kwantowego , rozważ zbiór stanów dla wszystkich możliwych i , czyli zbiór stanów, które powstają w wyniku obracania stanu początkowego w każdy możliwy sposób. Rozpiętość liniowa tego zbioru jest przestrzenią wektorową , a zatem sposób, w jaki operatory rotacji mapują jeden stan na inny, jest reprezentacją grupy operatorów rotacji.
- Gdy operatorzy obrotowe działają na stanów kwantowej tworzy reprezentacji z grupy Lie su (2) (w przypadku R i R wewnętrzna ) lub SO (3) (w przypadku R przestrzenny ).
Z relacji między J a operatorami rotacji,
- Kiedy kątowe operatorzy tempa działania w stanach kwantowych, tworzy reprezentację z algebry Liego lub .
(Algebry Liego z SU(2) i SO(3) są identyczne).
Powyższe wyprowadzenie operatora drabiny jest metodą klasyfikacji reprezentacji algebry Liego SU(2).
Połączenie z relacjami komutacyjnymi
Klasyczne obroty nie przechodzą między sobą: Na przykład obrót o 1° wokół osi x, a następnie o 1° wokół osi y daje nieco inny całkowity obrót niż obrót o 1° wokół osi y, a następnie o 1° wokół x - oś. Poprzez uważną analizę tej nieprzemienności można wyprowadzić relacje komutacyjne operatorów momentu pędu.
(Ta sama procedura obliczeniowych jest jeden sposób, aby odpowiedzieć na pytanie, matematyczny „Czym jest algebra Lie z grup Lie SO (3) lub SU (2) ?”)
Zachowanie momentu pędu
Hamiltona H reprezentuje energię i dynamikę całego systemu. W sytuacji sferycznie symetrycznej hamiltonian jest niezmienny przy obrotach:
gdzie R jest operatorem rotacji . W konsekwencji , a następnie ze względu na związek między J i R . Z twierdzenia Ehrenfesta wynika , że J jest zachowany.
Podsumowując, jeśli H jest obrotowo-niezmienniczy (sferycznie symetryczny), to całkowity moment pędu J jest zachowany. To jest przykład twierdzenia Noether .
Jeśli H jest tylko hamiltonianem dla jednej cząstki, całkowity moment pędu tej jednej cząstki jest zachowywany, gdy cząstka znajduje się w potencjale centralnym (tj. gdy funkcja energii potencjalnej zależy tylko od ). Alternatywnie, H może być hamiltonianem wszystkich cząstek i pól we wszechświecie, a wtedy H jest zawsze niezmiennikiem rotacji, ponieważ podstawowe prawa fizyki wszechświata są takie same niezależnie od orientacji. Na tej podstawie można powiedzieć, że zachowanie momentu pędu jest ogólną zasadą fizyki.
Dla cząstki bez spinu, J = L , więc orbitalny moment pędu jest zachowywany w tych samych warunkach. Gdy spin jest niezerowy, interakcja spin-orbita umożliwia przeniesienie momentu pędu z L do S lub z powrotem. Dlatego L samo w sobie nie jest zachowane.
Sprzężenie momentu pędu
Często dwa lub więcej rodzajów momentu pędu oddziałują ze sobą, tak że moment pędu może przenosić się z jednego na drugi. Na przykład w sprzężeniu spin-orbita moment pędu może przenosić się między L i S , ale tylko całkowite J = L + S jest zachowane. W innym przykładzie, w atomie z dwoma elektronami, każdy ma swój własny moment pędu J 1 i J 2 , ale tylko suma J = J 1 + J 2 jest zachowana.
W takich sytuacjach często przydatna jest znajomość relacji między stanami, w których wszystkie mają określone wartości z jednej strony, a stanami, w których wszystkie mają określone wartości, ponieważ te cztery ostatnie są zwykle zachowane (stałe ruchu). ). Procedura poruszania się tam iz powrotem między tymi bazami polega na wykorzystaniu współczynników Clebscha-Gordana .
Jednym z ważnych wyników w tej dziedzinie jest zależność między liczbami kwantowymi dla :
- .
W przypadku atomu lub cząsteczki o J = L + S , termin symbol podaje liczby kwantowe związane z operatorami .
Orbitalny moment pędu we współrzędnych sferycznych
Operatory momentu pędu zwykle występują przy rozwiązywaniu problemu z symetrią sferyczną we współrzędnych sferycznych . Moment pędu w reprezentacji przestrzennej to
We współrzędnych sferycznych część kątową operatora Laplace'a można wyrazić momentem pędu. Prowadzi to do relacji
Rozwiązując znalezienie stanów własnych operatora , otrzymujemy:
gdzie
są harmonicznymi sferycznymi .
