σ-algebra - σ-algebra

W analizy matematycznej w teorii prawdopodobieństwa , A σ-Algebra (również σ pola ) na zbiorze X (1) jest zbiorem z podgrup o X oraz X siebie, (2) jest zamknięty zgodnie z uzupełnieniem (3) jest zamknięte pod policzalnych związków (4) zawiera pusty podzbioru , oraz (5) jest zamknięte pod policzalnych przecięcia . ${\ Displaystyle \ Sigma}$

Para nazywa się przestrzenią mierzalną lub przestrzenią borelowską. ${\ Displaystyle (X, \ Sigma )}$

σ-algebra jest rodzajem algebry zbiorów . Algebrą zbiorów tylko musi być zamknięty w ramach unii lub skrzyżowania o skończenie wielu podzbiorów, który jest słabszy warunek.

Głównym zastosowaniem σ-algebr jest definicja miar ; w szczególności zbiór tych podzbiorów, dla których zdefiniowana jest dana miara, jest z konieczności algebrą σ. Pojęcie to jest ważne w analizie matematycznej jako podstawa całkowania Lebesgue'a oraz w teorii prawdopodobieństwa , gdzie jest interpretowane jako zbiór zdarzeń, którym można przypisać prawdopodobieństwa. Również prawdopodobnie σ-algebry są kluczowe w definicji warunkowego oczekiwania .

W statystyce (pod) σ-algebry są potrzebne do formalnej matematycznej definicji wystarczającej statystyki , szczególnie gdy statystyka jest funkcją lub procesem losowym, a pojęcie gęstości warunkowej nie ma zastosowania.

Jeśli jedna z możliwych σ-algebry to gdzie jest zbiór pusty . Ogólnie rzecz biorąc, algebra skończona jest zawsze algebrą σ. ${\displaystyle X=\{a,b,c,d\},}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Sigma = \ {\ varnothing, \ {a, b \}, \ {c, d \}, \ {a, b, c, d\} \},}$${\displaystyle \varnic}$

Jeśli jest policzalny partycja z ówczesnego zbierania wszystkich związków zbiorów w partycji (w tym zbioru pustego) jest σ-algebrą. ${\ Displaystyle \ lewo \ {A_ {1}, A_ {2}, A_ {3} \ ldots \ prawo \}}$${\ Displaystyle X}$

Bardziej użytecznym przykładem jest zbiór podzbiorów prostej rzeczywistej utworzony przez rozpoczęcie od wszystkich otwartych przedziałów i dodanie wszystkich policzalnych sum, przecinków policzalnych i dopełnień względnych oraz kontynuowanie tego procesu (przez iterację nieskończoną przez wszystkie liczby porządkowe policzalne ) aż do odpowiedniego zamknięcia właściwości - σ-algebra wytworzona w tym procesie jest znana jako algebra Borela na prostej rzeczywistej i może być również postrzegana jako najmniejsza (tj. "najgrubsza") σ-algebrę zawierającą wszystkie otwarte zbiory lub równoważnie zawierającą wszystkie zamknięte zestawy. Podstawą jest mierzenie teorii , a zatem współczesnej teorii prawdopodobieństwa , a związana z nią konstrukcja znana jako hierarchia borelowska ma znaczenie dla opisowej teorii mnogości .

Motywacja

Istnieją co najmniej trzy kluczowe motywatory dla σ-algebr: definiowanie miar, manipulowanie granicami zbiorów i zarządzanie częściowymi informacjami scharakteryzowanymi przez zbiory.

Mierzyć

Miarą na to funkcja , która przypisuje nieujemną liczbę rzeczywistą do podgrupach ; można to traktować jako precyzyjne określenie „rozmiaru” lub „objętości” dla zestawów. Chcemy, aby wielkość sumy zbiorów rozłącznych była sumą ich indywidualnych rozmiarów, nawet dla nieskończonej sekwencji zbiorów rozłącznych . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Chciałoby się przypisać rozmiar do każdego podzbioru, ale w wielu naturalnych warunkach nie jest to możliwe. Na przykład aksjomat wyboru implikuje, że gdy rozważany rozmiar jest zwykłym pojęciem długości dla podzbiorów prostej rzeczywistej, to istnieją zbiory, dla których nie ma rozmiaru, na przykład zbiory Vitali . Z tego powodu zamiast tego rozważymy mniejszy zbiór uprzywilejowanych podzbiorów tych podzbiorów nazwany zbiorami mierzalnymi. Zamykają się pod operacjami, których można by się spodziewać po zbiorach mierzalnych; to znaczy, dopełnienie zbioru mierzalnego jest zbiorem mierzalnym, a suma przeliczalna zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym. Niepuste kolekcje zbiorów o tych własnościach nazywane są σ-algebrami. ${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle X.}$

