Samopodobieństwo - Self-similarity

Krzywa Koch ma nieskończenie powtarzania self-podobieństwa, gdy jest on powiększony.

Standardowe (trywialne) samopodobieństwo.

W matematyce obiekt samopodobny jest dokładnie lub w przybliżeniu podobny do części samego siebie (tj. całość ma taki sam kształt jak jedna lub więcej części). Wiele obiektów w świecie rzeczywistym, takich jak linie brzegowe , jest statystycznie samopodobnych: ich części wykazują te same właściwości statystyczne w wielu skalach. Samopodobieństwo jest typową właściwością fraktali . Niezmienniczość skali to dokładna forma samopodobieństwa, w której przy każdym powiększeniu znajduje się mniejszy fragment obiektu, który jest podobny do całości. Na przykład strona płatka śniegu Kocha jest zarówno symetryczna, jak i niezmienna w skali; można go stale powiększać 3x bez zmiany kształtu. Nietrywialne podobieństwo widoczne we fraktalach wyróżnia się subtelną strukturą lub szczegółowością w dowolnie małych skalach. Jako kontrprzykład , chociaż dowolny fragment prostej może przypominać całość, dalsze szczegóły nie są ujawniane.

Mówi się, że zjawisko rozwijające się w czasie wykazuje samopodobieństwo, jeśli wartość liczbowa pewnej obserwowalnej wielkości mierzonej w różnym czasie jest różna, ale odpowiadająca jej wielkość bezwymiarowa przy danej wartości pozostaje niezmienna. Dzieje się tak, gdy ilość wykazuje dynamiczne skalowanie . Pomysł jest tylko rozwinięciem idei podobieństwa dwóch trójkątów. Zauważ, że dwa trójkąty są podobne, jeśli wartości liczbowe ich boków są różne, jednak odpowiadające im wielkości bezwymiarowe, takie jak ich kąty, pokrywają się. ${\displaystyle f(x,t)}$${\ Displaystyle x / t ^ {z}}$${\displaystyle f(x,t)}$

Peitgen i in. wyjaśnij koncepcję jako taką:

Jeśli części figury są małymi replikami całości, wtedy figurę nazywamy samopodobną .... Figura jest ściśle samopodobna, jeśli można ją rozłożyć na części, które są dokładnymi replikami całości. Każda dowolna część zawiera dokładną replikę całej figury.

Ponieważ matematycznie fraktal może wykazywać samopodobieństwo przy nieskończonym powiększeniu, nie można tego odtworzyć fizycznie. Peitgen i in. zasugeruj badanie samopodobieństwa za pomocą przybliżeń:

Aby nadać operacyjne znaczenie własności samopodobieństwa, musimy koniecznie zająć się skończonymi przybliżeniami liczby granicznej. Odbywa się to za pomocą metody, którą nazwiemy samopodobieństwa skrzynkowego, gdzie pomiary wykonuje się na skończonych etapach figury za pomocą siatek o różnych rozmiarach.

To słownictwo zostało wprowadzone przez Benoita Mandelbrota w 1964 roku.

Samopowinowactwo

Samoafiniczny fraktal o wymiarze Hausdorffa = 1,8272.

W matematyce , self-powinowactwo jest cechą fraktali , którego elementy są skalowane przez różnych ilościach w xiy kierunkach. Oznacza to, że aby docenić samo podobieństwo tych fraktalnych obiektów, należy je przeskalować za pomocą anizotropowej transformacji afinicznej .

Definicja

Zwarty topologiczna przestrzeń X jest siebie podobne, jeśli nie istnieje ograniczony zestaw S indeksowania zestaw spoza suriekcją homeomorfizmów dla których ${\ Displaystyle \ {f_ {s}: s \ w S \}}$

${\ Displaystyle X = \ bigcup _ {s \ w S} f_ {s} (X)}$

Jeśli nazywamy X siebie podobne, jeśli jest to jedyny niepusty podzbiór z Y takie, że równanie powyżej odnosi się do . Nazywamy ${\ Displaystyle X \ podzbiór Y}$ ${\ Displaystyle \ {f_ {s}: s \ w S \}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}} = (X, S \ {f_ {s}: s \ w S \})}$

self-podobną strukturę . Homeomorfizmy mogą być iterowane , w wyniku czego powstaje iterowany system funkcji . Złożenie funkcji tworzy algebraiczną strukturę monoidu . Gdy zbiór S składa się tylko z dwóch elementów, monoid nazywamy monoidem dwuczłonowym . Monoid diady można zwizualizować jako nieskończone drzewo binarne ; bardziej ogólnie, jeśli zbiór S ma p elementów, to monoid może być reprezentowany jako drzewo p-adyczne .

