Rozdzielacz Kählera - Kähler manifold

W matematyce , a zwłaszcza geometrii różniczkowej , A kolektor Kähler jest kolektor z trzech wzajemnie kompatybilnych struktur: a złożoną strukturę , A Riemanna struktura i symplektycznych struktury . Pojęcie to zostało po raz pierwszy zbadane przez Jana Arnoldusa Schoutena i Davida van Dantziga w 1930 roku, a następnie wprowadzone przez Ericha Kählera w 1933 roku. Terminologia została ustalona przez André Weila . Geometria Kählera odnosi się do badania rozmaitości Kählera, ich geometrii i topologii, a także badania struktur i konstrukcji, które można wykonać na rozmaitościach Kählera, takich jak istnienie specjalnych połączeń, takich jak połączenia Hermitowskie Yang–Millsa lub specjalne metryki, takie jak jako metryki Kählera-Einsteina .

Każda gładka, złożona odmiana rzutowa jest rozmaitością Kählera. Teoria Hodge'a jest centralną częścią geometrii algebraicznej , udowodnioną za pomocą metryk Kählera.

Definicje

Ponieważ rozdzielacze Kähler są wyposażone w kilka kompatybilnych konstrukcji, można je opisywać z różnych punktów widzenia:

Symplektyczny punkt widzenia

Rozmaitość Kählera to rozmaitość symplektyczna ( X , ω ) wyposażona w całkowalną, prawie złożoną strukturę J, która jest zgodna z formą symplektyczną ω, co oznacza, że forma dwuliniowa

${\ Displaystyle g (u, v) = \ omega (u, Jv)}$

na powierzchni styczności z X w każdym momencie jest symetryczna i dodatnio określona (a zatem Riemanna metryka X ).

Kompleksowy punkt widzenia

Kähler kolektor jest złożony kolektora X o hermitowskiego metryczną h który wiąże 2 forma ω jest zamknięty . Bardziej szczegółowo, h daje dodatnio określoną formę hermitowską na przestrzeni stycznej TX w każdym punkcie X , a 2-forma ω jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ omega (u, v) = \ nazwa operatora {Re} h (iu, v) = \ nazwa operatora {im} h (u, v)}$

dla wektorów stycznych u i v (gdzie i jest liczbą zespoloną ). Dla rozmaitości Kählera X , forma Kählera ω jest formą rzeczywistą zamkniętą (1,1) . Rozmaitość Kählera może być również postrzegana jako rozmaitość riemannowska, przy czym metryka riemannowska g jest zdefiniowana przez ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

${\ Displaystyle g (u, v) = \ nazwa operatora {Re} h (u, v).}$

Równoważnie, rozmaitość Kählera X jest rozmaitością hermitowską o złożonym wymiarze n takim, że dla każdego punktu p z X istnieje holomorficzny wykres współrzędnych wokół p, w którym metryka zgadza się ze standardową metryką na C ⁿ rzędu 2 w pobliżu p . Oznacza to, że jeśli wykres przyjmuje p do 0 w C ⁿ , a metryka jest zapisana w tych współrzędnych jako h _ab = ( ∂/∂ oo, ∂/∂ z _b) , to

${\ Displaystyle h_ {ab} = \ delta _ {ab} + O (\ | z \ | ^ {2})}$

dla wszystkich a , b w {1, ..., n }.

Ponieważ 2-forma ω jest domknięta, określa ona element w kohomologii de Rhama H ² ( X , R ) , znanej jako klasa Kählera .

Punkt widzenia Riemanna

Rozmaitość Kählera to rozmaitość riemannowska X o parzystym wymiarze 2 n, której grupa holonomii jest zawarta w grupie unitarnej U( n ). Równoważnie, istnieje złożona struktura J w przestrzeni stycznej X w każdym punkcie (to jest rzeczywista liniowa mapa od TX do siebie z J ² = −1 ) taka, że J zachowuje metrykę g (co oznacza, że g ( Ju , Jv ) = g ( u , v ) ) i J jest zachowywane przez transport równoległy .

