Dwudziestodwunastościan ścięty - Truncated icosidodecahedron

Obcięty wykres ikozydodekaedryczny
Obcięty wykres ikozydodekaedryczny
	5-krotna symetria
Wierzchołki	120
Krawędzie	180
Promień	15
Średnica	15
Obwód	4
Automorfizmy	120 (A 5 ×2)
Liczba chromatyczna	2
Nieruchomości	Sześcienny , hamiltonian , regularny , zero-symetryczny
	Tabela wykresów i parametrów

Dwudziestodwunastościan ścięty
(Kliknij tutaj, aby zobaczyć model obrotowy)
Rodzaj	Bryła Archimedesa Jednolity wielościan
Elementy	F = 62, E = 180, V = 120 (χ = 2)
Twarze po bokach	30{4}+20{6}+12{10}
notacja Conway	bd lub tad
Symbole Schläfli	tr{5,3} lub ${\ Displaystyle t {\ zacząć {Bmatrix} 5 \ \ 3 \ koniec {Bmatrix}}}$
Symbole Schläfli	t _0,1,2 {5,3}
Symbol Wythoffa	2 3 5 \|
Schemat Coxetera
Grupa symetrii	I _h , H ₃ , [5,3], (*532), rząd 120
Grupa rotacyjna	I , [5,3] ⁺ , (532), rząd 60
Kąt dwuścienny	6-10: 142,62° 4-10: 148,28° 4-6: 159,095°
Bibliografia	U ₂₈ , C ₃₁ , W ₁₆
Nieruchomości	Półregularny wypukły zonohedron
Kolorowe twarze	4.6.10 ( rysunek wierzchołka )
Disdyakis triacontahedron ( podwójny wielościan )	Netto

W geometrii The ściętego icosidodecahedron jest Archimedesa stałe , jeden z trzynastu wypukły isogonal nonprismatic stałych wykonanych z dwóch lub większej liczby typów foremnego powierzchni .

Ma 62 boki : 30 kwadratów , 20 foremnych sześciokątów i 12 foremnych dziesięciokątów . Ma najwięcej krawędzi i wierzchołków ze wszystkich brył platońskich i archimedesowych, chociaż dwunastościan zadarty ma więcej twarzy. Ze wszystkich wielościanów przechodnich wierzchołkowych zajmuje największy procent (89,80%) objętości kuli, w którą jest wpisany, bardzo wąsko pokonując dwunastościan załamany (89,63%) i mały dwunastościan rombowy (89,23%), a pokonując mniej wąsko ścięty Dwudziestościan (86,74%); ma również zdecydowanie największą objętość (206,8 jednostek sześciennych), gdy długość krawędzi wynosi 1. Ze wszystkich wierzchołków przechodnich wielościanów, które nie są pryzmatami ani antypryzmatami, ma największą sumę kątów (90 + 120 + 144 = 354 stopnie) na każdym wierzchołku; tylko pryzmat lub antypryzmat z więcej niż 60 bokami miałby większą sumę. Ponieważ każda z jego ścian ma symetrię punktową (odpowiednik symetrii obrotowej 180° ), dwudziestościan ścięty dwudziestościanem ściętym jest zonohedronem .

Nazwy

Nazwa skrócona dwudziestodwunastościan skrócony , nadana pierwotnie przez Johannesa Keplera , jest myląca. Rzeczywisty obcięcie o icosidodecahedron ma prostokąty zamiast kwadratów . Ten niejednolity wielościan jest topologicznie równoważny bryle Archimedesa.

Alternatywne nazwy wymienne to:

Dwunastościan ścięty ( Johannes Kepler )
Dwudziesto-dwunastościan rombowo-łamany ( Magnus Wenninger )
Wielki dwunastościan rombowy ( Robert Williams , Peter Cromwell)
Dwunastościan wszechścięty lub dwudziestościan ( Norman Johnson )

Dwunastościan dwudziestościanu i jego obcięcie

Nazwa wielki dwudziesto-dwunastościan rombowy mały odnosi się do relacji z (mały) dwudziesto-dwunastościan rombowy mały (porównaj rozdział rozwarstwienia ).
Istnieje niewypukły jednostajny wielościan o podobnej nazwie, niewypukły wielki dwunastościan rombowy .

Powierzchnia i objętość

Pole powierzchni A i objętość V dwunastościanu ściętego o długości krawędzi a wynoszą:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} A i = 30 \ lewo (1 + {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ po prawej) a ^ {2} i \około 174.292\,0303a^{2}.\\V&=\left(95+50{\sqrt {5}}\right)a^{3}&&\około 206.803\,399a^{3}.\end {wyrównany}}}

Gdyby zestaw wszystkich 13 brył Archimedesa został skonstruowany przy wszystkich długościach krawędzi równych, dwudziestodwunastościan ścięty byłby największy.

współrzędne kartezjańskie

Współrzędne kartezjańskie dla wierzchołków ściętego dwunastościanu dwudziestościanu o długości krawędzi 2 φ − 2, wyśrodkowanej na początku, są permutacjami parzystymi :

(± 1φ, ±1φ, ±(3 + φ )),

(±2φ, ± φ , ± (1 + 2 φ )),

(±1φ, ± φ ² , ±(−1 + 3 φ )),

(±(2 φ − 1), ±2, ±(2 + φ )) i

(± φ , ± 3, ± 2 φ )

gdzie φ = 1 + √ 5/2jest złotym podziałem .

