Wielomiany Hermite'a - Hermite polynomials

W matematyce , że Hermite'a wielomiany są klasyczne prostopadłe wielomian sekwencji .

Wielomiany powstają w:

• przetwarzanie sygnału jako falki Hermitowskie do analizy transformacji falkowej
• prawdopodobieństwo , takie jak szereg Edgewortha , jak również w związku z ruchem Browna ;
• kombinatoryka , jako przykład ciągu Appella , zgodna z rachunkiem umbralnym ;
• analiza numeryczna jako kwadratura Gaussa ;
• Physics , gdzie powodują one do stany własne z oscylatora harmonicznego kwantowej ; i występują również w niektórych przypadkach równania ciepła (gdy termin jest obecny);${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} xu_ {x} \ koniec {wyrównany}}}$
• teoria systemów w powiązaniu z nieliniowymi operacjami na szumie Gaussa .
• teoria macierzy losowych w zespołach Gaussa .

Wielomiany hermite'a zostały zdefiniowane przez Pierre Simon de Laplace w 1810 roku, choć w ledwie postaci rozpoznawalnej i szczegółowo badane przez Pafnutij Czebyszow w 1859. pracy Czebyszewa był pomijany, a one zostały nazwane później po Charles Hermite , który napisał na wielomianów w 1864 roku, opisując je jako nowe. W konsekwencji nie były nowe, chociaż Hermite był pierwszym, który zdefiniował wielomiany wielowymiarowe w swoich późniejszych publikacjach z 1865 roku.

Definicja

Podobnie jak inne klasyczne wielomiany ortogonalne , wielomiany Hermite'a można zdefiniować z kilku różnych punktów początkowych. Zauważając od początku, że w powszechnym użyciu są dwie różne normalizacje, jedna wygodna metoda jest następująca:

• W „probabilist za wielomiany hermite'a” podane są przez

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} (x) = (-1) ^ {n} e ^ {\ Frac {x ^ {2}} {2}} {\ Frac {d ^ {n }}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

• podczas gdy „wielomiany Hermite'a fizyka” są podane przez

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = (-1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} \ Frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x^{2}}.}$

Równania te mają postać wzoru Rodriguesa i można je również zapisać jako:

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} (x) = \ lewo (x-{\ Frac {d} {dx}} \ prawej) ^ {n} \ cdot 1 \ quad H_ {n} (x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$

Te dwie definicje nie są dokładnie takie same; każdy jest przeskalowaniem drugiego:

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = 2 ^ {\ Frac {n} {2}} {\ mathit {he}} _ {n} \ lewo ({\ sqrt {2}} \ x \ prawej) ,\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt { 2}}}\prawo).}$

Są to wielomianowe sekwencje Hermite'a o różnych wariancjach; patrz materiał dotyczący wariancji poniżej.

Notacja He i H jest taka sama jak w odnośnikach standardowych. Wielomiany He _n są czasami oznaczane przez H _n , zwłaszcza w teorii prawdopodobieństwa, ponieważ

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}}}$

jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej 0 i odchyleniu standardowym 1.

• Pierwszych jedenaście wielomianów probabilisty Hermite'a to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathit {he}} _ {0} (x) i = 1, \ \ {\ mathit {he}} _ {1} (x) i = x, \ \ { \mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1,\\{\mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x,\ \{\mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\{\mathit {He}}_{5}(x)&=x ^{5}-10x^{3}+15x,\\{\mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15 ,\\{\mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\{\mathit {He}}_{ 8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\{\mathit {He}}_{9}(x)& =x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\{\mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10} -45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{wyrównany}}}$

• Pierwszych jedenaście wielomianów Hermite'a fizyka to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} H_ {0} (x) i = 1, \ \ H_ {1} (x) i = 2 x \ \ H_ {2} (x) i = 4 x ^ {2}- 2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{ 5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}- 120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}- 3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x ^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240. \end{wyrównany}}}$

Nieruchomości

N p rzędu Hermite'a wielomian wielomianem stopnia n . Wersja probabilisty He _n ma wiodący współczynnik 1, natomiast wersja fizyka H _n ma wiodący współczynnik 2 ⁿ .

Ortogonalność

H _n ( x ) i On _n ( x ) jest n wielomiany p stopnia dla n = 0, 1, 2, 3, ... . Te wielomiany są ortogonalne względem funkcji wagi ( miara )

${\ Displaystyle w (x) = e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}} \ quad ({\ tekst {dla}} {\ mathit {on}})}$

lub

${\ Displaystyle w (x) = e ^ {-x ^ {2}} \ quad ({\ tekst {dla}} H),}$

czyli mamy

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H_ {m} (x) H_ {n} (x) \, w (x) \ dx = 0 \ quad {\ tekst {dla wszystkich} }m\neq rz.}$

Ponadto,

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ mathit {on}} _ {m} (x) {\ mathit {on}} _ {n} (x) \ e ^ {- {\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$

lub

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H_ {m} (x) H_ {n} (x) \ e ^ {-x ^ {2}} \ dx = {\ sqrt { \pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$

gdzie jest delta Kroneckera . ${\ Displaystyle \ delta _ {nm}}$

Wielomiany probabilistyczne są zatem ortogonalne względem standardowej funkcji gęstości prawdopodobieństwa normalnego.

