Transport równoległy - Parallel transport

Transport równoległy wektora wokół zamkniętej pętli (od A do N do B iz powrotem do A) na sferze. Kąt, o jaki się skręca, , jest proporcjonalny do obszaru wewnątrz pętli.${\ Displaystyle \ alfa}$

W geometrii , transport równoległy ( lub translacja równoległa ) jest sposobem transportu danych geometrycznych wzdłuż gładkich krzywych w rozmaitości . Jeżeli rozmaitość jest wyposażona w połączenie afiniczne ( pochodna kowariantna lub połączenie na wiązce stycznej ), to połączenie to umożliwia transportowanie wektorów rozmaitości wzdłuż krzywych tak, aby były one równoległe do połączenia.

Transport równoległy połączenia dostarcza zatem w pewnym sensie sposobu przemieszczania lokalnej geometrii rozmaitości po krzywej, to znaczy łączenia geometrii sąsiednich punktów. Dostępnych może być wiele koncepcji transportu równoległego, ale określenie jednego — jednego ze sposobów łączenia geometrii punktów na krzywej — jest równoznaczne z zapewnieniem połączenia . W rzeczywistości zwykłe pojęcie połączenia jest nieskończenie małym analogiem transportu równoległego. Lub odwrotnie , transport równoległy to lokalna realizacja połączenia.

Ponieważ transport równoległy zapewnia lokalną realizację połączenia, zapewnia również lokalną realizację krzywizny znanej jako holonomia . Twierdzenie Ambrose'a-Singera uwydatnia ten związek między krzywizną a holonomią.

Inne koncepcje połączeń są również wyposażone we własne systemy transportu równoległego. Na przykład połączenie Koszula w wiązce wektorowej pozwala również na równoległy transport wektorów w podobny sposób, jak w przypadku pochodnej kowariantnej. Połączenie Ehresmanna lub Cartana zapewnia podniesienie krzywych z kolektora do całkowitej przestrzeni wiązki głównej . Takie unoszenie krzywych może być czasami traktowane jako równoległy transport ramek odniesienia .

Transport równoległy na wiązce wektorowej

Niech M będzie gładką rozmaitością. Niech E → M być wiązka wektor z covariant pochodnej ∇ i y : I → M gładką krzywą parametryzowane otwartego przedziału I . Odcinek od wzdłuż y nazywa równolegle czy ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ kropka {\ gamma}} (t)} X = 0 {\ tekst {dla}} t \ w I. \,}$

Przykładowo, jeśli jest to przestrzeń styczna w wiązce stycznej do rozdzielacza wyrażenie to oznacza, że dla każdego z przedziału wektory stycznej są „stałe” (że znika pochodne), gdy przemieszczenie nieskończenie z w kierunku stycznej wektor jest gotowy. ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ gamma (t)}$${\displaystyle {\kropka {\gamma}}(t)}$

Załóżmy, że otrzymaliśmy element e ₀ ∈ E _P w P = γ (0) ∈ M , a nie sekcję. Przeniesienie równoległe o e ₀ wzdłuż y jest rozszerzenie e ₀ do równoległego sekcji X w y . Dokładniej, X jest unikalnym odcinkiem E wzdłuż γ takim, że

1. ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ kropka {\ gamma}} X = 0}$
2. ${\ Displaystyle X_ {\ Gamma (0)} = e_ {0}.}$

Zauważ, że w dowolnym polu współrzędnych (1) definiuje równanie różniczkowe zwyczajne , z warunkiem początkowym podanym przez (2). Zatem twierdzenie Picarda-Lindelöfa gwarantuje istnienie i jednoznaczność rozwiązania.

Zatem połączenie ∇ określa sposób przesuwania elementów włókien po krzywej, a to zapewnia liniowe izomorfizmy między włóknami w punktach wzdłuż krzywej:

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}: E_ {\ gamma (s)} \ rightarrow E_ {\ gamma (t)}}$

od przestrzeni wektorowej leżącej nad γ( s ) do tej nad γ( t ). Ten izomorfizm jest znany jako mapa transportu równoległego związana z krzywą. Uzyskane w ten sposób izomorfizmy między włóknami będą na ogół zależały od wyboru krzywej: jeśli tak nie jest, to transport równoległy wzdłuż każdej krzywej można wykorzystać do określenia równoległych odcinków E po całym M . Jest to możliwe tylko wtedy, gdy krzywizna ∇ wynosi zero.