Zobacz też
- Wektor Runge-Lenza (używany do opisu kształtu i orientacji ciał na orbicie)
- Transformacja Holsteina-Primakoffa
- Mapa Jordana ( bozonowy model momentu pędu Schwingera )
- Model wektorowy atomu
- Pseudowektor Pauliego–Lubańskiego
- Diagramy momentu pędu (mechanika kwantowa)
- Podstawa sferyczna
- Operator tensora
- Magnetyzacja orbity
- Orbitalny moment pędu swobodnych elektronów
- Orbitalny moment pędu światła
Uwagi
Bibliografia
- ^ Wprowadzenie do mechaniki kwantowej, Richard L. Liboff , wydanie 2, ISBN 0-201-54715-5
- ^ Aruldhas, G. (2004-02-01). „wzór (8.8)” . Mechanika kwantowa . P. 171. Numer ISBN 978-81-203-1962-2.
- ^ Shankar, R. (1994). Zasady mechaniki kwantowej (wyd. 2). Nowy Jork: Akademia Kluwer / Plenum. P. 319 . Numer ISBN 9780306447907.
- ^ H. Goldstein, CP Poole i J. Safko, Mechanika Klasyczna, wydanie 3 , Addison-Wesley 2002, s. 388 ff.
- ^ B c d e f g Littlejohn, Robert (2011). „Notatki z wykładów o obrotach w mechanice kwantowej” (PDF) . Fizyka 221B Wiosna 2011 . Źródło 13 stycznia 2012 .
- ^ JH Van Vleck (1951). „Sprzęganie wektorów pędu kątowego w cząsteczkach”. Mod. Fiz . 23 (3): 213. Kod bib : 1951RvMP...23..213V . doi : 10.1103/RevModPhys.23.213 .
- ^ Griffiths, David J. (1995). Wprowadzenie do mechaniki kwantowej . Sala urzędnicza . P. 146 .
- ^ Goldstein i in., s. 410
- ^ Condon, UE ; Shortley, GH (1935). „Rozdział III: Pęd kątowy” . Kwantowa teoria widm atomowych . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 9780521092098.
- ^ Wprowadzenie do mechaniki kwantowej: z zastosowaniami w chemii , Linus Pauling, Edgar Bright Wilson, strona 45, link do książek Google
- ^ Griffiths, David J. (1995). Wprowadzenie do mechaniki kwantowej . Sala urzędnicza . s. 147 -149.
- ^ B Condon i Shortley 1935 , s. 46–47
- ^ Condon i Shortley 1935 , s. 50-51
- ^ Condon i Shortley 1935 , s. 50, równanie 1
- ^ Condon i Shortley 1935 , s. 50, równanie 3
- ^ Condon i Shortley 1935 , s. 51
- ^ Ballentine, LE (1998). Mechanika kwantowa: nowoczesny rozwój . World Scientific Publishing Co. 169.
- ^ Japaridze, G; i in. (2020). „Krytyczne uwagi dotyczące kwantyzacji momentu pędu: II. Analiza oparta na wymaganiu, aby funkcja własna trzeciej składowej operatora momentu pędu była jednowartościową funkcją okresową” (PDF) . Źródło 14 sierpnia 2021 .
- ^ Hunter, G.; i in. (1999). „Fermiona quasi-sferyczne harmoniczne”. J. Fiz. O: Matematyka. Gen . 32 : 795-803.
-
^ Hunter, G.; I., Schlifer (2008). „Wyraźne współrzędne wirowania”.
Cytowanie dziennika wymaga
|journal=
( pomoc ) - ^ Pavsič, M (2007). „Sztywna cząstka i jej wirowanie ponownie”. Podstawy fiz . 37 (1): 40–79.
- ^ Ballentine, LE (1998). Mechanika kwantowa: nowoczesny rozwój . Światowe wydawnictwa naukowe Co., s. 169-171.
- ^ Glorioso, P. „Na wspólnych bazach własnych operatorów dojazdów” (PDF) . Źródło 14 sierpnia 2021 .
- ^ Buchdahl, HA (1962). „Uwaga dotycząca wartości własnych orbitalnego pędu kątowego”. Jestem. J. Fiz . 30 : 829-831. doi : 10.1119/1.1941817 .
- ^ Bes Daniel R. (2007). Mechanika kwantowa . Zaawansowane teksty w fizyce. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. P. 70. Kod Bibcode : 2007qume.book.....B . doi : 10.1007/978-3-540-46216-3 . Numer ISBN 978-3-540-46215-6.
- ^ Porównaj i skontrastuj z przeciwstawnym klasycznym L .
- ^ Sakurai, JJ & Napolitano, J (2010), Nowoczesna Mechanika Kwantowa (2 wydanie) (Pearson) ISBN 978-0805382914
- ^ Schwinger, Julian (1952). O pędzie kątowym (PDF) . Amerykańska Komisja Energii Atomowej.
Dalsza lektura
- Zdemistyfikowana mechanika kwantowa , D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546 9
- Mechanika kwantowa , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum Easy Outlines Crash Course , Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6
- Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek (wydanie drugie) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
- Mechanika kwantowa , E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
- Fizyka atomów i cząsteczek , BH Bransden, CJJoachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2
- Moment pędu. Zrozumienie aspektów przestrzennych w chemii i fizyce , RN Zare, Wiley-Interscience, 1991, ISBN 978-0-47-1858928