Struktura wirowania - Spin structure

W geometrii różniczkowej , A struktura wirowania na orientowanego Riemanna kolektora ( M , g ) pozwala na określenie związane wiązek Spinor , dając pojęciem Spinor w różnicowej geometrii.

Struktury spinowe mają szerokie zastosowanie w fizyce matematycznej , w szczególności w kwantowej teorii pola , gdzie są niezbędnym składnikiem definicji każdej teorii z nienaładowanymi fermionami . Są one również przedmiotem zainteresowania czysto matematycznej w geometrii różniczkowej , topologii algebraicznej i teorii K . Stanowią podstawę geometrii spinu .

Przegląd

W geometrii iw teorii pola matematycy pytają, czy dana zorientowana rozmaitość riemannowska ( M , g ) dopuszcza spinory . Jedną z metod radzenia sobie z tym problemem jest wymaganie, aby M miał strukturę spinową. Nie zawsze jest to możliwe, ponieważ istnieje potencjalna topologiczna przeszkoda w istnieniu struktur spinowych. Struktury spinowe będą istniały wtedy i tylko wtedy, gdy druga klasa Stiefela–Whitneya w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) z M zniknie. Co więcej, jeśli w ₂ ( M ) = 0 , to zbiór klas izomorfizmu struktur spinowych na M podlega swobodnym i przechodnim oddziaływaniom H ¹ ( M , Z ₂ ). Ponieważ zakłada się, że rozmaitość M jest zorientowana, pierwsza klasa Stiefela–Whitneya w ₁ ( M ) ∈ H ¹ ( M , Z ₂ ) z M również zanika. (Klasy Stiefela–Whitneya w _i ( M ) ∈ H ⁱ ( M , Z ₂ ) rozmaitości M są zdefiniowane jako klasy Stiefela–Whitneya jej wiązki stycznej TM .)

Wiązka spinors gatunku _S : S → M na M jest więc złożony system wektora związane z odpowiednim głównym wiązka gatunku _P : P → M z ramek wirowania ponad M i reprezentacja spin jego obroty grupy strukturalnej ( n ) na powierzchni spinorów Δ _n . Wiązka S nazywana jest wiązką spinorową dla danej struktury spinowej na M .

Dokładne zdefiniowanie struktury spinu na kolektorze było możliwe dopiero po wprowadzeniu pojęcia wiązki włókien ; André Haefliger (1956) odkrył topologiczną przeszkodę w istnieniu struktury spinowej na orientowalnej rozmaitości riemannowskiej, a Max Karoubi (1968) rozszerzył ten wynik na nieorientowalny przypadek pseudo-Riemanna.

Struktury spinowe na rozmaitościach riemannowskich

Definicja

Struktura spinowa na orientowalnej rozmaitości riemannowskiej (M,g) jest ekwiwariantnym podniesieniem zorientowanej ortonormalnej wiązki ramek F _SO ( M ) → M względem podwójnego pokrycia ρ: Spin( n ) → SO( n ). Innymi słowy, para ( P , C _P ) jest strukturą, spin na głównej wiązki Õ: F _SO ( M ) → M Kiedy

a) π _P : P → M jest główną wiązką Spin( n ) nad M ,

b) F _P : P → F _SO ( M ) jest ekwiwariantną 2-krotną mapą pokrywającą taką, że

${\ Displaystyle \ pi \ circ F_ {\ mathbf {P}} = \ pi _ {\ mathbf {P}}}$i F _P ( P P ) = C _P ( t ) ρ ( q ) dla wszystkich P ∈ P i Q ∈ wirówki ( n ).

Wiązka główna π _P : P → M nazywana jest również wiązką ram spinowych nad M .