Potencjał Kählera

Gładka wartościach rzeczywistych funkcji ρ na złożonym kolektora nazywa ściśle plurisubharmonicznych jeśli rzeczywista zamkniętą (1,1) -a-

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {i} {2}} \ częściowy {\ bar {\ częściowy}} \ rho}$

jest pozytywny, to znaczy forma Kählera. Tutaj są operatorzy Dolbeault . Funkcja ρ nazywana jest potencjałem Kählera dla ω . ${\displaystyle \częściowy,{\bar {\częściowy}}}$

I odwrotnie, przez złożoną wersję lematu Poincarégo , każda metryka Kählera może być opisana lokalnie w ten sposób. To znaczy, jeśli ( X , ω ) jest rozmaitością Kählera, to dla każdego punktu p w X istnieje sąsiedztwo U z p i gładka funkcja o wartościach rzeczywistych ρ na U taka, że . Tutaj ρ jest nazywane lokalnym potencjałem Kählera dla ω . Nie ma porównywalnego sposobu opisania ogólnej metryki Riemanna w kategoriach pojedynczej funkcji. ${\ Displaystyle \ omega \ vert _ {U} = (i/2) \ częściowy {\ bar {\ częściowy}} \ rho}$

Przestrzeń potencjałów Kählera

Chociaż nie zawsze możliwe jest globalne opisanie formy Kählera przy użyciu pojedynczego potencjału Kählera, możliwe jest opisanie w ten sposób różnicy dwóch form Kählera, pod warunkiem, że należą one do tej samej klasy kohomologii de Rhama . Jest to konsekwencja lematu z teorii Hodge'a . ${\displaystyle \częściowy {\bar {\częściowy}}}$

Mianowicie, jeśli jest zwartą rozmaitością Kählera, to klasa kohomologii nazywana jest klasą Kählera . Każdy inny przedstawiciel tej klasy, powiedzmy, różni się od by dla jakiejś jednej formy . W -lemma stwierdza ponadto, że dokładna forma ta może być zapisana jako do sprawnego funkcjonowania . W powyższej lokalnej dyskusji bierzemy lokalną klasę Kählera na otwarty podzbiór i zgodnie z lematem Poincarego każda forma Kählera będzie lokalnie kohomologiczna do zera. W ten sposób lokalny potencjał Kählera jest taki sam dla lokalnie. ${\displaystyle (X,\omega)}$${\ Displaystyle [\ omega] \ w H_ {\ tekst {DR}} ^ {2} (X)}$${\ Displaystyle \ omega '}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ omega '= \ omega + d \ beta}$${\ Displaystyle \ beta}$${\displaystyle \częściowy {\bar {\częściowy}}}$${\displaystyle d\beta}$${\displaystyle d\beta =i\częściowy {\bar {\częściowy}}\varphi}$${\ Displaystyle \ varphi: X \ do \ mathbb {C}}$${\displaystyle [\omega]=0}$${\ Displaystyle U \ podzbiór X}$${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle [\omega]=0}$

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli jest to klasa Kählera, to każda inna metryka Kählera może być zapisana tak, jak dla takiej gładkiej funkcji. Ta forma nie jest automatycznie formą pozytywną , więc przestrzeń potencjałów Kählera dla klasy jest definiowana jako te pozytywne przypadki i jest powszechnie oznaczana przez : ${\displaystyle [\omega]}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ varphi } = \ omega + ja \ częściowy {\ bar {\ częściowy}} \ varphi}$${\displaystyle [\omega]}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} _ {[\ omega]}: = \ {\ varphi: X \ do \ mathbb {R} {\ tekst {gładka}} \ mid \ omega + ja \ częściowy {\ bar {\częściowy}}\varphi >0\}.}$

Jeśli dwa potencjały Kählera różnią się stałą, to definiują one tę samą metrykę Kählera, więc przestrzeń metryk Kählera w klasie można zidentyfikować za pomocą ilorazu . Przestrzeń potencjałów Kählera to przestrzeń kurczliwa . W ten sposób przestrzeń potencjałów Kählera pozwala na jednoczesne badanie wszystkich metryk Kähler w danej klasie, a ta perspektywa w badaniu istnienia skutkuje dla metryk Kähler. ${\displaystyle [\omega]}$${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R}}$

