Dwudwunastościan rombowy - Rhombicosidodecahedron

Dwudziesto-dwunastościan rombowy
(Kliknij tutaj, aby zobaczyć model obrotowy)
Rodzaj	Bryła Archimedesa Jednolity wielościan
Elementy	F = 62, E = 120, V = 60 (χ = 2)
Twarze po bokach	20{3}+30{4}+12{5}
notacja Conway	ED lub AAD
Symbole Schläfli	rr{5,3} lub ${\ Displaystyle r {\ zacząć {Bmatrix} 5 \ \ 3 \ koniec {Bmatrix}}}$
	t 0,2 {5,3}
Symbol Wythoffa	3 5 | 2
Schemat Coxetera
Grupa symetrii	I h , H 3 , [5,3], (*532), rząd 120
Grupa rotacyjna	I , [5,3] + , (532), rząd 60
Kąt dwuścienny	3-4: 159°05′41″ (159.09°) 4-5: 148°16′57″ (148,28°)
Bibliografia	U 27 , C 30 , W 14
Nieruchomości	Półregularny wypukły
Kolorowe twarze	3.4.5.4 ( rysunek wierzchołka )
Sześciościan deltoidalny ( podwójny wielościan )	Internet

W geometrii The dwudziesto-dwunastościan rombowy mały , to Archimedesa stałe , jeden z trzynastu wypukły isogonal nonprismatic ciał stałych wykonanych z dwóch lub większej liczby typów foremnego powierzchni .

Ma 20 regularnych trójkątnych ścian, 30 kwadratowych ścian, 12 regularnych ścian pięciokątnych , 60 wierzchołków i 120 krawędzi .

Nazwy

Johannes Kepler w Harmonices Mundi (1618) nazwał ten wielościan dwudziesto-dwunastościan rombowy mały , będący skrótem obcinane icosidodecahedral romb z icosidodecahedral romb jest jego nazwa dla trzydziestościan rombowy . Istnieją różne skrócenia trójścianu rombowego do topologicznego dwunastościanu rombowego: wyraźnie jego prostowanie (po lewej), to, które tworzy jednolitą bryłę (w środku) i prostowanie podwójnego dwudziestodwastościanu (po prawej), który jest rdzeniem podwójnego związku .

Można go również nazwać dwunastościanem rozszerzonym lub kantelowanym lub dwudziestościanem, od operacji skrócenia na dowolnym wielościanie jednostajnym .

Wymiary

W przypadku dwunastościanu rombowego o długości krawędzi a jego pole powierzchni i objętość wynoszą:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} A & = \ lewo (30 + 5 {\ sqrt {3}} + 3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} \ po prawej) a ^ {2} &&\około 59,305\,982\,844\,9a^{2}\\V&={\frac {60+29{\sqrt {5}}}{3}}a^{3}&&\około 41,615\ ,323\,782\,5a^{3}\end{wyrównany}}}$

Relacje geometryczne

Jeśli rozwijać się icosahedron przesuwając twarze od pochodzenia odpowiedniej ilości, bez zmiany orientacji lub wielkości powierzchni, i zrobić to samo z jego podwójnej dwunastościanu i załatać kwadratowe otwory w rezultacie otrzymasz dwudziesto-dwunastościan rombowy mały. W związku z tym ma taką samą liczbę trójkątów jak dwudziestościan i taką samą liczbę pięciokątów jak dwunastościan, z kwadratem na każdej krawędzi.

Alternatywnie, jeśli rozszerzysz każdy z pięciu sześcianów, odsuwając ściany o odpowiednią wartość od początku i obracając każdą z pięciu o 72° wokół, aby były w równej odległości od siebie, bez zmiany orientacji lub rozmiaru ścian, i załataj w wyniku pięciokątne i trójkątne otwory, otrzymujesz dwunastościan rombowy. Dlatego ma taką samą liczbę kwadratów jak pięć sześcianów.

Dwie grupy z powierzchniami bilunabirotunda , że lunes (każdy lune wyposażony w dwa trójkąty przyległe do przeciwległych boków jednej kwadrat), mogą być dostosowane do plastra zgodnego z powierzchniami w dwudziesto-dwunastościan rombowy mały. Jeśli dwie bilunabirotundae są ustawione w ten sposób po przeciwnych stronach dwunastościanu rombowego, wówczas sześcian można umieścić między bilunabirotundae w samym środku dwunastościanu rombowego.

Dwunastościan rombowy dzieli układ wierzchołków z małym dwunastościanem ściętym gwiaździstym oraz z jednorodnymi związkami sześciu lub dwunastu graniastosłupów pentagramu .

W Zometool zestawy do tworzenia geodezyjnych kopuły i inne wykorzystanie wielościany szczelinowe kule jak złącza. Kule są „rozszerzone” rombowo-dwunastościanami, z kwadratami zastąpionymi prostokątami. Rozszerzenie jest tak dobrane, aby powstałe prostokąty były złotymi prostokątami .