Granice zestawów

Wiele zastosowań miary, takich jak pojęcie prawdopodobieństwa prawie pewnej zbieżności , obejmuje granice ciągów zbiorów . W tym celu najważniejsze jest zamknięcie pod policzalnymi połączeniami i skrzyżowaniami. Ustalone granice są zdefiniowane w następujący sposób na algebrach σ.

• Najwyższe granice sekwencji, z których każdy jest podzbiorem is${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots,}$${\displaystyle X,}$
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$$

  
• Dolna granica sekwencji, z których każdy jest podzbiorem is${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots,}$${\displaystyle X,}$
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$$

  
• Jeśli w rzeczywistości
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} A_ {n} = \ Limsup _ {n \ do \ infty} A_ {n}}$$

  
  wtedy istnieje jako ten wspólny zbiór.${\textstyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$

Sub σ-algebry

W dużym stopniu prawdopodobieństwa, zwłaszcza gdy w grę wchodzi warunkowe oczekiwanie , zajmujemy się zbiorami, które reprezentują tylko część wszystkich możliwych informacji, które można zaobserwować. Ta częściowa informacja może być scharakteryzowana mniejszą σ-algebrą, która jest podzbiorem głównej σ-algebry; składa się ze zbioru podzbiorów istotnych tylko i określonych tylko przez informacje częściowe. Aby zilustrować tę ideę, wystarczy prosty przykład.

Wyobraź sobie, że ty i inna osoba obstawiacie grę, która polega na wielokrotnym rzucaniu monetą i obserwowaniu, czy wypadnie orła ( ) czy reszka ( ). Ponieważ ty i twój przeciwnik jesteście nieskończenie bogaci, nie ma ograniczeń co do tego, jak długo gra może trwać. Oznacza to, że przestrzeń próbki musi składać się ze wszystkich możliwych nieskończonych sekwencji lub : ${\ Displaystyle H}$${\displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H}$${\displaystyle T}$

Jednak po rzucie monetą możesz chcieć określić lub zrewidować swoją strategię obstawiania przed kolejnym rzutem. Zaobserwowane informacje w tym momencie można opisać w kategoriach 2 ⁿ możliwości dla pierwszych przewrotów. Formalnie, ponieważ musisz użyć podzbiorów tego, jest skodyfikowany jako σ-algebra ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle \omega}$

Zauważ, że wtedy

gdzie jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą wszystkie pozostałe. ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ infty}}$

Definicja i właściwości

Definicja

Przez cały czas będzie to zestaw i będzie oznaczał jego zestaw mocy . Podzbiór nazywa się σ-algebrą, jeśli ma następujące trzy właściwości: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {P}} (X)}$${\ Displaystyle \ Sigma \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$

1. ${\ Displaystyle \ Sigma}$jest zamknięta pod dopełnieniem w${\ Displaystyle X}$ : Jeżeli jest elementem to tak samo jest jego dopełnieniem${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle X \ setminus S.}$
   • W tym kontekście uważany jest za zestaw uniwersalny .${\ Displaystyle X}$
2. ${\ Displaystyle \ Sigma}$zawiera jako element${\ Displaystyle X}$ :${\ Displaystyle X \ w \ Sigma.}$
   • Zakładając, że (1) jest spełniony, warunek ten jest równoważny zawartości pustego zbioru :${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ Varnic \ w \ Sigma.}$
3. ${\ Displaystyle \ Sigma}$jest zamknięty pod policzalnymi związkami : Jeżeli są elementami to tak samo jest z ich zjednoczeniem${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}:=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \cdots .}$
   • Zakładając, że (1) i (2) są spełnione, z praw De Morgana wynika, że warunek ten jest równoważny zamknięciu pod przeliczalnymi przecięciami : Jeśli są elementami, to tak samo jest z ich przecięciem${\ Displaystyle \ Sigma}$${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }S_{i}:=S_{1}\cap S_{2}\cap S_{3}\cap \cdots .}$

Równoważnie, σ-algebra jest algebrą zbiorów, która jest zamknięta sumami przeliczalnymi.

