Twierdzenie o uniwersalnym współczynniku - Universal coefficient theorem

W algebraicznej topologii , uniwersalne twierdzenia współczynnik ustanowienia relacji między grupami homologii (lub grupy kohomologii) z różnymi współczynnikami. Na przykład dla każdej przestrzeni topologicznej X jej integralne grupy homologii :

H _i ( X ; Z )

całkowicie określić jej grupy homologii ze współczynnikami w A , dla dowolnej grupy abelowej A :

H _i ( X ; A )

Tutaj H _I może być symplicjalnego homologii lub bardziej ogólnie pojedynczej homologii : sam wynik jest czystym kawałek homologicznej Algebra o kompleksów łańcuchów z wolnymi grupami abelian . Forma wyniku jest taka, że można zastosować inne współczynniki A , kosztem użycia funktora Tora .

Na przykład często przyjmuje się, że A jest Z / 2 Z , tak że współczynniki są modulo 2. Staje się to proste w przypadku braku 2- skrętności w homologii. Całkiem ogólnie, wynik wskazuje związek, który posiada między liczby bettiego b _I z X i liczby bettiego b _{I , F} , ze współczynnikami w zakresie F . Te mogą się różnić, ale tylko wtedy, gdy charakterystyka z F jest liczba pierwsza p , dla których istnieje pewne p -torsion w homologii.

Oświadczenie o przypadku homologii

Rozważmy produkt tensor modułów H _ı ( X ; Z ) ⊗ A . Twierdzenie stwierdza, że ​​istnieje krótka dokładna sekwencja z udziałem funktora Tora

${\ Displaystyle 0 \ do H_ {i} (X; \ mathbf {Z}) \ otimes A \, {\ overset {\ mu} {\ to}} \, H_ {i} (X; A) \ do \ nazwa operatora {Tor} _ {1} (H_ {i-1} (X; \ mathbf {Z}), A) \ do 0.}$

Co więcej, ta sekwencja rozdziela się , choć nie w sposób naturalny. Tutaj μ jest mapą indukowaną przez bilinearną mapę H _i ( X ; Z ) × A → H _i ( X ; A ) .

Jeśli pierścień współczynników A wynosi Z / p Z , jest to szczególny przypadek sekwencji widmowej Bocksteina .

Twierdzenie o uniwersalnych współczynnikach dla kohomologii

Niech G będzie modułem nad główną domeną idealną R (np. Z lub pole).

Istnieje również twierdzenie o uniwersalnych współczynnikach dla kohomologii, które obejmuje funktor Ext , które zapewnia, że ​​istnieje naturalna krótka dokładna sekwencja

${\ Displaystyle 0 \ do \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {1} (H_ {i-1} (X; R), G) \ do H ^ {i} (X; G) \, {\ overset {h} {\ to}} \, \ operatorname {Hom} _ {R} (H_ {i} (X; R), G) \ to 0.}$

Podobnie jak w przypadku homologii, sekwencja rozszczepia się, choć nie w sposób naturalny.

W rzeczywistości, przypuśćmy

${\ Displaystyle H_ {i} (X; G) = \ ker \ częściowe _ {i} \ otimes G / \ nazwa operatora {im} \ częściowe _ {i + 1} \ otimes G}$

i zdefiniuj:

${\ displaystyle H ^ {*} (X; G) = \ ker (\ operatorname {Hom} (\ częściowe, G)) / \ operatorname {im} (\ operatorname {Hom} (\ częściowe, G)).}$

Wtedy h powyżej jest mapą kanoniczną:

${\ Displaystyle h ([f]) ([x]) = f (x).}$

Alternatywny punkt widzenia może opierać się na przedstawieniu kohomologii przez przestrzeń Eilenberga-MacLane'a, gdzie mapa h przyjmuje klasę homotopii map od X do K ( G , i ) do odpowiadającego homomorfizmu indukowanego w homologii. Zatem przestrzeń Eilenberga-MacLane'a jest słabym prawym sprzężeniem z funktorem homologii .

Przykład: kohomologia mod 2 rzeczywistej przestrzeni rzutowej

Niech X = P ⁿ ( R ) , rzeczywista przestrzeń rzutowa . Obliczamy pojedynczą kohomologii z X z współczynników R = Z / 2, Z .

Wiedząc, że homologia liczb całkowitych jest określona wzorem:

${\ Displaystyle H_ {i} (X; \ mathbf {Z}) = {\ rozpocząć {przypadków} \ mathbf {Z} i = 0 {\ tekst {lub}} i = n {\ tekst {nieparzysty}} \ \\ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z} & 0 <i <n, \ i \ {\ text {odd,}} \\ 0 & {\ text {inaczej.}} \ end {cases}}}$

Mamy Ext ( R , R ) = R , Ext ( Z , R ) = 0 , więc powyższe dokładne sekwencje dają

${\ Displaystyle \ forall i = 0, \ ldots, n: \ qquad \ H ^ {i} (X; R) = R.}$

W rzeczywistości całkowita struktura pierścienia kohomologii jest

${\ Displaystyle H ^ {*} (X; R) = R [w] / \ lewo \ langle w ^ {n + 1} \ prawo \ rangle.}$

Wnioski

Szczególnym przypadkiem twierdzenia jest obliczanie kohomologii całkowej. Dla skończonej CW zespolonej X , H _i ( X ; Z ) jest generowane w sposób skończony, więc mamy następujący rozkład .

${\ Displaystyle H_ {i} (X; \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z} ^ {\ beta _ {i} (X)} \ oplus T_ {i},}$

gdzie β _i ( X ) są liczby bettiego z X i jest częścią skręcanie . Można to sprawdzić ${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle H_ {i}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (H_ {i} (X), \ mathbf {Z}) \ cong \ operatorname {Hom} (\ mathbf {Z} ^ {\ beta _ {i} (X)}, \ mathbf {Z}) \ oplus \ operatorname {Hom} (T_ {i}, \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z} ^ {\ beta _ {i} (X)},}$

i

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} (H_ {i} (X), \ mathbf {Z}) \ cong \ operatorname {Ext} (\ mathbf {Z} ^ {\ beta _ {i} (X)}, \ mathbf {Z}) \ oplus \ operatorname {Ext} (T_ {i}, \ mathbf {Z}) \ cong T_ {i}.}$

Daje to następujące stwierdzenie dla integralnej kohomologii:

${\ Displaystyle H ^ {i} (X; \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z} ^ {\ beta _ {i} (X)} \ oplus T_ {i-1}.}$

Na X orientowany , zamknięty i połączony n - kolektor tego konsekwencją połączeniu z Poincaré dualnością daje że β _i ( X ) = β _{n - i} ( X ) .

Uwagi

Bibliografia

• Allen Hatcher , Algebraic Topology , Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN   0-521-79540-0 . Nowoczesne, geometrycznie doprawione wprowadzenie do topologii algebraicznej. Książka jest dostępna bezpłatnie w formatach PDF i PostScript na stronie internetowej autora .
• Kainen, PC (1971). „Słabe Funktory Adjoint”. Mathematische Zeitschrift . 122 : 1–9. doi : 10.1007 / bf01113560 . S2CID   122894881 .

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie o uniwersalnych współczynnikach ze współczynnikami pierścienia