Dwie struktury spinowe ( P ₁ , F _{P 1} ) i ( P ₂ , F _{P 2} ) na tej samej zorientowanej rozmaitości riemannowskiej (M,g) nazywane są "równoważnikami", jeśli istnieje mapa ekwiwariantna spin( n ) f : P ₁ → P ₂ taki, że

${\ Displaystyle F_ {\ mathbf {P} _ {2}} \ circ f = F_ {\ mathbf {P} _ {1}}}$oraz f ( p q ) = f ( p ) q dla wszystkich oraz q ∈ Spin( n ).${\displaystyle {\mathbf {p}}\w {\mathbf {P}_{1}}}$

Oczywiście w tym przypadku i są to dwa równoważne podwójne pokrycia zorientowanego układu ortonormalnego SO( n )-wiązka F _SO ( M ) → M danej rozmaitości Riemanna (M,g) . ${\ Displaystyle F_ {\ mathbf {P} _ {1}}}$${\ Displaystyle F_ {\ mathbf {P} _ {2}}}$

Taką definicję struktury spinu na ( M , g ) jako struktury spinu na wiązce głównej F _SO ( M ) → M zawdzięcza André Haefligerowi (1956).

Przeszkoda

André Haefliger znalazł warunki konieczne i wystarczające dla istnienia struktury spinowej na zorientowanej rozmaitości riemannowskiej ( M , g ). Przeszkodą w posiadaniu struktury spinowej jest pewien pierwiastek [ k ] H ² ( M , Z ₂ ). Dla struktury spinowej klasa [ k ] jest drugą klasą Stiefela–Whitneya w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) z M . Zatem struktura spinowa istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy druga klasa Stiefela–Whitneya w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) z M zanika.

Struktury spinowe na wiązkach wektorowych

Niech K będzie parazwartą topologiczna kolektora i e zorientowane wektor wiązki na M wymiaru n wyposażony metryki włókien . Oznacza to, że w każdym punkcie M włókno E jest wewnętrzną przestrzenią produktu . Wiązka spinorowa E jest receptą na konsekwentne kojarzenie reprezentacji spinu z każdym punktem M . Istnieją przeszkody topologiczne, aby móc to zrobić, a co za tym idzie, wiązka E może nie dopuszczać żadnej wiązki spinorowej. Jeśli tak, mówi się, że wiązka E to spin .

Może to być rygorystyczne poprzez język wiązek głównych . Zbiór zorientowanych ortonormalnych ramki wektora Bundle tworzą ramę wiązki P _SO ( E ), która jest głównym wiązka pod działaniem specjalnej grupy prostopadłym SO ( n ). Struktura wirowanie dla P _SO ( E ) jest winda z P _SO ( E ) z głównym wiązki P _wirowania ( E ) w działaniu grupy wirowania wirówki ( n ), przez co rozumie się, że istnieje wiązki mapę cp : P _Spin ( E ) → P _SO ( E ) taki, że

${\ Displaystyle \ phi (pg) = \ phi (p) \ rho (g)}$, dla wszystkich p ∈ P _Spin ( E ) i g ∈ Spin( n ) ,

gdzie ρ  : Spin( n ) → SO( n ) to odwzorowanie grup prezentujących grupę spinową jako podwójne pokrycie SO( n ).

W szczególnym przypadku, w którym E jest wiązką styczną TM nad rozmaitością bazową M , jeśli istnieje struktura spinowa, to mówi się, że M jest rozmaitością spinową . Równoważnie M jest spinem, jeśli wiązka główna SO( n ) baz ortonormalnych włókien stycznych M jest ilorazem Z ₂ głównej wiązki spinowej.

Jeśli rozmaitość ma rozkład komórek lub triangulację , strukturę spinu można równoważnie uznać za homotopijną klasę trywializacji wiązki stycznej nad szkieletem 1, który rozciąga się na szkielet 2 . Jeśli wymiar jest mniejszy niż 3, najpierw bierze się sumę Whitneya z trywialnym pakietem liniowym.