Rozdzielacze Kähler i minimalizatory objętości

Dla kompaktowego Kähler kolektora X , objętość zamkniętych złożonej podprzestrzeni z X jest określona przez jego homologi klasy. W pewnym sensie oznacza to, że geometria złożonej podprzestrzeni jest ograniczona pod względem topologii. (To całkowicie zawodzi w przypadku rzeczywistych podrozmaitości). Wzór Wirtingera wyraźnie mówi, że

${\ Displaystyle \ operatorname {vol} (Y) = {\ Frac {1} {R!}} \ int _ {Y} \ omega ^ {r}}$

gdzie Y jest r- wymiarową zamkniętą podprzestrzenią zespoloną, a ω jest formą Kählera. Ponieważ ω jest domknięte, ta całka zależy tylko od klasy Y w H _{2 r} ( X , R ) . Te objętości są zawsze dodatnie, co wyraża silną pozytywność klasy Kählera ω w H ² ( X , R ) w odniesieniu do złożonych podprzestrzeni. W szczególności, ω ⁿ nie jest zerem w H ^{2 n} ( X , R ) , dla zwartej rozmaitości Kählera X o złożonym wymiarze n .

Pokrewnym faktem jest to, że każda zamknięta podprzestrzeń zespolona Y zwartej rozmaitości Kählera X jest podrozmaitością minimalną (poza jej zbiorem osobliwym). Nawet więcej: teoria skalibrowanym geometrii , Y zmniejsza głośność wśród wszystkich cykli (Real) w tej samej klasie homologii.

Laplace'a na rozmaitości Kählera

Na rozmaitości Riemanna wymiaru N , Laplace'a na gładkich r- formach jest zdefiniowana przez gdzie jest pochodną zewnętrzną i , gdzie jest operatorem gwiazdy Hodge'a . (Równoważnie jest sprzężeniem w odniesieniu do iloczynu skalarnego L ² na formach r o zwartej podporze.) Dla rozmaitości hermitowskiej X , i są rozkładane jako ${\ Displaystyle \ Delta _ {d} = dd ^ {*} + d ^ {*} d}$${\displaystyle d}$${\ Displaystyle d ^ {*} = - (-1) ^ {Nr} \ gwiazda d \ gwiazda}$${\displaystyle \gwiazda}$${\ Displaystyle d ^ {*}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\ Displaystyle d ^ {*}}$

${\ Displaystyle d = \ częściowy + {\ bar {\ częściowy}} \ \ \ \ d ^ {*} = \ częściowy ^ {*} + {\ bar {\ częściowy}} ^ {*}}$

i dwóch innych Laplace'ów są zdefiniowane:

${\ Displaystyle \ Delta _ {\ bar {\ częściowy}} = {\ bar {\ częściowy}} {\ bar {\ częściowy}} ^ {*} + {\ bar {\ częściowy}} ^ {*} {\ bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}$

Jeśli X to Kähler, to ci Laplacianie są tacy sami aż do stałej:

${\ Displaystyle \ Delta _ {d} = 2 \ Delta _ {\ bar {\ częściowy}} = 2 \ Delta _ {\ częściowy}.}$

Z tych tożsamości wynika, że ​​na rozmaitości Kählera X ,

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {r} (X) = \ bigoplus _ {p + q = r} {\ mathcal {H}} ^ {p, q} (X)}$

gdzie jest przestrzenią form harmonicznych r na X (formy α z Δ α = 0 ) i jest przestrzenią form harmonicznych ( p , q ) . Oznacza to, że forma różniczkowa jest harmoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy każda z jej ( p , q ) składowych jest harmoniczna. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}} ^ {R}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {p, q}}$${\ Displaystyle \ alfa}$

Ponadto, dla zwartej rozmaitości Kählera X , teoria Hodge'a podaje interpretację powyższego podziału, która nie zależy od wyboru metryki Kählera. Mianowicie kohomologie H ^R ( x , C ), z X, złożonych współczynników pęknięć jako sumę prostą niektórych spójna wiązka kohomologii grupy:

${\ Displaystyle H ^ {r} (X \ mathbf {C}) \ cong \ bigoplus _ {p + q = r} H ^ {q} (X \ Omega ^ {p}).}$

Grupa po lewej stronie zależy tylko od X jako przestrzeni topologicznej, podczas gdy grupy po prawej zależą od X jako rozmaitości zespolonej. Tak więc twierdzenie o dekompozycji Hodge'a łączy topologię i złożoną geometrię dla kompaktowych rozmaitości Kählera.

