Nieuzasadniona teoria mnogości - Non-well-founded set theory

Teorie mnogości nieuzasadnionych to warianty aksjomatycznej teorii mnogości, które pozwalają zbiorom być elementami samych siebie iw inny sposób naruszają zasadę dobrze ugruntowanej . W niewyspecjalizowanych uzasadnionych zestaw teorii The aksjomat fundacja od ZFC zastępuje aksjomatów wskazującym jego negację.

Badanie zbiorów nieuzasadnionych zostało zapoczątkowane przez Dmitrija Mirimanoffa w serii artykułów z lat 1917-1920, w których sformułował rozróżnienie pomiędzy zbiorami dobrze ugruntowanymi i nieuzasadnionymi; nie uważał zasadności za aksjomat . Chociaż wiele systemów aksjomatycznych nie-uzasadnionych zestawy zostały zaproponowane później, że nie znaleźliśmy dużo w drodze wniosków aż Peter Aczél „s hyperset teorii w 1988. Teoria bez uzasadnionych zestawów została zastosowana w logiczne modelowanie non-kończące obliczeniowych procesów w informatyce ( procesowego algebry i końcowych semantyki ), lingwistykę i język naturalny semantykę ( teoria sytuacja ), filozofii (praca na paradoks kłamcy ), a w innym otoczeniu, niestandardowym analizy .

Detale

W 1917 roku Dmitrij Mirimanoff przedstawił koncepcję zasadności zestawu:

Zbiór, x 0 , jest dobrze ugruntowany, jeśli nie ma nieskończonego malejącego ciągu przynależności

W ZFC nie ma nieskończonego zstępującego ciągu by według aksjomatu regularności . W rzeczywistości aksjomat regularności jest często nazywany aksjomatem fundamentu, ponieważ można udowodnić w ZFC − (to znaczy ZFC bez aksjomatu regularności), że zasadność implikuje regularność. W wariantach ZFC bez aksjomatu regularności pojawia się możliwość nieuzasadnionych zbiorów o zbioropodobnych -łańcuchach. Na przykład zbiór A taki, że A ∈ A jest nieuzasadniony.

Chociaż Mirimanoff wprowadził także pojęcie izomorfizmu między zbiorami prawdopodobnie nieuzasadnionymi, nie uważał ani za aksjomat fundacji, ani anty-fundamentu. W 1926 roku Paul Finsler wprowadził pierwszy aksjomat, który dopuszczał zestawy nieuzasadnione. Po tym, jak Zermelo zaadoptował Fundację do własnego systemu w 1930 r. (z poprzednich prac von Neumanna 1925-1929) zainteresowanie zestawami nieuzasadnionymi osłabło na dziesięciolecia. Wczesnym zakaz dobrze założony zestaw teoria była Willard Van Orman Quine „s nowych podstawach , choć nie jest to jedynie ZF z zamiennik dla Fundacji.

Kilka dowodów na niezależność Fundacji od reszty ZF zostało opublikowanych w latach 50., zwłaszcza przez Paula Bernaysa (1954), po ogłoszeniu wyników we wcześniejszej jego pracy z 1941 r., oraz przez Ernsta Speckera, który podał inny dowód w swoim Habilitationsschrift z 1951 r., dowód opublikowany w 1957 r. Następnie w 1957 r . opublikowano twierdzenie Riegera , które podało ogólną metodę przeprowadzenia takiego dowodu, przywracając zainteresowanie nieuzasadnionymi systemami aksjomatycznymi. Następna propozycja aksjomatu pojawiła się w przemówieniu na kongresie Dany Scott w 1960 r. (nigdy nieopublikowanym w formie referatu), proponując alternatywny aksjomat, obecnie nazywany SAFA . Innym aksjomatem zaproponowanym pod koniec lat sześćdziesiątych był aksjomat superwszechświata Maurice'a Boffy , opisany przez Aczela jako szczyt badań swojej dekady. Pomysł Boffy polegał na tym, aby podstawa zawiodła tak bardzo, jak to tylko możliwe (a raczej na ile pozwala ekstensjonalność): aksjomat Boffy implikuje, że każda ekstensjonalna relacja podobna do zbioru jest izomorficzna z predykatem elementarności na klasie przechodniej.

Nowsze podejście do teorii mnogości nieuzasadnionej, zapoczątkowane przez M. Fortiego i F. Honsella w latach 80., zapożycza z informatyki koncepcję bisymulacji . Zbiory bispodobne uważane są za nierozróżnialne, a więc równe, co prowadzi do wzmocnienia aksjomatu ekstensjonalizmu . W tym kontekście aksjomaty sprzeczne z aksjomatem regularności są znane jako aksjomaty anty-fundamentalne , a zbiór, który niekoniecznie jest dobrze ugruntowany, nazywany jest hiperzbiorem .

Dobrze znane są cztery wzajemnie niezależne aksjomaty antyfundamentacyjne, czasami skracane pierwszą literą z poniższej listy:

  1. A FA ("Aksjomat Anty-Fundamentu") – od M. Fortiego i F. Honsella (znany również jako aksjomat anty-fundamentalny Aczela );
  2. S AFA („Scott's AFA”) – dzięki Dany Scott ,
  3. F AFA („AFA Finslera”) – dzięki Paulowi Finslerowi ,
  4. B AFA ("AFA Boffy") - dzięki Maurice Boffa .