Przeszkoda i klasyfikacja

W przypadku orientowalnej wiązki wektorowej struktura spinowa istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy znika druga klasa Stiefela-Whitneya . To zasługa Armanda Borela i Friedricha Hirzebrucha . Ponadto, w przypadku spinu, liczba struktur spinowych jest w bijekcji z . Wyniki te mogą być łatwo sprawdzone ^{str 110-111} za pomocą spektralnej sekwencji argument dla powiązanej głównego -bundle . Zauważ, że to powoduje rozwłóknienie${\ Displaystyle \ pi _ {E}: E \ do M}$${\ Displaystyle E}$ ${\displaystyle w_{2}(E)}$${\ Displaystyle E \ do M}$${\ Displaystyle H ^ {1} (M \ mathbb {Z} / 2)}$${\ Displaystyle SO (n)}$${\ Displaystyle P_ {E} \ do M}$

${\ Displaystyle SO (n) \ do P_ {E} \ do M}$

stąd można zastosować sekwencję widmową Serre'a . Z ogólnej teorii ciągów spektralnych istnieje dokładna sekwencja

${\ Displaystyle 0 \ do E_ {3}^ {0,1} \ do E_ {2} ^ {0,1} \ xrightarrow {d_ {2}} E_ {2} ^ {2,0} \ do E_ { 3}^{2,0}\do 0}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} E_ {2} ^ {0,1} i = H ^ {0} (M, H ^ {1} (SO (n), \ mathbb {Z} / 2)) = H^{1}(SO(n),\mathbb {Z} /2)\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(SO(n ),\mathbb {Z} /2))=H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)\end{wyrównany}}}$

Dodatkowo i za jakąś filtrację na , stąd dostajemy mapę${\ Displaystyle E_ {\ infty} ^ {0,1} = E_ {3} ^ {0,1}}$${\ Displaystyle E_ {\ infty} ^ {0,1} = H ^ {1} (P_ {E} \ mathbb {Z} / 2) / F ^ {1} (H ^ {1} (P_ {E) },\mathbb {Z} /2))}$${\ Displaystyle H ^ {1} (P_ {E} \ mathbb {Z} / 2)}$

${\ Displaystyle H ^ {1} (P_ {E} \ mathbb {Z} / 2) \ do E_ {3} ^ {0,1}}$

podając dokładną sekwencję

${\ Displaystyle H ^ {1} (P_ {E}, \ mathbb {Z} / 2) \ do H ^ {1} (SO (n), \ mathbb {Z} / 2) \ do H ^ {2} (M,\mathbb {Z} /2)}$

Teraz struktura spinu jest dokładnie podwójnym pokryciem dopasowania do diagramu przemiennego${\displaystyle P_{E}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} Spin (n) & \ do & {\ tylda {P}} _ {E} & \ do & M \ \ \ downarrow & & \ downarrow & & \ downarrow \ \ tak (n) & \ do &P_{E}&\do &M\end{macierzy}}}$

gdzie dwie lewe mapy pionowe są mapami podwójnego pokrycia. Teraz podwójne pokrycia z są w bijekcji z indeksem podgrup , co jest w bijekcji ze zbiorem morfizmów grup . Ale z twierdzenia Hurewicza i zmiany współczynników jest to dokładnie grupa kohomologii . Stosując ten sam argument do , nietrywialne pokrycie odpowiada , a mapa do jest właśnie , stąd . Jeśli znika, to odwrócony obraz pod mapą${\displaystyle P_{E}}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ pi _ {1}(P_ {E})}$${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} (\ pi _ {1} (E), \ mathbb {Z} /2)}$${\ Displaystyle H ^ {1} (P_ {E} \ mathbb {Z} / 2)}$${\ Displaystyle SO (n)}$${\ Displaystyle Spin (n) \ do SO (n)}$${\ Displaystyle 1 \ w H ^ {1} (SO (n), \ mathbb {Z} / 2) = \ mathbb {Z} /2}$${\ Displaystyle H ^ {2} (M \ mathbb {Z} / 2)}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle w_{2}(1)=w_{2}(E)}$${\ Displaystyle 1}$