Niech H ^{p , q} ( X ) będzie zespoloną przestrzenią wektorową H ^q ( X , Ω ^p ) , którą można utożsamiać z przestrzenią form harmonicznych względem danej metryki Kählera. Te numery Hodge z X są zdefiniowane h ^{p , q} ( x ) = słabe _C, H ^{P , P} ( X ) . Rozkład Hodge'a implikuje rozkład liczb Bettiego zwartej rozmaitości Kählera X pod względem jej liczb Hodge'a: ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {p, q} (X)}$

${\ Displaystyle b_ {r} = \ suma _ {p + q = r} h ^ {p, q}.}$

Liczby Hodge'a kompaktowego rozgałęźnika Kählera spełniają kilka tożsamości. Hodge symetrii H ^{P , Q} = H ^{P , P} posiada ponieważ Laplace'a jest prawdziwy operatora itd . Tożsamość h ^{p , q} = h ^{n − p , n − q} można udowodnić używając operatora gwiazdy Hodge'a dającego izomorfizm . Wynika to również z dwoistości Serre'a . ${\ Displaystyle \ Delta _ {d}}$${\ Displaystyle H ^ {p, q} = {\ nadkreślenie {H ^ {q, p}}}}$${\ Displaystyle H ^ {p, q} \ cong {\ nadkreślenie {H ^ {np, nq}}}}$

Topologia kompaktowych rozdzielaczy Kähler

Prostą konsekwencją teorii Hodge'a jest to, że każda nieparzysta liczba Bettiego b _{2 a +1} zwartej rozmaitości Kählera jest parzysta dzięki symetrii Hodge'a. Nie dotyczy to ogólnie zwartych złożonych rozmaitości, jak pokazano na przykładzie powierzchni Hopfa , która jest dyfeomorficzna do S ¹ × S ^{3 ,} a zatem ma b ₁ = 1 .

„Pakiet Kählera” to zbiór dalszych ograniczeń kohomologii kompaktowych rozmaitości Kählera, opartych na teorii Hodge'a. Wyniki obejmują hiperpłaszczyznę twierdzenie Lefschetz , z twardą twierdzenie Lefschetz , a stosunki dwuliniowe Hodge-Riemanna . Pokrewnym rezultatem jest to, że każda zwarta rozmaitość Kählera jest formalna w sensie racjonalnej teorii homotopii.

Pytanie, które grupy mogą być podstawowymi grupami zwartych rozmaitości Kählera, zwanych grupami Kählera , jest szeroko otwarte. Teoria Hodge'a nakłada wiele ograniczeń na możliwe grupy Kählera. Najprostszym ograniczeniem jest to, że abelianizacja grupy Kählera musi mieć rangę parzystą, ponieważ liczba Bettiego b ₁ zwartej rozmaitości Kählera jest parzysta. (Na przykład liczby całkowite Z nie mogą być podstawową grupą zwartej rozmaitości Kählera.) Rozszerzenia teorii, takie jak nieabelowa teoria Hodge'a, dają dalsze ograniczenia co do tego, które grupy mogą być grupami Kählera.

Bez warunku Kählera sytuacja jest prosta: Clifford Taubes wykazał, że każda skończenie przedstawiona grupa powstaje jako podstawowa grupa jakiejś zwartej złożonej rozmaitości wymiaru 3. (Odwrotnie, podstawowa grupa dowolnej zamkniętej rozmaitości jest skończona).