Dwanaście z 92 brył Johnsona pochodzi z dwunastościanu rombowego, cztery z nich przez rotację jednej lub więcej pięciokątnych kopuł : gyrate , parabigyrate , metabigyrate i trigyrate rombowodwunastościan . Osiem kolejnych można zbudować, usuwając do trzech kopuł, a czasem także obracając jedną lub więcej innych kopuł.

współrzędne kartezjańskie

Współrzędne kartezjańskie dla wierzchołków dwunastościanu rombowego o długości krawędzi 2 wyśrodkowanej na początku są parzystymi permutacjami :

(±1, ±1, ± φ ³ ),

(± φ ² , ± φ , ± 2 φ ),

(±(2+ φ ), 0, ± φ ² ),

gdzie φ  = 1 + √ 5/2jest złotym podziałem . Zatem promień obwodu tego dwunastościanu rombowego jest wspólną odległością tych punktów od początku, a mianowicie √ φ ⁶ +2 = √ 8φ+7 dla długości krawędzi 2. Dla jednostkowej długości krawędzi R musi być zmniejszona o połowę, dając

R =√ 8 φ +7/2 = √ 11+4 √ 5/2 2.233.

Rzuty ortogonalne

Dwudziesto-dwunastościan rombowy mały ma sześć specjalne projekcje prostopadłe , skoncentrowany na wierzchołku na dwóch rodzajach krawędzi i trzech rodzajach powierzchni: trójkątów, kwadratów i pięciokątów. Ostatnie dwa odpowiadają samolotom A ₂ i H ₂ Coxeter .

Rzuty ortogonalne

Wyśrodkowany przez	Wierzchołek	Krawędź 3-4	Krawędź 5-4	Kwadrat twarzy	Trójkąt twarzy	Twarz Pentagonu
Solidny
Szkielet
Symetria projekcyjna	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Podwójny obraz

Dachówka sferyczna

Dwudziestodwunastościan rombowy może być również przedstawiony jako kafelek sferyczny i rzutowany na płaszczyznę za pomocą projekcji stereograficznej . Ta projekcja jest konforemna , zachowując kąty, ale nie powierzchnie lub długości. Linie proste na sferze są rzutowane na płaszczyznę jako łuki kołowe.

	Pentagon -centrowany	Trójkąt -centrowany	Plac -centered
Rzut prostokątny	Projekcje stereograficzne

Powiązane wielościany

Rodzina jednolitych wielościanów dwudziestościennych
Symetria : [5,3] , (*532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals do jednolitych wielościanów
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Mutacje symetrii

Ten wielościan jest topologicznie powiązany jako część sekwencji wielościanów kantelowych z figurą wierzchołkową (3.4.n.4), która jest kontynuowana jako kafelki płaszczyzny hiperbolicznej . Te figury przechodnie wierzchołkowe mają (*n32) symetrię refleksyjną .

* n 32 mutacja symetrii ekspandowanych płytek: 3.4. n .4
Symetria * n 32 [n,3]	Kulisty				Euklidesa.	Kompaktowa hiperb.		Parakomp.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Postać
Konfig.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

ciała stałe Johnsona

Istnieje 13 powiązanych brył Johnsona , 5 przez zmniejszenie i 8 z wirowaniami:

Zmniejszone

J5

76

80

81

83

Zwirowany i/lub zmniejszony

72	73	74	75
77	78	79	82

Układ wierzchołków

Udziałów dwudziesto-dwunastościan rombowy mały jego układ wierzchołek z trzema nonconvex jednolitego wielościanów : the small gwiezdny dwunastościan ścięty The mały dodecicosidodecahedron (mający trójkątne i pięciokątne twarze wspólne), a mały rhombidodecahedron (mający kwadratowe twarze często).

Zawiera on również ich ustawienie wierzchołka z jednolitych związków o sześciu albo dwunastu pentagrammic graniastosłupów .

Dwudziesto-dwunastościan rombowy	Mały dwunastościan dodecicosid	Mały romb-dwunastościan
Mały dwunastościan ścięty z gwiazdami	Związek sześciu pryzmatów pentagramowych	Złożony z dwunastu pryzmatów pentagramowych

Wykres dwunastościenno-rombowy

Wykres dwunastościenno-rombowy
Diagram Schlegla wyśrodkowany w Pentagonie
Wierzchołki	60
Krawędzie	120
Automorfizmy	120
Nieruchomości	Wykres kwarcowy , hamiltonian , regularny
Tabela wykresów i parametrów

W matematycznej dziedzinie teorii grafów , graf rombowy dwunastościan jest wykresem wierzchołków i krawędzi dwunastościanu rombowego, jednej z brył Archimedesa . Ma 60 wierzchołków i 120 krawędzi i jest grafem kwarcowym grafem Archimedesa .

Zobacz też

• Dwudwunastościan rombowy ścięty

Uwagi

Bibliografia

• Williams, Robert (1979). Geometryczne podstawy struktury naturalnej: źródłowa księga projektowania . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Rozdział 3-9)
• Cromwell, P. (1997). Wielościany . Wielka Brytania: Cambridge. s. 79–86 Bryły Archimedesa . Numer ISBN 0-521-55432-2.
• The Big Bang Theory Seria 8 Odcinek 2 - Junior prof Rozwiązanie : Cechy tego osadu jako odpowiedź do nauki improwizacja quizu główne cztery znaki mają w Leonarda i Sheldona mieszkaniu, a także jest zilustrowany w Chuck Lorre „s Vanity karty # 461 w koniec tego odcinka.

Zewnętrzne linki

• Eric W. Weisstein , Mały dwunastościan romboidalny ( bryła Archimedesa ) w MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. „Mały wykres dwunastościan rombowy” . MatematykaŚwiat .
• Klitzing, Richard. "Wypukły jednolity wielościan 3D x3o5x - srid" .
• Edytowalna, drukowana siatka dwunastościanu romboidalnego z interaktywnym widokiem 3D
• Jednolite wielościany
• Wielościany wirtualnej rzeczywistości Encyklopedia wielościanów