W szczególności, transport równoległy wokół zamkniętej krzywej rozpoczynającej się w punkcie x definiuje automorfizm przestrzeni stycznej w punkcie x, który niekoniecznie jest trywialny. Automorfizmy transportu równoległego określone przez wszystkie zamknięte krzywe oparte na x tworzą grupę transformacji zwaną grupą holonomii ∇ w x . Istnieje ścisły związek między tą grupą a wartością krzywizny ∇ przy x ; to jest treść twierdzenia o holonomii Ambrose-Singera .

Odzyskiwanie połączenia z transportu równoległego

Mając pochodną kowariantną ∇, transport równoległy wzdłuż krzywej γ uzyskuje się przez całkowanie warunku . Odwrotnie, jeśli dostępne jest odpowiednie pojęcie transportu równoległego, odpowiednie połączenie można uzyskać przez różnicowanie. Podejście to jest zasadniczo zasługą Knebelmana (1951) ; patrz Guggenheimer (1977) . Lumiste (2001) również przyjmuje to podejście. ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ nabla _ {\ kropka {\ gamma}} = 0}}$błąd harvtxt: brak celu: CITEREFLumiste2001 ( pomoc )

Rozważ przypisanie do każdej krzywej γ w rozmaitości zbioru odwzorowań

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}: E_ {\ gamma (s)} \ rightarrow E_ {\ gamma (t)}}$

takie, że

1. ${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {s} = identyfikator}$, transformacja tożsamościowa E _γ(s) .
2. ${\ Displaystyle \ gamma (\ gamma) _ {u} ^ {t} \ circ \ gamma (\ gamma) _ {s} ^ {u} = \ gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}.}$
3. Zależność Γ od γ, s i t jest „gładka”.

Pojęcie gładkości w warunku 3. jest nieco trudne do sprecyzowania (patrz omówienie poniżej transportu równoległego w wiązkach włókien). W szczególności współcześni autorzy, tacy jak Kobayashi i Nomizu, ogólnie postrzegają równoległy transport połączenia jako pochodzący z połączenia w pewnym innym sensie, w którym łatwiej jest wyrazić gładkość.

Niemniej jednak, biorąc pod uwagę taką regułę dla transportu równoległego, możliwe jest odzyskanie skojarzonego nieskończenie małego połączenia w E w następujący sposób. Niech γ będzie krzywą różniczkowalną w M z punktem początkowym γ(0) i początkowym wektorem stycznym X = γ′(0). Jeśli V jest odcinkiem E nad γ, to niech

${\ Displaystyle \ nabla _ {X} V = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {\ gamma (\ gamma) _ {h} ^ {0} V_ {\ gamma (h)} - V_ {\ gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_ {t=0}.}$

Definiuje to skojarzone nieskończenie małe połączenie ∇ na E . Odzyskuje się ten sam transport równoległy Γ z tego nieskończenie małego połączenia.

Przypadek szczególny: wiązka styczna

Niech M będzie gładką rozmaitością. Potem połączenie w wiązce stycznej z M , zwany afinicznej połączenie wyróżnia klasę krzywych nazwie (afiniczne) geodezyjne ( Kobayashi i Nomizu , tom 1, rozdział III) . Gładka krzywa γ : I → M jest geodezją afiniczną, jeśli jest transportowana równolegle wzdłuż , czyli błąd harv: brak celu: CITEREFKobayashiNomizu ( pomoc )${\displaystyle {\kropka {\gamma}}}$${\ Displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t} {\ kropka {\ gamma}} (s) = {\ kropka {\ gamma}} (t). \,}$

Biorąc pochodną po czasie, przybiera to bardziej znaną formę

${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ kropka {\ gamma}} (t)} {\ kropka {\ gamma}} = 0. \,}$

Transport równoległy w geometrii Riemanna

W ( pseudo- ) geometrii Riemanna , A połączenie metryka jest dowolny związek, którego równoległe mapowania transportu zachowania tensor metryczną . Zatem połączeniem metrycznym jest dowolne połączenie Γ takie, że dla dowolnych dwóch wektorów X , Y ∈ T _γ(s)