Charakterystyki złożonych rozmaitości rzutowych i zwartych rozmaitości Kählera

Twierdzenie Kodaira o osadzeniu charakteryzuje gładkie złożone rozmaitości rzutowe wśród wszystkich kompaktowych rozmaitości Kählera. Mianowicie, zwarta złożona rozmaitość X jest rzutowa wtedy i tylko wtedy, gdy na X istnieje forma Kählera ω, której klasa w H ² ( X , R ) jest zgodna z obrazem całkowej grupy kohomologicznej H ² ( X , Z ) . (Ponieważ pozytywne wielokrotnością postaci Kähler jest formą Kähler, jest równoważne, że X ma postać KäHLER którego klasą w H ² ( X , R ) w H ² ( X , Q ) ). Równoważnie X jest rzutowej, wtedy i tylko wtedy, gdy jest holomorficzny linii wiązki l o X o hermitowskiego metryki którego kształtowego ω jest dodatni (od ω następnie forma Kähler reprezentującą pierwszy Chem klasy z L na H ² ( X , z ) ).

Każda zwarta złożona krzywa jest rzutowa, ale w złożonym wymiarze co najmniej 2 istnieje wiele kompaktowych rozmaitości Kählera, które nie są rzutowe; na przykład najbardziej zwarte złożone tori nie są rzutowe. Można zapytać, czy każdą zwartą rozmaitość Kählera można przynajmniej odkształcić (poprzez ciągłe zmienianie złożonej struktury) do gładkiej odmiany rzutowej. Praca Kunihiko Kodairy nad klasyfikacją powierzchni sugeruje, że każda zwarta rozmaitość Kählera o złożonym wymiarze 2 może rzeczywiście zostać zdeformowana do gładkiej odmiany projekcyjnej. Claire Voisin odkryła jednak, że to zawodzi w wymiarach co najmniej 4. Skonstruowała zwartą rozmaitość Kählera o złożonym wymiarze 4, która nie jest nawet homotopijnie równoważna żadnej gładkiej złożonej rozmaitości rzutowej.

Można również poprosić o scharakteryzowanie kompaktowych rozmaitości Kählera wśród wszystkich kompaktowych złożonych rozmaitości. W złożonym wymiarze 2 Kodaira i Yum-Tong Siu wykazali, że zwarta złożona powierzchnia ma metrykę Kählera wtedy i tylko wtedy, gdy jej pierwsza liczba Betti jest parzysta. Tak więc „Kähler” jest właściwością czysto topologiczną dla zwartych, złożonych powierzchni. Przykład Hironaki pokazuje jednak, że to zawodzi w wymiarach co najmniej 3. Bardziej szczegółowo, przykład jest 1-parametrową rodziną gładkich, zwartych, złożonych 3-krotnie, tak że większość włókien jest Kähler (a nawet rzutowa), ale jedno włókno jest nie Kahler. Tak więc kompaktowa rozmaitość Kählera może być dyfeomorficzna do złożonej rozmaitości innej niż Kähler.

Rozmaitości Kählera-Einsteina

Rozmaitość Kählera nazywa się Kähler-Einstein, jeśli ma stałą krzywiznę Ricciego . Równoważnie tensor krzywizny Ricciego jest równy stałej λ razy tensor metryczny , Ric = λg . Odniesienie do Einsteina pochodzi z ogólnej teorii względności , która przy braku masy twierdzi, że czasoprzestrzeń jest czterowymiarową rozmaitością Lorentza z zerową krzywizną Ricciego. Zobacz artykuł o rozmaitościach Einsteina, aby uzyskać więcej informacji.

Chociaż krzywizna Ricciego jest zdefiniowana dla dowolnej rozmaitości Riemanna, odgrywa ona szczególną rolę w geometrii Kählera: krzywizna Ricciego rozmaitości Kählera X może być postrzegana jako rzeczywista zamknięta (1,1)-forma, która reprezentuje c ₁ ( X ) ( pierwsza klasa Cherna wiązki stycznej ) w H ² ( X , R ) . Wynika z tego, że zwarta rozmaitość Kählera-Einsteina X musi mieć wiązkę kanoniczną K _X albo antyaplikowaną, homologicznie trywialną, albo dużą , w zależności od tego, czy stała Einsteina λ jest dodatnia, zerowa czy ujemna. Rozmaitości Kählera tych trzech typów nazywane są odpowiednio Fano , Calabi–Yau lub z dużą wiązką kanoniczną (co implikuje typ ogólny ). Według twierdzenia Kodairy o osadzeniu, rozmaitości Fano i rozmaitości z dużą wiązką kanoniczną są automatycznie rozmaitościami rzutowymi.