Zbiór pusty należy do ponieważ przez (2) , jest więc (1) znaczy, że jego dopełnieniem, zbiór pusty, jest również Ponadto, ponieważ spełnia warunek (3) , jak również wynika, że jest najmniejsza możliwa σ- algebra na Największa możliwa σ-algebra na is${\displaystyle \varnic}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ Sigma.}$${\ Displaystyle \ {X, \ varnothing \}}$${\ Displaystyle \ {X, \ varnothing \}}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle 2 ^ {X}: = {\ Matematyka {P}} (X).}$

Elementy σ-algebry nazywane są zbiorami mierzalnymi . Para uporządkowana, gdzie jest zbiorem i jest σ-algebrą, nazywana jest przestrzenią mierzalną . Funkcja między dwiema mierzalnymi przestrzeniami nazywana jest funkcją mierzalną, jeśli obraz wstępny każdego mierzalnego zbioru jest mierzalny. Zbiór mierzalnych przestrzeni tworzy kategorię , z mierzalnymi funkcjami jako morfizmami . Miary definiuje się jako pewne typy funkcji od σ-algebry do${\displaystyle (X,\Sigma)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle [0,\infty].}$

Σ-Algebra jest zarówno π -system i do układu Dynkin (λ-System). Odwrotność jest również prawdziwa, według twierdzenia Dynkina (poniżej).

Twierdzenie Dynkina o π-λ

To twierdzenie (lub powiązane twierdzenie o klasie monotonicznej ) jest podstawowym narzędziem do udowodnienia wielu wyników dotyczących własności określonych σ-algebr. Wykorzystuje naturę dwóch prostszych klas zbiorów, a mianowicie następujących.

Π -system jest zbiorem podzbiorów , które jest zamknięte pod skończenie wielu skrzyżowaniach i${\displaystyle P}$${\ Displaystyle X}$

System Dynkin (lub λ-System) jest zbiorem podzbiorów , który zawiera i jest zamknięta pod dopełniacza i pod policzalnych związkom rozłącznych podzbiorów.${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Dynkin na π -A twierdzenie mówi, jeśli jest π -system i jest systemem Dynkin który zawiera wtedy σ-algebra generowana przez zawarty w Ponieważ niektóre gatunku -Systems są stosunkowo proste ćwiczenia, to nie może być trudne do zweryfikowania, że wszystkie zestawy w czerpaniu przyjemności z rozważanej własności, podczas gdy z drugiej strony wykazanie, że zebranie wszystkich podzbiorów z własnością jest systemem Dynkina, może być również proste. Dynkin znajduje gatunku -A Twierdzenie następnie zakłada, że wszystkie zestawy w cieszyć się nieruchomość, unikając zadanie sprawdzenia go w dowolnym zestawie${\displaystyle P}$${\ Displaystyle D}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ sigma (P)}$ ${\displaystyle P}$${\ Displaystyle D.}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ sigma (P)}$${\ Displaystyle \ sigma (P).}$

Jednym z podstawowych zastosowań twierdzenia π -𝜆 jest pokazanie równoważności oddzielnie zdefiniowanych miar lub całek. Na przykład służy do zrównania prawdopodobieństwa zmiennej losowej z całką Lebesgue-Stieltjesa zwykle związaną z obliczaniem prawdopodobieństwa: ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (X \ w A) = \ int _ {A} \ F (dx)}$dla wszystkich w Borel σ-algebry on${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ,}$

gdzie jest funkcją rozkładu skumulowanego dla określonego na while jest miarą prawdopodobieństwa , określoną na σ-algebrze podzbiorów pewnej przestrzeni próbnej${\ Displaystyle F (x)}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ,}$${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ Omega.}$

Łączenie σ-algebr

Załóżmy, że jest to zbiór σ-algebr na przestrzeni${\textstyle \{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$${\ Displaystyle X.}$

