Gęstość na kolektorze - Density on a manifold

W matematyce , a zwłaszcza w geometrii różniczkowej , gęstość jest przestrzennie zmienną wielkością w rozmaitości różniczkowej, którą można zintegrować w sposób wewnętrzny. Mówiąc abstrakcyjnie, gęstość to sekcja pewnej wiązki linii , zwanej wiązką gęstości . Elementem wiązki gęstości w x jest funkcja, która przypisuje objętość do równoległościanu rozpiętego przez n danych wektorów stycznych w x .

Z operacyjnego punktu widzenia gęstość jest zbiorem funkcji na wykresach współrzędnych, które są mnożone przez wartość bezwzględną wyznacznika jakobowskiego przy zmianie współrzędnych. Gęstości można uogólnić na s- gęstości , których reprezentacje współrzędnych są pomnożone przez s-tą potęgę wartości bezwzględnej wyznacznika jakobianu. Na zorientowanej rury rozgałęźnej 1-gęstości mogą być identyfikowane z kanonicznej n -forms o M . Na nieorientowanych kolektorach tej identyfikacji nie można dokonać, ponieważ wiązka gęstości jest iloczynem tensorowym wiązki orientacji M i n- tej wiązki produktów zewnętrznych T ^∗ M (patrz pseudotensor ).

Motywacja (gęstości w przestrzeniach wektorowych)

Ogólnie rzecz biorąc, nie istnieje naturalny pojęcie „objętości” dla parallelotope generowanej przez wektory v ₁ , ..., v _n w n -wymiarowej przestrzeni wektorowej V . Jeśli jednak ktoś chce zdefiniować funkcję μ  : V × ... × V → R, która przypisuje objętość do dowolnego takiego równoległoboku, powinna ona spełniać następujące właściwości:

• Jeżeli którykolwiek z wektorów v _k zostanie pomnożony przez λ ∈ R , objętość należy pomnożyć przez | λ |.
• Jeśli do wektora v _j zostanie dodana dowolna kombinacja liniowa wektorów v ₁ , ..., v _{j −1} , v _{j +1} , ..., v _n , objętość powinna pozostać niezmienna.

Warunki te są równoważne stwierdzeniu, że μ jest dane niezmienną miarą translacji na V i można je przeformułować jako

${\ Displaystyle \ mu (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ lewo | \ det A \ prawo | \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \ quad A \ w \ nazwa operatora {GL} (V).}$

Każde takie mapowanie μ  : V × ... × V → R nazywamy gęstością na przestrzeni wektorowej V . Zauważ, że jeśli ( v ₁ , ..., v _n ) jest jakąkolwiek podstawą dla V , to ustalenie μ ( v ₁ , ..., v _n ) naprawi μ całkowicie; Wynika z tego, że zbiór Vol ( V ) wszystkich gęstości na V tworzy jednowymiarową przestrzeń wektorową. Dowolny n -form ω na V definiuje gęstość | ω | na V przez

${\ Displaystyle | \ omega | (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = | \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) |.}$

Orientacje w przestrzeni wektorowej

Zbiór Or ( V ) wszystkich funkcji o  : V × ... × V → R, które spełniają

${\ Displaystyle o (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ operatorname {znak} (\ det A) o (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \ quad A \ in \ operatorname {GL} (V)}$

tworzy jednowymiarową przestrzeń wektorową, a orientacja na V jest jednym z dwóch elementów o ∈ lub ( V ) takiej, że | o ( v ₁ , ..., v _n ) | = 1 dla dowolnego liniowo niezależnego v ₁ , ..., v _n . Każda niezerowa forma n ω na V definiuje orientację o ∈ Lub ( V ) taką, że

${\ Displaystyle o (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) | \ omega | (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ { n}),}$

i odwrotnie, każdy o ∈ Or ( V ) i dowolna gęstość μ ∈ Vol ( V ) definiują n -form ω na V przez

${\ Displaystyle \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = o (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n} ).}$

W zakresie przestrzeni produktowych tensorowych ,

${\ Displaystyle \ operatorname {lub} (V) \ otimes \ operatorname {tom} (V) = \ bigwedge ^ {n} V ^ {*}, \ quad \ operatorname {tom} (V) = \ operatorname {lub} (V) \ otimes \ bigwedge ^ {n} V ^ {*}.}$

s- gęstości w przestrzeni wektorowej

S -densities na V są funkcjami ľ  : V × ... × V → R takie, że

${\ Displaystyle \ mu (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ lewo | \ det A \ prawo | ^ {s} \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \ quad A \ in \ operatorname {GL} (V).}$

Podobnie jak gęstości, s- gęstości tworzą jednowymiarową przestrzeń wektorową Vol ^s ( V ), a każda n- forma ω na V definiuje s- gęstość | ω | ^s na V przez

${\ Displaystyle | \ omega | ^ {s} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = | \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) | ^ {s}. }$

Iloczyn s ₁ - i s ₂ -gęstości μ ₁ i μ ₂ tworzy an ( s ₁ + s ₂ ) -gęstość μ przez

${\ displaystyle \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = \ mu _ {1} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) \ mu _ {2} (v_ { 1}, \ ldots, v_ {n}).}$