Shing-Tung Yau udowodnił hipotezę Calabiego : każda gładka odmiana rzutowa z dużą wiązką kanoniczną ma metrykę Kählera-Einsteina (ze stałą ujemną krzywizną Ricciego), a każda rozmaitość Calabiego-Yau ma metrykę Kählera-Einsteina (z zerową krzywizną Ricciego). Wyniki te są ważne dla klasyfikacji rozmaitości algebraicznych, z zastosowaniami takimi jak nierówność Miyaoki–Yau dla odmian z dużą wiązką kanoniczną oraz dekompozycja Beauville–Bogomolova dla rozmaitości Calabiego–Yau.

W przeciwieństwie do tego, nie każda gładka odmiana Fano ma metrykę Kählera-Einsteina (która miałaby stałą dodatnią krzywiznę Ricciego). Jednak Xiuxiong Chen, Simon Donaldson i Song Sun udowodnili hipotezę Yau- Tian- Donaldsona: gładka odmiana Fano ma metrykę Kählera-Einsteina wtedy i tylko wtedy, gdy jest stabilna K , warunek czysto algebro-geometryczny.

W sytuacjach, w których nie ma metryki Kählera-Einsteina, możliwe jest badanie łagodnych uogólnień, w tym metryk Kählera o stałej krzywiźnie skalarnej i ekstremalnych metryk Kählera . Kiedy może istnieć metryka Kählera-Einsteina, te szersze uogólnienia są automatycznie Kähler-Einstein.

Holomorficzna krzywizna przekrojowa

Odchylenie rozmaitości Riemanna X od standardowej metryki w przestrzeni euklidesowej jest mierzone przez krzywiznę przekroju , która jest liczbą rzeczywistą związaną z dowolną rzeczywistą 2 płaszczyzną w przestrzeni stycznej X w punkcie. Na przykład krzywizna przekroju standardowej metryki CP ⁿ (dla n ≥ 2 ) waha się od 1/4 do 1. Dla rozmaitości hermitowskiej (na przykład rozmaitości Kählera) holomorficzna krzywizna przekroju oznacza krzywiznę przekroju ograniczoną do linie złożone w przestrzeni stycznej. Zachowuje się to prościej, ponieważ CP ⁿ ma holomorficzną krzywiznę przekroju równą 1. Z drugiej strony, kula otwartej jednostki w C ⁿ ma kompletną metrykę Kählera z holomorficzną krzywizną przekroju równą -1. (W przypadku tej metryki piłka jest również nazywana złożoną przestrzenią hiperboliczną .)

Holomorficzna krzywizna przekroju jest ściśle związana z właściwościami X jako złożonej rozmaitości. Na przykład, każda hermitowska rozmaitość X z holomorficzną krzywizną przekroju ograniczoną powyżej stałą ujemną jest hiperboliczną Kobayashiego . Wynika z tego, że każde odwzorowanie holomorficzne C → X jest stałe.

Niezwykłą cechą złożonej geometrii jest to, że holomorficzna krzywizna przekroju zmniejsza się na złożonych podrozmaitościach. (To samo dotyczy bardziej ogólnej koncepcji, holomorficznej krzywizny dwusekcyjnej.) Na przykład, każda złożona podrozmaitość C ⁿ (z indukowaną metryką z C ⁿ ) ma holomorficzną krzywiznę przekroju ≤ 0.