• Przecięcie zbioru σ-algebr jest σ-algebrą. Aby podkreślić jej charakter jako σ-algebry, często oznacza się ją przez:
  $${\ Displaystyle \ bigwedge _ {\ alfa \ w {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alfa}.}$$

  

  Szkic dowodu
  Niech oznaczają skrzyżowanie. Ponieważ jest w każdym nie jest pusty. Zamknięcie pod dopełnieniem i sumą policzalną dla każdego implikuje to samo musi być prawdziwe dla Dlatego jest σ-algebrą. ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ alfa}, \ Sigma ^ {*}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}.}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$

• Połączenie zbioru σ-algebr nie jest generalnie σ-algebrą ani nawet algebrą, ale generuje σ-algebrę znaną jako join , która zwykle jest oznaczana
  $${\ Displaystyle \ bigvee _ {\ alfa \ w {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alfa} = \ sigma \ lewo (\ bigcup _ {\ alfa \ w {\ mathcal {A}}} \ Sigma _{\alfa }\prawo).}$$

  
  System π, który generuje sprzężenie, to
  $${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = \ lewo \ {\ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}: A_ {i} \ w \ Sigma _ {\ alfa _ {i}}, \alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$$

  

  Szkic dowodu

  W przypadku widać, że każdy tak ${\displaystyle n=1,}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ alfa} \ subseteq {\ mathcal {P}}}$ $${\ Displaystyle \ bigcup _ {\ alfa \ w {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alfa} \ subseteq {\ mathcal {P}}.}$$ Oznacza to $${\ Displaystyle \ sigma \ lewo (\ bigcup _ {\ alfa \ w {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alfa} \ prawej) \ subseteq \ sigma ({\ mathcal {P}})}$$ przez definicję σ-algebry generowanej przez zbiór podzbiorów. Z drugiej strony, $${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} \ subseteq \ sigma \ lewo (\ bigcup _ {\ alfa \ w {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alfa} \ prawej)}$$ co, zgodnie z twierdzeniem Dynkina π -𝜆, implikuje $${\ Displaystyle \ sigma ({\ mathcal {P}}) \ subseteq \ sigma \ lewo (\ bigcup _ {\ alfa \ w {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alfa} \ prawej).}$$

σ-algebry dla podprzestrzeni

Załóżmy, że jest podzbiorem i niech będzie mierzalną przestrzenią. ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (X, \ Sigma )}$

• Zbiór jest σ-algebrą podzbiorów${\ Displaystyle \ {Y \ czapka S: S \ w \ Sigma \}}$${\ Displaystyle Y.}$
• Załóżmy, że jest to mierzalna przestrzeń. Zbiór jest σ-algebrą podzbiorów${\ Displaystyle (Y \ Lambda )}$${\ Displaystyle \ {A \ podseteq X: A \ czapka Y \ w \ Lambda \}}$${\ Displaystyle X.}$

Stosunek do σ-ring

σ-algebra to po prostu σ-pierścień, który zawiera zbiór uniwersalny σ-pierścień nie musi być σ-algebrą, ponieważ na przykład mierzalne podzbiory zerowej miary Lebesgue'a w linii rzeczywistej są σ-pierścieniem, ale nie σ -algebra ponieważ rzeczywista prosta ma nieskończoną miarę i dlatego nie może być uzyskana przez ich sumę przeliczalną. Jeśli zamiast miary zerowej weźmiemy mierzalne podzbiory skończonej miary Lebesgue'a, to są one pierścieniem, a nie σ-pierścieniem, ponieważ rzeczywistą prostą można otrzymać z ich sumy przeliczalnej, ale jej miara nie jest skończona. ${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle X.}$

Uwaga typograficzna

σ-algebry są czasami oznaczane za pomocą wielkich liter kaligraficznych lub kroju pisma Fraktur . W związku z tym może być oznaczony jako lub${\ Displaystyle (X, \ Sigma )}$${\ Displaystyle (X \, {\ Mathcal {F}})}$${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