${\ Displaystyle H ^ {1} (P_ {E} \ mathbb {Z} / 2) \ do H ^ {1} (SO (n), \ mathbb {Z} / 2)}$

to zestaw podwójnych pokryć dających struktury spinowe. Teraz ten podzbiór można zidentyfikować za pomocą , pokazując, że ta ostatnia grupa kohomologii klasyfikuje różne struktury spinowe w wiązce wektorowej . Można to zrobić, patrząc na długą dokładną sekwencję grup homotopii fibracji${\ Displaystyle H ^ {1} (P_ {E} \ mathbb {Z} / 2)}$${\ Displaystyle H ^ {1} (M \ mathbb {Z} / 2)}$${\ Displaystyle E \ do M}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (SO (n)) \ do \ pi _ {1} (P_ {E}) \ do \ pi _ {1} (M) \ do 1}$

i aplikowanie , podając kolejność grup kohomologicznych${\ Displaystyle {\ tekst {Dom}} (- \ mathbb {Z} / 2)}$

${\ Displaystyle 0 \ do H ^ {1} (M \ mathbb {Z} / 2) \ do H ^ {1} (P_ {E} \ mathbb {Z} / 2) \ do H ^ {1} (SO(n),\mathbb {Z} /2)}$

Ponieważ jest jądrem, a odwrotny obraz jest w bijekcji z jądrem, mamy pożądany rezultat. ${\ Displaystyle H ^ {1} (M \ mathbb {Z} / 2)}$${\ Displaystyle 1 \ w H ^ {1} (SO (n), \ mathbb {Z} / 2)}$

Uwagi dotyczące klasyfikacji

Gdy istnieją struktury spinowe, nierównoważne struktury spinowe na rozmaitości mają związek jeden do jednego (nie kanoniczny) z elementami H ¹ ( M , Z ₂ ), który według twierdzenia o uniwersalnym współczynniku jest izomorficzny z H ₁ ( M , Z ₂ ). Dokładniej, przestrzeń klas izomorfizmu struktur spinowych jest przestrzenią afiniczną nad H ¹ ( M , Z ₂ ).

Intuicyjnie, dla każdego nietrywialnego cyklu na M struktura spinu odpowiada binarnemu wyborowi tego, czy sekcja wiązki SO( N ) przełącza arkusze, gdy jeden z nich otacza pętlę. Jeśli w ₂ znika wtedy te wybory mogą być rozszerzone na dwu- szkieletu , a następnie (po teorii niedrożności ) mogą być automatycznie rozciąga się na wszystkie M . W fizyce cząstek elementarnych odpowiada to wyborowi okresowych lub antyperiodycznych warunków brzegowych dla fermionów krążących wokół każdej pętli. Zauważ, że na rozmaitości zespolonej druga klasa Stiefela-Whitneya może być obliczona jako pierwsza klasa chern . ${\ Displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tekst{mod}}2}$

Przykłady

1. Rodzaju g Powierzchnia Riemanna przyznaje 2 ^{2 g} struktury inequivalent wirowania; zobacz charakterystykę theta .
2. Jeśli H ² ( M , Z ₂ ) znika, M to spin . Na przykład S ⁿ to spin dla wszystkich . (Zauważ, że S ² to także spin , ale z innych powodów; patrz poniżej.)${\displaystyle n\neq 2}$
3. Kompleks płaszczyźnie rzutowej CP ² jest wirowanie .
4. Mówiąc bardziej ogólnie, wszystkie parzystowymiarowe złożone przestrzenie rzutowe CP ^{2 n} nie są spinowe .
5. Wszystkie nieparzystowymiarowe złożone przestrzenie rzutowe CP ²ⁿ⁺¹ są spinem .
6. Wszystkie kompaktowe, orientowalne rozmaitości o wymiarze 3 lub mniejszym są spinowe .
7. Wszystkie rozmaitości Calabiego–Yau są spinowe .

Nieruchomości

• Rodzaj A rozgałęźną wirowania jest liczbą całkowitą, i jest parzystą liczbą całkowitą Jeżeli dodatkowo wymiar wynosi 4 mod 8.

  Ogólnie rzecz biorąc, rodzaj  jest niezmiennikiem wymiernym, zdefiniowanym dla dowolnej rozmaitości, ale na ogół nie jest liczbą całkowitą.