Przykłady

1. Złożona przestrzeń C ⁿ ze standardową metryką hermitowską jest rozmaitością Kählera.
2. Zwarty złożony torus C ⁿ /Λ (Λ pełna krata ) dziedziczy płaską metrykę z metryki euklidesowej na C ⁿ , a zatem jest zwartą rozmaitością Kählera.
3. Każda metryka riemannowska na zorientowanym 2-rozmaitości to Kähler. (Rzeczywiście, jego grupa holonomii jest zawarta w grupie rotacyjnej SO(2), która jest równa grupie unitarnej U(1).) W szczególności zorientowana dwurozmaitość Riemanna jest złożoną krzywą w sposób kanoniczny; jest to znane jako istnienie współrzędnych izotermicznych .
4. Istnieje standardowy wybór metryki Kählera na złożonej przestrzeni rzutowej CP ⁿ , metryki Fubini-Study . Jeden opis dotyczy grupy unitarnej U( n + 1) , grupy automorfizmów liniowych C ^{n +1,} które zachowują standardową formę hermitowską. Metryka Fubiniego-Study jest unikalną metryką Riemanna dotyczącą CP ⁿ (do dodatniej wielokrotności), która jest niezmienna pod wpływem działania U ( n + 1) na CP ⁿ . Naturalnego uogólnienia CP ⁿ dostarczają hermitowskie symetryczne przestrzenie typu zwartego, takie jak Grassmannowie . Naturalna metryka Kählera na hermitowskiej symetrycznej przestrzeni typu kompaktowego ma krzywiznę przekroju ≥ 0.
5. Metryka indukowana na złożonym podrozmaitości rozmaitości Kählera to Kähler. W szczególności każda rozmaitość Steina (osadzone w C ⁿ ) lub gładka rzutowa rozmaitość algebraiczna (osadzone w CP ⁿ ) to Kahler. To jest duża klasa przykładów.
6. Kula jednostki otwartej B w C ⁿ ma kompletną metrykę Kählera zwaną metryką Bergmana , z holomorficzną krzywizną przekroju równą -1. Naturalne uogólnienie kuli zapewniają hermitowskie symetryczne przestrzenie typu niezwartego, takie jak górna półprzestrzeń Siegela . Każda hermitowska symetryczna przestrzeń X typu niezwartego jest izomorficzna z ograniczoną domeną w pewnym C ⁿ , a metryka Bergmana X jest kompletną metryką Kählera z krzywizną przekroju ≤ 0.
7. Każda nawierzchnia K3 to Kähler (by Siu).

Zobacz też

• Prawie złożony kolektor
• Kolektor Hyperkählera
• Rozdzielacz Quaternion-Kähler
• K-energia funkcjonalna

Uwagi

Bibliografia

• Amorosa, Jaume; Burger, Marc; Corletta, Kevin; Kotschick, Dieter; Toledo, Domingo (1996), Fundamental Groups of Compact Kähler Manifolds , Mathematical Surveys and Monographs, 44 , American Mathematical Society , doi : 10.1090/surv/044 , ISBN 978-0-8218-0498-8, MR  1379330
• Barth, Wolf P. ; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Kompaktowe powierzchnie złożone , Springer , doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Cannas da Silva, Ana (2001), Wykłady z geometrii symplektycznej , Notatki z matematyki, 1764 , Springer , doi : 10.1007/978-3-540-45330-7 , ISBN 978-3540421955, MR  1853077
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994) [1978]. Zasady geometrii algebraicznej . John Wiley i Synowie . Numer ISBN 978-0-471-05059-9. MR  0507725 .
• Kähler, Erich (1933), „Ùber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik”, Abh. Matematyka. Sem. Uniw. Hamburg , 9 : 173-186, doi : 10.1007/BF02940642 , JFM  58.0780.02
• Huybrechts, Daniel (2005), Złożona Geometria: Wprowadzenie , Springer , ISBN 978-3-540-21290-4, MR  2093043
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996) [1969], Podstawy geometrii różniczkowej , 2 , John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-15732-8, MR  1393941
• Moroianu, Andrei (2007), Lectures on Kähler Geometry , London Mathematical Society Student Texts, 69 , Cambridge University Press , arXiv : math/0402223 , doi : 10.1017/CBO9780511618666 , ISBN 978-0-521-68897-0, MR  2325093
• Voisin, Claire (2004), "O typach homotopii kompaktowych Kählera i złożonych rozmaitościach rzutowych", Inventiones Mathematicae , 157 (2): 329-343, arXiv : math/0312032 , Bibcode : 2004InMat.157..329V , doi : 10.1007/s00222-003-0352-1 , MR  2076925
• Zheng, Fangyang (2000), Złożona Geometria Różniczkowa , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-2163-3, MR  1777835

Zewnętrzne linki

• "Rozmaitość Kählera" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Moroianu, Andrei (2004), Wykłady z geometrii Kähler (PDF)