Szczególne przypadki i przykłady

Rozdzielne σ-algebry

Oddzielić σ-Algebra (lub oddzielić σ pola ) jest σ-Algebra , która jest przestrzenią gdy rozpatrywana jako metryki przestrzeni z metryki dla i określony środek (i będąc symetrycznym różnica operatora). Zauważ, że każda σ-algebra generowana przez policzalny zbiór zbiorów jest separowalna, ale odwrotność nie musi zachodzić. Na przykład σ-algebra Lebesgue'a jest separowalna (ponieważ każdy zbiór mierzalny Lebesgue'a jest równoważny pewnemu zbiorowi borelowskiemu), ale nie jest generowana przeliczalnie (ponieważ jej kardynalność jest większa niż kontinuum). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ rho (A, B) = \ mu (A {\ mathbin {\ trójkąt}} B)}$${\ Displaystyle A, B \ w {\ Mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ trójkąt}$

Separowalna przestrzeń miary ma naturalną pseudometrykę, która czyni ją separowalną jako przestrzeń pseudometryczną . Odległość między dwoma zestawami jest definiowana jako miara symetrycznej różnicy tych dwóch zestawów. Zauważ, że symetryczna różnica dwóch odrębnych zbiorów może mieć miarę zero; stąd pseudometryka zdefiniowana powyżej nie musi być prawdziwą metryką. Jednakże, jeśli zbiory, których symetryczna różnica ma miarę zero, są identyfikowane w pojedynczej klasie równoważności , wynikowy zbiór ilorazu może być prawidłowo zmierzony przez indukowaną metrykę. Jeśli przestrzeń miar jest rozdzielna, można wykazać, że odpowiadająca jej przestrzeń metryczna również jest rozdzielna.

Proste przykłady oparte na zbiorach

Niech będzie dowolny zestaw. ${\ Displaystyle X}$

• Rodzina składająca się tylko ze zbioru pustego i zbioru zwanego minimalną lub trywialną σ-algebrą nad${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle X.}$
• Zestaw zasilający od nazywana dyskretną σ-algebra .${\displaystyle X,}$
• Zbiór jest prostą σ-algebrą generowaną przez podzbiór${\ Displaystyle \ lewo \ {\ varnothing, X, A, X \ setminus A \ prawo \}}$${\ Displaystyle A.}$
• Zbiór podzbiorów, które są policzalne lub których uzupełnienia są policzalne, jest algebrą σ (która różni się od zbioru potęg, jeśli i tylko wtedy, gdy jest niepoliczalne). Jest to σ-algebra generowana przez singletony w Uwaga: „policzalne” obejmuje skończone lub puste.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$
• Zbiór wszystkich związków zbiorów w policzalnych partycji o to σ-algebra.${\ Displaystyle X}$

Czas zatrzymania σ-algebr

Czas zatrzymania można zdefiniować -algebra , tzw -algebra od τ-przeszłości, które w przefiltrowanej przestrzeni probabilistycznej opisuje informacje do czasu losowego w tym sensie, że jeśli filtrowane przestrzeń prawdopodobieństwo jest interpretowany jako eksperymentu losowego maksymalna informacje, które można znaleźć na temat eksperymentu z dowolnie często powtarzać, dopóki czas jest . ${\ Displaystyle \ tau}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$

σ-algebry generowane przez rodziny zbiorów

σ-algebra generowana przez dowolną rodzinę

Niech będzie arbitralną rodziną podzbiorów Wtedy istnieje unikalna najmniejsza σ-algebra, która zawiera każdy zbiór w (nawet jeśli sama może być σ-algebrą lub nie). Jest to w istocie przecięcia wszystkich Ď-algebrach zawierających (patrz przecięcia Ď-algebrach powyżej). Ten σ-Algebra jest oznaczona i nazywa σ-Algebra generowane przez${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F.}$${\ Displaystyle \ sigma (F)}$${\ Displaystyle F.}$

Następnie składa się ze wszystkich podzbiorów, które można utworzyć z elementów o policzalnej liczbie operacji dopełnienia, sumy i przecięcia. Jeśli jest pusty, to ponieważ pusta suma i przecięcie tworzą odpowiednio zbiór pusty i zbiór uniwersalny . ${\ Displaystyle \ sigma (F)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ sigma (F) = \ {X \ varnothing \}}$