  Zostało to pierwotnie udowodnione przez Hirzebrucha i Borela , a można to udowodnić za pomocą twierdzenia o indeksie Atiyaha-Singera , przyjmując rodzaj  jako indeks operatora Diraca – operator Diraca jest pierwiastkiem kwadratowym z operatora drugiego rzędu i istnieje dzięki do struktury spinowej będącej „pierwiaskiem kwadratowym”. Był to motywujący przykład dla twierdzenia o indeksie.

Struktury Spin ^C

Struktura spinu ^C jest analogiczna do struktury spinu na zorientowanej rozmaitości Riemanna , ale wykorzystuje grupę Spin ^C , która jest zdefiniowana przez dokładną sekwencję

${\ Displaystyle 1 \ do \ mathbb {Z} _ {2} \ do \ operatorname {Spin} ^ {\ mathbf {C}} (n) \ do \ operatorname {SO} (n) \ razy \ operatorname {U} (1)\do 1.}$

Aby to uzasadnić, załóżmy, że κ  : Spin( n ) → U( N ) jest złożoną reprezentacją spinorową. Środek U( N ) składa się z elementów diagonalnych pochodzących z inkluzji i  : U(1) → U( N ) , czyli skalarnych wielokrotności identyczności. Tak więc istnieje homomorfizm

${\ Displaystyle \ kappa \ razy ja \ dwukropek {\ operator wirowania} } (n) \ razy {\ operatorname {U}} (1) \ do {\ operatorname {U}} (N).}$

To zawsze będzie miało element (−1,−1) w jądrze. Biorąc iloraz modulo ten element daje grupę Spin ^C ( n ). To jest zakręcony produkt

${\ Displaystyle {\ operatorname {wirowanie} } ^ {\ mathbb {C}} (n) = {\ operatorname {wirowanie}} (n) \ razy _ {\ mathbb {Z} _ {2}} {\ operatorname { U} }(1)\,,}$

gdzie U(1) = SO(2) = S ¹ . Innymi słowy, grupa wirowania ^C ( n ) jest centralne przedłużenie SO ( n ) przez S ¹ .

Patrząc inaczej, Spin ^C ( n ) jest grupą ilorazową uzyskaną ze Spin( n ) × Spin(2) względem normalnego Z _{2 ,} który jest generowany przez parę przekształceń pokrywających dla wiązek Spin( n ) → SO( n ) i Spin(2) → SO(2) odpowiednio. To sprawia, że grupa Spin ^{C jest} zarówno wiązką nad kołem z włóknem Spin( n ), jak i wiązką nad SO( n ) z włóknem kołem.

Podstawowa grupa π ₁ (Spin ^C ( n )) jest izomorficzna z Z, jeśli n ≠ 2, iz Z ⊕ Z, jeśli n = 2.

Jeśli rozmaitość ma rozkład komórek lub triangulację , strukturę spinu ^C można równoważnie uznać za klasę homotopii złożonej struktury na szkielecie 2, który rozciąga się na szkielecie 3 . Podobnie jak w przypadku struktur spinowych, przyjmuje się sumę Whitneya z wiązką trywialną, jeśli rozmaitość jest nieparzysta.

Jeszcze inna definicja mówi, że struktura spinu ^C na rozmaitości N jest złożoną wiązką liniową L nad N razem ze strukturą spinową na T N ⊕ L .

Przeszkoda

Struktura spinowa ^C istnieje, gdy wiązka jest orientowalna i druga klasa Stiefela–Whitneya wiązki E znajduje się na obrazie odwzorowania H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (innymi słowy , znika trzecia całka klasy Stiefela–Whitneya). W tym przypadku mówi się, że E to spin ^C . Intuicyjnie, winda daje klasę Cherna kwadratu części U(1) dowolnej otrzymanej wiązki spinowej ^C. Zgodnie z twierdzeniem Hopfa i Hirzebrucha, zamknięte orientowalne 4-rozmaitości zawsze dopuszczają strukturę spinu ^C.

Klasyfikacja

Gdy rozmaitość niesie w ogóle strukturę o spinie ^C , zbiór struktur o spinie ^C tworzy przestrzeń afiniczną. Ponadto zbiór struktur spinowych ^C ma swobodne działanie przechodnie H ² ( M , Z ) . Zatem struktury spinowe ^C odpowiadają pierwiastkom H ² ( M , Z ), chociaż nie w sposób naturalny.