${\ Displaystyle \ langle \ gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t} X \ gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t} Y \ rangle _ {\ gamma (t)} = \ langle X ,Y\rangle _{\gamma (s)}.}$

Przyjmując pochodną w t = 0, powiązany operator różniczkowy ∇ musi spełniać regułę iloczynu w odniesieniu do metryki:

${\ Displaystyle Z \ langle X Y \ rangle = \ langle \ nabla _ {Z} X Y \ rangle + \ langle X \ nabla _ {Z} Y \ rangle.}$

Geodezja

Jeżeli ∇ jest połączeniem metrycznym, to geodezje afiniczne są zwykłymi geodezjami geometrii riemannowskiej i są lokalnie krzywymi minimalizującymi odległość. Dokładniej, najpierw zauważ, że jeśli γ : I → M , gdzie I jest przedziałem otwartym, jest geodezyjne, to norma jest stała na I . Rzeczywiście, ${\displaystyle {\kropka {\gamma}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ langle {\ kropka {\ gamma}} (t), {\ kropka {\ gamma}} (t) \ rangle = 2 \ langle \ nabla _ {\ kropka {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.}$

Z zastosowania lematu Gaussa wynika, że jeśli A jest normą , to indukowana przez metrykę odległość między dwoma wystarczająco bliskimi punktami na krzywej γ , powiedzmy γ ( t ₁ ) i γ ( t ₂ ), jest dana wzorem ${\displaystyle {\kropka {\gamma}}(t)}$

${\ Displaystyle {\ mbox {odleg.}} {\ duży (} \ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2}) {\ duży )} = A | t_ {1}-t_ {2} | .}$

Powyższy wzór może nie być prawdziwy dla punktów, które nie są wystarczająco blisko, ponieważ geodezja może na przykład owijać się wokół rozmaitości (np. na kuli).

Uogólnienia

Transport równoległy można bardziej ogólnie zdefiniować dla innych typów połączeń, nie tylko tych zdefiniowanych w wiązce wektorowej. Jedno uogólnienie dotyczy głównych powiązań ( Kobayashi i Nomizu 1996 , Tom 1, Rozdział II). Niech P → M będzie wiązką główną nad rozmaitością M ze strukturą grupa Liego G i połączeniem głównym ω. Podobnie jak w przypadku wiązek wektorowych, połączenie główne ω na P określa, dla każdej krzywej γ w M , odwzorowanie

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}: P_ {\ gamma (s)} \ rightarrow P_ {\ gamma (t)}}$

od włókna nad γ( s ) do tego nad γ( t ), co jest izomorfizmem przestrzeni jednorodnych : tj. dla każdego g ∈ G . ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ gamma (s)} gu = g \ gamma _ {\ gamma (s)}}$

Możliwe są również dalsze uogólnienia transportu równoległego. W kontekście połączeń Ehresmanna , gdzie połączenie zależy od specjalnego pojęcia „ podnoszenia poziomego ” przestrzeni stycznych, można zdefiniować transport równoległy za pomocą podnośników poziomych . Połączenia kartanowe to połączenia Ehresmanna z dodatkową strukturą, która pozwala na myślenie o transporcie równoległym jako mapie „toczącej” pewną przestrzeń modelową wzdłuż krzywej w rozmaitości. To walcowanie nazywa się rozwojem .

Przybliżenie: Drabina Schilda

Dwa szczeble drabiny Schilda . Segmenty ₁ X ₁ i ₂ X ₂ jest aproksymacją pierwszego rzędu transportu równoległym A ₀ X ₀ wzdłuż łuku.

Transport równoległy można dyskretnie przybliżyć za pomocą drabiny Schilda , która wykonuje skończone kroki wzdłuż krzywej i przybliża równoległoboki Levi-Civita przez przybliżone równoległoboki .

Zobacz też

• Podstawowe wprowadzenie do matematyki zakrzywionej czasoprzestrzeni
• Połączenie (matematyka)
• Rozwój (geometria różnicowa)
• Połączenie afiniczne
• Pochodna kowariantna
• Geodezyjne (ogólna teoria względności)
• Faza geometryczna
• Kłamstwo pochodne
• Drabina Schilda
• Równoległobok Levi-Civita
• krzywa równoległa , podobnie nazwana, ale inne pojęcie

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Demo geometrii sferycznej . Aplet demonstrujący równoległy transport wektorów stycznych na sferze.