Dla prostego przykładu rozważmy zbiór Wtedy σ-algebrą generowaną przez pojedynczy podzbiór jest Przez nadużycie notacji , gdy zbiór podzbiorów zawiera tylko jeden element, można pisać zamiast, jeśli jest jasne, że jest to podzbiór ; w poprzednim przykładzie zamiast Indeed, używanie to oznacza również dość powszechne. ${\ Displaystyle X = \ {1,2,3 \}.}$${\ Displaystyle \ {1 \}}$${\ Displaystyle \ sigma (\ {\ {1 \} \}) = \ {\ varnothing, \ {1 \}, \ {2,3 \}, \ {1,2,3 \} \}.}$${\displaystyle A}$${\ Displaystyle \ sigma (A)}$${\ Displaystyle \ sigma (\ {A \})}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ sigma (\ {1 \})}$${\ Displaystyle \ sigma (\ {\ {1 \} \}).}$${\ Displaystyle \ sigma \ po lewej (A_ {1}, A_ {2} \ ldots \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ sigma \ lewo (\ lewo \ {A_ {1}, A_ {2} \ ldots \ prawo \} \ prawo)}$

Istnieje wiele rodzin podzbiorów, które generują użyteczne σ-algebry. Niektóre z nich przedstawiono tutaj.

σ-algebra generowana przez funkcję

Jeśli jest funkcją ze zbioru do zbioru i jest σ-algebrą podzbiorów wówczas σ-algebra generowane przez funkcję oznaczony jest zbiorem wszystkich obrazów odwrotnych od zbiorów w to, ${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ sigma (f)}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (S)}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle B.}$

Funkcja od zbioru do zbioru jest mierzalna w odniesieniu do σ-algebry podzbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ sigma (f)}$${\ Displaystyle \ Sigma.}$

Jedną z powszechnych sytuacji i rozumianą domyślnie, jeśli nie jest to wyraźnie określone, jest sytuacja, w której jest metryką lub przestrzenią topologiczną i jest zbiorem zbiorów Borel na${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle Y.}$

Jeżeli jest funkcją od do to jest generowana przez rodzinę podzbiorów będących odwrotnymi obrazami odstępów/prostokątów w : ${\ Displaystyle f: X \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ sigma (f)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Przydatną właściwością jest następująca. Załóżmy, że jest mierzalną mapąod do i jest mierzalną mapąod do Jeśli istnieje mierzalna mapa od do taka że dla wszystkich wtedy If jest skończona lub przeliczalnie nieskończona lub, bardziej ogólnie, jest standardową przestrzenią borelowską (np. przestrzeni metrycznej wraz ze związanymi z nią zbiorami borelowskimi), wtedy odwrotność jest również prawdziwa. Przykładami standardowych przestrzeni borelowskich są ich zbiory borelowskie oraz cylindryczna algebra σ opisana poniżej. ${\displaystyle f:X\do S}$${\ Displaystyle \ po lewej (X \ Sigma _ {X} \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ po lewej (S \ Sigma _ {S} \ po prawej)}$${\displaystyle g:X\do T}$${\ Displaystyle \ po lewej (X \ Sigma _ {X} \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ po lewej (T \ Sigma _ {T} \ po prawej).}$${\ Displaystyle h: T \ do S}$${\ Displaystyle \ po lewej (T \ Sigma _ {T} \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ po lewej (S \ Sigma _ {S} \ po prawej)}$${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ sigma (f) \ subseteq \ sigma (g).}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ po lewej (S \ Sigma _ {S} \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$

σ-algebry Borela i Lebesgue'a

Ważnym przykładem jest algebra Borela nad dowolną przestrzenią topologiczną : algebra σ generowana przez zbiory otwarte (lub równoważnie przez zbiory domknięte ). Zauważ, że ta σ-algebra nie jest ogólnie całym zbiorem potęgowym. Aby zapoznać się z nietrywialnym przykładem, który nie jest zestawem borelowskim, zobacz zestaw Vitali lub zestawy nieborelowskie .