W odniesieniu do przestrzeni iloczynów tensorowych fakt ten można określić jako

${\ displaystyle \ operatorname {tom} ^ {s_ {1}} (V) \ otimes \ operatorname {tom} ^ {s_ {2}} (V) = \ operatorname {tom} ^ {s_ {1} + s_ { 2}} (V).}$

Definicja

Formalnie, s -density wiązka t ^e ( M ) z kolektorem różniczkowej M uzyskuje się przez związanego wiązki konstrukcji splatanie jednowymiarowy reprezentacja grupy

${\ Displaystyle \ rho (A) = \ lewo | \ det A \ prawo | ^ {- s}, \ quad A \ in \ nazwa operatora {GL} (n)}$

z ogólnej grupy liniowe z wiązki ramki z M .

Wynikowy pakiet linii jest znany jako pakiet s- gęstości i jest oznaczony przez

${\ Displaystyle \ lewo | \ Lambda \ prawo | _ {M} ^ {s} = \ lewo | \ Lambda \ prawo | ^ {s} (TM).}$

Gęstość 1 jest również nazywana po prostu gęstością.

Bardziej ogólnie, związane wiązka konstrukcja pozwala także gęstość być wykonana z dowolnego wektora wiązki e o M .

W szczególności, jeżeli ( U _α , cp _α ) jest Atlas of współrzędnych wykresy na M , a nie wiąże się z lokalnym banalizacji z ${\ Displaystyle \ lewo | \ Lambda \ prawo | _ {M} ^ {s}}$

${\ Displaystyle t _ {\ alfa}: \ lewo | \ Lambda \ prawo | _ {M} ^ {s} | _ {U _ {\ alfa}} \ do \ phi _ {\ alfa} (U _ {\ alfa}) \ times \ mathbb {R}}$

podporządkowany otwartej pokrywie U _α tak, że skojarzony cykl GL (1) spełnia

${\ Displaystyle t _ {\ alfa \ beta} = \ lewo | \ det (d \ phi _ {\ alfa} \ Circ d \ phi _ {\ beta} ^ {- 1}) \ prawo | ^ {- s}. }$

Integracja

Gęstości odgrywają znaczącą rolę w teorii integracji rozmaitości. Istotnie, definicja gęstości jest motywowana tym, jak miara dx zmienia się pod wpływem zmiany współrzędnych ( Folland 1999 , Rozdział 11.4, s. 361-362).

Biorąc pod uwagę gęstość 1 ƒ obsługiwaną na wykresie współrzędnych U _α , całka jest określona przez

${\ Displaystyle \ int _ {U _ {\ alpha}} f = \ int _ {\ phi _ {\ alpha} (U _ {\ alpha})} t _ {\ alpha} \ circ f \ circ \ phi _ {\ alpha } ^ {- 1} d \ mu}$

gdzie ostatnia całka jest w odniesieniu do miary Lebesgue'a na R ⁿ . Prawo transformacji dla 1-gęstości wraz ze zmianą jakobianu zmiennych zapewnia zgodność nakładania się różnych wykresów współrzędnych, a więc całkę ogólnej gęstości 1- zwartej można zdefiniować przez podział argumentu jedności . Zatem gęstości 1 są uogólnieniem pojęcia formy objętości, która niekoniecznie wymaga zorientowania lub nawet orientacji kolektora. Bardziej ogólnie można rozwinąć ogólną teorię miar Radona jako rozkładowych odcinków przy użyciu twierdzenia o reprezentacji Riesza-Markowa-Kakutaniego . ${\ Displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {1}}$

Zestaw 1 / P -densities taki sposób, że jest unormowanej miejsca liniowych, których zakończenie jest nazywany wewnętrzną L ^p przestrzeń o M . ${\ Displaystyle | \ phi | _ {p} = \ lewo (\ int | \ phi | ^ {p} \ prawej) ^ {1 / p} <\ infty}$${\ Displaystyle L ^ {p} (M)}$

Konwencje

W niektórych obszarach, szczególnie w geometrii konformalnej , stosuje się inną konwencję ważenia: wiązka s- gęstości jest zamiast tego związana ze znakiem

${\ Displaystyle \ rho (A) = \ lewo | \ det A \ prawo | ^ {- s / n}.}$

W tej konwencji, na przykład, całkuje się n -gęstości (zamiast 1-gęstości). Również w tych konwencjach metryka konformalna jest utożsamiana z gęstością tensora o wadze 2.

Nieruchomości

• Podwójna wiązka wektorowa o to . ${\ Displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {s}}$${\ Displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {- s}}$
• Gęstości tensorowe to sekcje iloczynu tensorowego wiązki gęstości z wiązką tensorów.

Bibliografia

• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-20062-8 .
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Second ed.), ISBN   978-0-471-31716-6 , zawiera krótkie omówienie gęstości w ostatniej sekcji.
• Nicolaescu, Liviu I. (1996), Wykłady o geometrii rozmaitości , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN   978-981-02-2836-1 , MR   1435504
• Lee, John M (2003), Wprowadzenie do gładkich kolektorów , Springer-Verlag