W automorfizmy z diadycznej monoid jest grupa modułowa ; automorfizmy można zobrazować jako hiperboliczne rotacje drzewa binarnego.

Bardziej ogólnym pojęciem niż samopodobieństwo jest Samopowinowactwo .

Przykłady

Samopodobieństwo w zbiorze Mandelbrota pokazane przez zbliżenie na punkt Feigenbauma w (−1.401155189..., 0)

Obraz paproci Barnsley, która wykazuje samopodobieństwo afiniczne

Zbiór Mandelbrota jest również samopodobne wokół punktów Misiurewicz .

Samopodobieństwo ma istotne konsekwencje dla projektowania sieci komputerowych, ponieważ typowy ruch sieciowy ma właściwości samopodobieństwa. Na przykład w inżynierii teletraffic , komutacją pakietów wzorce ruchu dane wydają się być statystycznie siebie podobne. Ta właściwość oznacza, że ​​proste modele wykorzystujące rozkład Poissona są niedokładne, a sieci zaprojektowane bez uwzględnienia samopodobieństwa mogą działać w nieoczekiwany sposób.

Podobnie ruchy na giełdzie są opisywane jako wykazujące podobieństwo do siebie , tj. wydają się samopodobne po przekształceniu za pomocą odpowiedniej transformacji afinicznej dla wyświetlanego poziomu szczegółowości. Andrew Lo opisuje samopodobieństwo zwrotu dziennika giełdowego w ekonometrii .

Reguły podziału skończonego są potężną techniką budowania samopodobnych zbiorów, w tym zbioru Cantora i trójkąta Sierpińskiego .

Trójkąt podzielony wielokrotnie za pomocą podziału barycentrycznego . Dopełnieniem dużych kręgów staje się dywan Sierpińskiego

W cybernetyce

Rentowny model systemu z Stafford Beer jest model organizacyjny z afinicznej samopodobne hierarchii, gdzie dany system opłacalne jest jednym z elementów systemu One wykonalnego systemu o jeden poziom rekurencyjne wyżej, i dla których elementy swojego systemu One są rentowne systemy o jeden poziom rekurencyjny niżej.

W naturze

Zbliżenie brokułów romańskich .

Samopodobieństwo można znaleźć również w przyrodzie. Po prawej stronie znajduje się wygenerowany matematycznie, doskonale samopodobny obraz paproci , który wykazuje wyraźne podobieństwo do paproci naturalnych. Inne rośliny, takie jak brokuły romańskie , wykazują silne podobieństwo do siebie.

W muzyce

• Ścisłe kanony wykazują różne typy i ilości samopodobieństwa, podobnie jak sekcje fug .
• Tonu Shepard jest samo-podobna w dziedzinie częstotliwości lub długości fal.
• Duński kompozytor Per Nørgård wykorzystał samodzielnego podobna sekwencja liczb całkowitych o nazwie serii „nieskończoność” w dużo jego muzyki.
• W dziedzinie wyszukiwania informacji muzycznych samopodobieństwo często odnosi się do faktu, że muzyka często składa się z fragmentów, które powtarzają się w czasie. Innymi słowy, muzyka jest samopodobna w przekładzie czasowym, a nie (lub dodatkowo) w przypadku skalowania.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Miedziane szewrony” — samopodobny film fraktalny z zoomem
• „Samopodobieństwo” — Nowe artykuły na temat samopodobieństwa. Algorytm walca

Samopowinowactwo

• Mandelbrot, Benoit B. (1985). „Samopowinowactwo i wymiar fraktalny” (PDF) . Physica Scripta . 32 (4): 257–260. Kod Bibcode : 1985PhyS...32..257M . doi : 10.1088/0031-8949/32/4/001 .
• Sapożnikow, Wiktor; Foufoula-Georgiou, Efi (maj 1996). „Powinowactwo w rzekach plecionych” (PDF) . Badania zasobów wodnych . 32 (5): 1429–1439. doi : 10.1029/96wr00490 . Zarchiwizowane (PDF) z oryginału w dniu 30 lipca 2018 r . Źródło 30 lipca 2018 .
• Benoît B. Mandelbrot (2002). Gaussowskie samopowinowactwo i fraktale: globalność, Ziemia, szum 1/F i R/S . Numer ISBN 978-0387989938.