W przestrzeni euklidesowej ważna jest inna σ-algebra: wszystkich zbiorów mierzalnych Lebesgue'a . Ta σ-algebra zawiera więcej zbiorów niż Borel σ-algebra i jest preferowana w teorii całkowania , ponieważ daje pełną przestrzeń miary . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Iloczyn σ-algebry

Niech i bądź dwie mierzalne przestrzenie. σ-algebrę dla odpowiedniej przestrzeni iloczynu nazywamy iloczynem σ-algebry i jest ona zdefiniowana przez ${\ Displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})}$${\ Displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})}$ ${\displaystyle X_{1}\razy X_{2}}$

Zauważ, że jest to system π . ${\ Displaystyle \ lewo \ {B_ {1} \ razy B_ {2}: B_ {1} \ w \ Sigma _ {1}, B_ {2} \ w \ Sigma _ {2} \ po prawej \}}$

Borelowska σ-algebra for jest generowana przez półnieskończone prostokąty i skończone prostokąty. Na przykład, ${\ Displaystyle R ^ {n}}$

Dla każdego z tych dwóch przykładach, rodzina prądotwórczy jest π -system .

σ-algebra generowana przez zestawy walcowe

Przypuszczać

to zestaw funkcji o wartościach rzeczywistych na . Pozwolić oznaczają podzbiory Borel z Dla każdego i do podzbioru cylindra o to skończona ograniczony zestaw określa się jako ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle \ {t_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ subseteq \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle \ {B_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ subseteq {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle X}$

$${\ Displaystyle C_ {t_ {1}, \ kropki, t_ {n}} (B_ {1}, \ kropki, B_ {n}) = \ {f \ w X: f (t_ {i}) \ w B_ {i},1\leq i\leq n\}.}$$

Dla każdego ${\ Displaystyle \ {t_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ subseteq \ mathbb {T}}$

$${\ Displaystyle \ {C_ {t_ {1}, \ kropki, t_ {n}} (B_ {1}, \ kropki, B_ {n}): B_ {i} \ w {\ matematyczne {B}} (\ mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}}$$

jest układem π, który generuje σ-algebrę Następnie rodzina podzbiorów ${\textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {X} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {t_ {i} \ w \ mathbb {T}, ja \ równoważnik n} \ Sigma _{t_{1},\kropki ,t_{n}}}$$

jest Algebra generujący cylindra Ď-algebraiczne dla tego Ď-Algebra jest podalgebrą Borel Ď-Algebra określony przez topologię produktu z ograniczone do${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}}$${\ Displaystyle X.}$

Ważnym przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy jest zbiorem liczb naturalnych i jest zbiorem ciągów o wartościach rzeczywistych. W takim przypadku wystarczy wziąć pod uwagę zestawy cylindrów ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle X}$

$${\ Displaystyle C_ {n} (B_ {1}, \ kropki, B_ {n}) = (B_ {1} \ razy \ cdots \ razy B_ {n} \ razy \ mathbb {R} ^ {\ infty}) \cap X=\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )\in X:x_{i}\in B_{i}, 1\równ i\równ n\},}$$

dla którego

$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} = \ sigma (\ {C_ {n} (B_ {1}, \ kropki, B_ {n}): B_ {i} \ w {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ),1\leq i\leq n\})}$$

jest nie malejącym ciągiem σ-algebr.

σ-algebra generowana przez zmienną losową lub wektor

Załóżmy, że jest

przestrzenią prawdopodobieństwa . Jeśli jest mierzalna względem Borel Ď-algebry na czym nazywany jest zmienną losową ( ) lub wektora losowego ( ). σ-algebra generowana przez is ${\ Displaystyle (\ Omega , \ Sigma , \ mathbb {P} )}$${\textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n>1}$${\ Displaystyle Y}$

$${\ Displaystyle \ sigma (Y) = \ {Y ^ {-1} (A): A \ w {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \}.}$$

σ-algebra generowana przez proces stochastyczny

Załóżmy, że jest

przestrzenią prawdopodobieństwa i jest zbiorem funkcji o wartościach rzeczywistych na . Jeśli jest mierzalna w stosunku do cylindra Ď-Algebra (patrz powyżej) , a następnie jest nazywany stochastyczny sposób lub proces przypadkowy . σ-algebra generowana przez is ${\ Displaystyle (\ Omega , \ Sigma , \ mathbb {P} )}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\ Displaystyle \ sigma ({\ matematyczny {F}} _ {X})}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y}$

$${\ Displaystyle \ Sigma (Y) = \ lewo \ {Y ^ {-1} (A): A \ w \ Sigma ({\ mathcal {F}} _ {X}) \ prawej \} = \ Sigma (\ {Y^{-1}(A):A\w {\mathcal {F}}_{X}\}),}$$

σ-algebrę generowaną przez odwrotne obrazy zestawów cylindrów.