Odpowiadają one zasadniczo czterem różnym pojęciom równości dla zbiorów nieuzasadnionych. Pierwszy z nich, AFA, opiera się na dostępnych wykresach punktowych (apg) i stwierdza, że ​​dwa hiperzbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy można je zobrazować tym samym apg. W tym kontekście można wykazać, że tzw. atom Quine'a , formalnie określony przez Q={Q}, istnieje i jest unikalny.

Każdy z podanych wyżej aksjomatów rozszerza wszechświat poprzedniego tak, że: V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. We wszechświecie Boffa odrębne atomy Quine'a tworzą odpowiednią klasę.

Warto podkreślić, że teoria hiperzbiorów jest raczej rozszerzeniem klasycznej teorii mnogości niż zamiennikiem: dobrze ugruntowane zbiory w domenie hiperzbiorów są zgodne z klasyczną teorią mnogości.

Aplikacje

Hiperzbiory Aczela były szeroko stosowane przez Jona Barwise'a i Johna Etchemendy'ego w wydanej w 1987 roku książce The Liar , na temat paradoksu kłamcy ; Książka jest również dobrym wprowadzeniem do tematu nieuzasadnionych zestawów.

Aksjomat superuniwersalności Boffy znalazł zastosowanie jako podstawa aksjomatycznej analizy niestandardowej .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Aczel, Peter (1988), Zestawy nieuzasadnione , CSLI Lecture Notes, 14 , Stanford, CA: Stanford University, Center for the Study of Language and Information, s.  xx+137 , ISBN 0-937073-22-9, MR  0940014 .
  • Ballard, David; Hrbáček, Karel (1992), "Standardowe podstawy analizy niestandardowej", Journal of Symbolic Logic , 57 (2): 741-748, doi : 10.2307/2275304 , JSTOR  2275304 .
  • Barwise, Jon; Etchemendy, John (1987), Kłamca: Esej o prawdzie i okrężności , Oxford University Press, ISBN 9780195059441
  • Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Błędne koła. O matematyce zjawisk nieuzasadnionych , CSLI Lecture Notes, 60 , CSLI Publications, ISBN 1-57586-009-0
  • Boffa., M. (1968), "Les ensembles extraordinaires", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique , 20 : 3-15, Zbl  0179.01602
  • Boffa, M. (1972), "Forcing et négation de l'axiome de Fondement", Acad. Roya. Belgia, Mém. kl. Nauka, Dz. 8∘ , Serie II, 40 (7), Zbl  0286.02068
  • Devlin, Keith (1993), "§ 7. Teoria zbiorów nieuzasadnionych", Radość zbiorów: Podstawy współczesnej teorii zbiorów (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94094-6
  • Finsler, P. (1926), „Über die Grundlagen der Mengenlehre I: Die Mengen und ihre Axiome”, Math. Z. , 25 : 683-713, doi : 10.1007/BF01283862 , JFM  52.0192.01; tłumaczenie w Finsler, Paul; Booth, David (1996). Teoria mnogości Finslera: platonizm i cykliczność: Tłumaczenie artykułów Paula Finslera na temat teorii mnogości z komentarzami wstępnymi . Skoczek. Numer ISBN 978-3-7643-5400-8.
  • Hallett, Michael (1986), Kantorowska teoria mnogości i ograniczenie rozmiaru , Oxford University Press, ISBN 9780198532835.
  • Kanovei, Włodzimierz ; Reeken, Michael (2004), Analiza niestandardowa, Aksjomatycznie , Springer, ISBN 978-3-540-22243-9
  • Levy, Azriel (2012) [2002], Podstawowa teoria mnogości , Dover Publications, ISBN 9780486150734.
  • Mirimanoff, D. (1917), "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme podstawowa teoria zespołów", L'Enseignement Mathématique , 19 : 37-52, JFM  46.0306.01 .
  • Nitta; Okada; Tzouvaras (2003), Klasyfikacja zbiorów nieuzasadnionych i wniosek (PDF)
  • Pakkan, MJ; Akman, V. (1994-1995), „Problemy w zdroworozsądkowej teorii mnogości” (PDF) , Przegląd Sztucznej Inteligencji , 8 (4): 279-308, doi : 10.1007/BF00849061 , hdl : 11693/25955
  • Rathjen, M. (2004), " Przewidywanie, cykliczność i anty-fundacja" (PDF) , w Link, Godehard (red.), Sto lat paradoksu Russella: matematyka, logika, filozofia , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019968-0
  • Sangiorgi, Davide (2011), „Początki bisymulacji i koindukcji”, w Sangiorgi, Davide; Rutten, Jan (red.), Advanced Topics in Bisimulation and Coinduction , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00497-9
  • Scott, Dana (1960), „Inny rodzaj modelu teorii mnogości”, artykuł niepublikowany, referat wygłoszony na Kongresie Logiki, Metodologii i Filozofii Nauki Stanford w 1960 r.

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne

  • Strona Metamatema na temat aksjomatu regularności. Mniej niż 1% twierdzeń tej bazy danych jest ostatecznie zależnych od tego aksjomatu, co można wykazać za pomocą polecenia („pokaż użycie”) w programie Metamath.