Obraz geometryczny

Ma to następującą interpretację geometryczną, którą zawdzięcza Edwardowi Wittenowi . Gdy spinowa struktura ^C jest niezerowa, ta wiązka pierwiastka kwadratowego ma niecałkową klasę Cherna, co oznacza, że ​​nie spełnia warunku potrójnego nakładania się . W szczególności iloczyn funkcji przejścia na trójstronnym skrzyżowaniu nie zawsze jest równy jedności, jak jest to wymagane dla wiązki głównej . Zamiast tego czasami jest -1.

To uszkodzenie występuje dokładnie na tych samych przecięciach, co identyczne uszkodzenie w potrójnych produktach funkcji przejścia zablokowanej wiązki spinowej . Zatem iloczyny potrójne funkcji przejścia pełnej spinowej wiązki ^c , które są iloczynami potrójnego produktu wiązek spinowych i składowych U(1), wynoszą 1 ² = 1 lub (−1) ² = 1 i tak wiązka spinu ^C spełnia warunek potrójnego zachodzenia na siebie i dlatego jest wiązką legalną.

Szczegóły

Powyższy intuicyjny obraz geometryczny można skonkretyzować w następujący sposób. Rozważ krótką dokładną sekwencję 0 → Z → Z → Z ₂ → 0 , gdzie druga strzałka to mnożenie przez 2 , a trzecia to redukcja modulo 2. To indukuje długą dokładną sekwencję na kohomologii, która zawiera

${\ Displaystyle \ kropki \ longrightarrow {\ textrm {H}} ^ {2} (M; \ mathbf {Z}) {\ stackrel {2} {\ longrightarrow}} {\ textrm {H}} ^ {2}( M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm { H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,}$

gdzie druga strzałka jest indukowana przez mnożenie przez 2, trzecia jest indukowana przez restrykcję modulo 2, a czwarta jest powiązanym homomorfizmem Bocksteina β .

Hamowanie do istnienia podziału wiązki jest elementem w ₂ o H ² ( M , Z ₂ ) . Odzwierciedla to fakt, że zawsze można lokalnie podnieść wiązkę SO(n) do wiązki spinowej , ale trzeba wybrać zniesienie Z ₂ każdej funkcji przejścia, co jest wyborem znaku. Winda nie istnieje, gdy iloczyn tych trzech znaków na potrójnym zachodzeniu wynosi -1, co daje obraz kohomologii Čecha w ₂ .

Aby usunąć tę przeszkodę, napina się tę wiązkę spinową wiązką U(1) z tą samą przeszkodą w ₂ . Zauważ, że jest to nadużycie słowa pakiet , ponieważ ani wiązka spinowa, ani wiązka U(1) nie spełniają warunku potrójnego zachodzenia na siebie, a zatem żadna z nich nie jest wiązką.

Prawidłowa wiązka U(1) jest klasyfikowana według jej klasy Chern , która jest elementem H ² ( M , Z ). Zidentyfikuj tę klasę za pomocą pierwszego elementu w powyższej dokładnej kolejności. Następna strzałka podwaja tę klasę Cherna, więc prawidłowe wiązki będą odpowiadały parzystym elementom w drugim H ² ( M , Z ) , podczas gdy nieparzyste elementy będą odpowiadały wiązkom, które nie spełnią warunku potrójnego nakładania się. Przeszkoda jest następnie klasyfikowana przez uszkodzenie elementu w drugim H ² ( M , Z ) na obrazie strzałki, który, przez dokładność, jest klasyfikowany przez jego obraz w H ² ( M , Z ₂ ) pod następna strzałka.