Sekcja

Ściętego icosidodecahedron jest wypukła kadłub z dwudziesto-dwunastościan rombowy mały z prostopadłościanów powyżej jego 30 kwadratów, którego stosunek wysokości do podstawy jest $φ$ . Resztę jego przestrzeni można rozciąć na niejednorodne kopuły, mianowicie 12 między wewnętrznymi pięciokątami i zewnętrznymi dziesięciokątami oraz 20 między wewnętrznymi trójkątami i zewnętrznymi sześciokątami .

Alternatywna sekcja ma również rdzeń rombowo-dwunastościenny. Ma 12 pięciokątnych rotund pomiędzy wewnętrznymi pięciokątami a zewnętrznymi pięciokątami. Pozostała część to wielościan toroidalny .

obrazy sekcji
Te obrazy przedstawiają dwunastościan rombowy (fioletowy) i dwunastościan ścięty (zielony). Jeśli ich długość krawędzi wynosi 1, odległość między odpowiadającymi im kwadratami wynosi $φ$ . Toroidalny wielościan pozostały po wycięciu rdzenia i dwunastu rotund

Rzuty prostopadłe

Dwudziestodwunastościan ścięty ma siedem specjalnych rzutów prostopadłych , wyśrodkowanych na wierzchołku, na trzech typach krawędzi i trzech typach ścian: kwadratowej, sześciokątnej i dziesięciokątnej. Ostatnie dwa odpowiadają samolotom A ₂ i H ₂ Coxeter .

Rzuty prostopadłe
Wyśrodkowany przez	Wierzchołek	Krawędź 4-6	Krawędź 4-10	Krawędź 6-10	Kwadratowa twarz	Sześciokąt twarzy	Dziesięciokąt twarzy
Solidny
Szkielet
Symetria projekcyjna	[2] ⁺	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Podwójny obraz

Dachówki sferyczne i diagramy Schlegla

Dwudziestodwunastościan ścięty może być również przedstawiony jako kafelek sferyczny i rzutowany na płaszczyznę za pomocą rzutu stereograficznego . Ta projekcja jest konforemna , zachowując kąty, ale nie powierzchnie lub długości. Linie proste na sferze są rzutowane na płaszczyznę jako łuki kołowe.

Diagramy Schlegla są podobne, z rzutem perspektywicznym i prostymi krawędziami.

Rzut prostokątny	Projekcje stereograficzne
	dziesięciobok -centered	Sześciokąt -centrowany	Plac -centered

Wariacje geometryczne

W ciągu ikozahedralnymi symetrii istnieją nieograniczone geometryczne warianty obcięty icosidodecahedron z isogonal twarze. Dwunastościan ścięty , dwudziesto-dwunastościan rombowy mały , a obcięte icosahedron jako zdegenerowanych przypadkach granicznych.

Obcięty wykres ikozydodekaedryczny

W matematycznej dziedzinie teorii wykres , A ściętego icosidodecahedral wykres (lub wielkie rhombicosidodecahedral wykres ) jest wykresem wierzchołkach i krawędziach ściętego icosidodecahedron, jeden z Archimedesa stałych . Ma 120 wierzchołków i 180 krawędzi i jest zerowo-symetrycznym i sześciennym grafem Archimedesa .

Wykresy diagramu Schlegla
3-krotna symetria	Symetria 2-krotna

Powiązane wielościany i płytki


Dwudziestościan i dwunastościan muszki zawierają dwie trapezoidalne twarze zamiast kwadratu.

Rodzina jednolitych wielościanów dwudziestościennych
Symetria : [5,3] , (*532)							[5,3] ⁺ , (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals do jednolitych wielościanów

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Ten wielościan można uznać za element ciągu jednorodnych wzorów z figurą wierzchołkową (4.6.2 p ) i diagramem Coxetera-Dynkina . W przypadku p <6 elementy sekwencji są omnitruncated wielościany ( zonohedrons ), pokazany poniżej w postaci kulistych tilings. Dla p > 6 są to kafelki płaszczyzny hiperbolicznej, zaczynając od ściętego kafelka trójheptagonalnego .

* n 32 mutacje symetrii wszechskróconych płytek : 4.6.2n v t mi
Sym. * n 32 [ n ,3]	Kulisty				Euklidesa.	Kompaktowa hiperb.		Parako.	Niekompaktowy hiperboliczny
Sym. * n 32 [ n ,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Figury
Konfig.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Podwójny
Konfig.	V4.6.4	V4.6.6	Wersja 4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i