Zobacz też

• δ -ring  – pierścień zamknięty pod przeliczalnymi przecięciami
• Ciało zbiorów  – koncepcja algebraiczna w teorii miary, zwana także algebrą zbiorów.
• Połącz (algebra sigma)
• 𝜆-system (system Dynkina)  – Rodzina zamknięta pod dopełnieniami i policzalnymi rozłącznymi związkami
• Measurable function  – funkcja, dla której przedobraz zbioru mierzalnego jest mierzalny
• Klasa monotoniczna
• π -układ  – Rodzina zbiorów zamkniętych pod przecięciem
• Pierścień zestawów  – Rodzina zamknięta pod związkami i dopełnieniami względnymi
• Przestrzeń próbna
• 𝜎-idealny  – Rodzina zamknięta w podzbiorach i związkach policzalnych
• 𝜎-pierścień  – Pierścień zamknięty pod policzalnymi złączami
• 𝜎 addytywność

Bibliografia

• Durrett, Richard (2019). Prawdopodobieństwo: teoria i przykłady (PDF) . Seria Cambridge w matematyce statystycznej i probabilistycznej. 49 (wyd. 5). Cambridge Nowy Jork, NY: Cambridge University Press . Numer ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  110115281 . Źródło 5 listopada 2020 .

Zewnętrzne linki

• „Algebra zbiorów” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Sigma Algebra w PlanetMath .

Rodziny zestawów${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ponad${\ Displaystyle \ Omega}$
Jest koniecznie prawdziwe ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ dwukropek}$ lub jest zamknięte pod:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\ Displaystyle A \ czapka B}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ czapka A_ {2} \ czapka \ cdots }$	FIP	Wyreżyserowane przez${\displaystyle\,\supseteq}$	${\ Displaystyle A \ filiżanka B}$	${\displaystyle A_{1}\sqcup A_{2}\sqcup \cdots}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {4} i A_ {1} \ filiżanka A_ {2} \ filiżanka \ cdots \ \ \ & {\ tekst {gdzie}} A_ {i} \ bliski \ koniec {wyrównany}} }$	${\displaystyle A_{1}\kubek A_{2}\kubek \cdots}$	${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A \ setminus B}$	${\ Displaystyle \ varnothing \ w {\ mathcal {F}}}$	${\ Displaystyle \ Omega \ w {\ mathcal {F}}}$
π -system
-system ( system Dynkin)			Nigdy
Pierścień (teoria porządku)
Pierścień (teoria miary)			Nigdy
δ-Pierścień			Nigdy
𝜎-Pierścień			Nigdy
Algebra (pole)			Nigdy
𝜎-Algebra (𝜎-Pole)			Nigdy
Podwójny ideał
Filtr									Nigdy	Nigdy	${\ Displaystyle \ varnothing \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Filtr wstępny (Podstawa filtra)									Nigdy	Nigdy	${\ Displaystyle \ varnothing \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Filtr podrzędny									Nigdy	Nigdy	${\ Displaystyle \ varnothing \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Topologia			Nigdy
Jest koniecznie prawdziwe ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ dwukropek}$ lub jest zamknięte pod:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	skończone skrzyżowania	policzalne skrzyżowania	Właściwość przecięcia skończonego	skierowany w dół	skończone związki	policzalne rozłączne związki	policzalne rosnące związki	policzalne związki	uzupełnia w${\ Displaystyle \ Omega}$	względne dopełnienia	zawiera ${\displaystyle \varnic}$	zawiera ${\ Displaystyle \ Omega}$
Zakłada się, że wszystkie rodziny nie są puste. ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots}$są dowolnymi elementami z oznacza unię parami rozłącznych zbiorów (zwaną unią rozłączną ). Dodatkowo semiring jest π -system gdzie każdy uzupełnieniem jest równe skończonej suma rozłączna zbiorów w A semialgebra jest semiring że zawiera klasa monotonia jest rodzina, która jest zamknięta w ramach obu związków zwiększających policzalnych i policzalnych skrzyżowaniach malejących. ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \,\sqcup \,}$ ${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\ Displaystyle \ Omega.}$