Aby anulować odpowiednią przeszkodę w wiązce spinowej , ten obraz musi być w ₂ . W szczególności, jeśli w ₂ nie ma na obrazie strzałki, to nie istnieje żadna wiązka U(1) z przeszkodą równą w _2, a więc przeszkoda nie może być usunięta. Dokładność w ₂ znajduje się na obrazie poprzedniej strzałki tylko wtedy, gdy znajduje się w jądrze następnej strzałki, co przypomina homomorfizm Bocksteina β. Oznacza to, że warunkiem anulowania przeszkody jest:

${\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}$

gdzie wykorzystaliśmy fakt, że trzecia całka Stiefela–Whitneya klasa W ₃ jest Bocksteinem drugiej klasy Stiefela–Whitneya w ₂ (można to przyjąć jako definicję W ₃ ).

Wyciągi integralne klas Stiefel–Whitney

Argument ten pokazuje również, że druga klasa Stiefela-Whitneya definiuje elementy nie tylko kohomologii Z _{2 ,} ale także kohomologii integralnej w jednym wyższym stopniu. W rzeczywistości dotyczy to wszystkich, nawet klas Stiefel-Whitney. Tradycyjnie używa się wielkiej litery W dla otrzymanych klas w nieparzystym stopniu, które są nazywane integralnymi klasami Stiefela-Whitneya i są oznaczone przez ich stopień (który jest zawsze nieparzysty).

Przykłady

1. Wszystkie zorientowane gładkie rozmaitości o wymiarze 4 lub mniejszym mają spin ^C .
2. Wszystkie prawie złożone rozmaitości mają spin ^C .
3. Wszystkie wirowania kolektory są wirowania ^C .

Zastosowanie w fizyce cząstek elementarnych

W fizyce cząstek na spin-statystyki tw powoduje, że falowa o naładowanej Fermion jest przekrojem towarzyszącym wektora wiązki do wirowania nośnej o SO ( N ) wiązki E . Dlatego wybór struktury spinowej jest częścią danych potrzebnych do zdefiniowania funkcji falowej i często trzeba zsumować te wybory w funkcji podziału . W wielu teoriach fizycznych E jest wiązką styczną , ale dla fermionów na objętościach światowych D-bran w teorii strun jest to wiązka normalna .

W kwantowej teorii pola naładowane spinory to odcinki powiązanych wiązek o spinie ^c , aw szczególności żadne naładowane spinory nie mogą istnieć w przestrzeni, która nie jest spinem ^c . Wyjątek pojawia się w niektórych teoriach supergrawitacji , w których dodatkowe interakcje sugerują, że inne pola mogą anulować trzecią klasę Stiefela-Whitneya. Opis matematyczny spinorów w supergrawitacji i teorii strun jest szczególnie subtelnym otwartym problemem, który został ostatnio poruszony w odnośnikach. Okazuje się, że standardowe pojęcie struktury spinowej jest zbyt restrykcyjne dla zastosowań w supergrawitacji i teorii strun, a poprawnym pojęciem struktury spinoralnej dla matematycznego sformułowania tych teorii jest „struktura Lipschitza”.

Zobacz też

• Struktura metaplektyczna
• Pakiet ramek ortonormalnych
• Spinor

Bibliografia

Dalsza lektura

• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometria obrotu . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . Numer ISBN 978-0-691-08542-5.
• Fryderyk, Tomasz (2000). Operatory Diraca w geometrii riemannowskiej . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Karoubi, Max (2008). Teoria K . Skoczek. s. 212–214. Numer ISBN 978-3-540-79889-7.
• Greub, Werner; Petry, Herbert-Rainer (2006) [1978]. „O podnoszeniu grup konstrukcji” . Różniczkowe metody geometryczne w fizyce matematycznej II . Notatki z wykładu z matematyki. 676 . Springer-Verlag. s. 217-246. doi : 10.1007/BFb0063673 . Numer ISBN 9783540357216.
• Scorpan, Alexandru (2005). "4.5 Uwagi Struktury spinowe, definicja grupy struktur; Równoważność definicji" . Dziki świat 4-rozmaitości . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. 174–189. Numer ISBN 9780821837498.

Linki zewnętrzne

• Coś na temat struktur spinowych autorstwa Sven-S. Porst to krótkie wprowadzenie do orientacji i struktur spinowych dla studentów matematyki.