Kompletność

Wielomiany Hermite'a (probabilist RNO fizyka) tworzą ortogonalną podstawę z przestrzeni Hilberta funkcji spełniających

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ bigl |} f (x) {\ duży |} ^ {2} \ w (x) \ dx < \ infty,}$

w którym iloczyn skalarny jest przez całkę

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) {\ overline {g (x)}} \ w (x) \ dx}$

w tym funkcja wagi Gaussa w ( x ) zdefiniowana w poprzedniej sekcji

Bazą ortogonalną dla L ² ( R , w ( x ) dx ) jest kompletny układ ortogonalny . Dla układu ortogonalnego kompletność jest równoważna z faktem, że funkcja 0 jest jedyną funkcją f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ) ortogonalną do wszystkich funkcji w układzie.

Ponieważ rozpiętość liniowa wielomianów Hermite'a jest przestrzenią wszystkich wielomianów, należy wykazać (w przypadku fizyków), że jeśli f spełnia

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) x ^ {n} e ^ {-x ^ {2}} \ dx = 0}$

dla każdego n ≥ 0 , to f = 0 .

Jednym z możliwych sposobów, aby to zrobić, jest docenienie, że cała funkcja

${\ Displaystyle F (z) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {zx-x ^ {2}} \ dx = \ suma _ {n = 0} ^ { \infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$

znika identycznie. Fakt, wtedy K ( to ) = 0 dla każdego rzeczywistych t pomocą że transformatę Fouriera z F ( x ) e ^{- x 2} jest 0, a zatem F oznacza 0 wszędzie. Warianty powyższego dowodu kompletności dotyczą innych wag z zanikiem wykładniczym.

W przypadku Hermite'a możliwe jest również udowodnienie wyraźnej tożsamości, która implikuje kompletność (patrz sekcja dotycząca relacji Kompletność poniżej).

Równoważne sformułowanie faktu, że wielomiany Hermite'a są bazą ortogonalną dla L ² ( R , w ( x ) dx ) polega na wprowadzeniu funkcji Hermite'a (patrz niżej) i stwierdzeniu, że funkcje Hermite'a są bazą ortonormalną dla L ² ( R ) .

Równanie różniczkowe Hermite'a

Wielomiany Hermite'a probabilisty są rozwiązaniami równania różniczkowego

${\ Displaystyle \ lewo (e ^ {- {\ Frac {1} {2}} x ^ {2}} u' \ prawej) '+ \ lambda e ^ {- {\ Frac {1} {2}} x ^{2}}u=0,}$

gdzie λ jest stałą. Nakładając warunek brzegowy, że u powinno być ograniczone wielomianem w nieskończoności, równanie ma rozwiązania tylko wtedy, gdy λ jest nieujemną liczbą całkowitą, a rozwiązanie jest jednoznacznie podane przez , gdzie oznacza stałą. ${\ Displaystyle u (x) = C_ {1} He_ {\ lambda} (x)}$${\displaystyle C_{1}}$

Przepisanie równania różniczkowego jako problemu z wartością własną

${\ Displaystyle L [u] = u''-xu' = - \ lambda u,}$

wielomiany Hermite'a mogą być rozumiane jako funkcje własne operatora różniczkowego . Ten problem z wartością własną nazywa się równaniem Hermite'a , chociaż termin ten jest również używany dla ściśle powiązanego równania ${\ Displaystyle He_ {\ lambda} (x)}$${\displaystyle L[u]}$

${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$

którego rozwiązanie jest jednoznacznie podane w kategoriach wielomianów Hermite'a fizyka w postaci , gdzie oznacza stałą, po nałożeniu warunku brzegowego, że u powinno być ograniczone wielomianem w nieskończoności. ${\ Displaystyle u (x) = C_ {1} H_ {\ lambda} (x)}$${\displaystyle C_{1}}$

Ogólne rozwiązania powyższych równań różniczkowych drugiego rzędu są w rzeczywistości liniowymi kombinacjami zarówno wielomianów Hermite'a, jak i konfluentnych funkcji hipergeometrycznych pierwszego rodzaju. Na przykład dla równania Hermite'a fizyka

${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$

ogólne rozwiązanie przyjmuje postać

${\ Displaystyle u (x) = C_ {1} H_ {\ lambda} (x) + C_ {2} h_ {\ lambda} (x)}$

gdzie i są stałymi, są wielomianami Hermite'a fizyka (pierwszego rodzaju) i są funkcjami Hermite'a fizyka (drugiego rodzaju). Te ostatnie funkcje są zwięźle przedstawione jako gdzie są konfluentne funkcje hipergeometryczne pierwszego rodzaju . Konwencjonalne wielomiany Hermite'a mogą być również wyrażone w postaci konfluentnych funkcji hipergeometrycznych, patrz poniżej. ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\ Displaystyle H_ {\ lambda} (x)}$${\ Displaystyle h_ {\ lambda} (x)}$${\ Displaystyle h_ {\ lambda } (x) = {} _ {1} F_ {1} (- {\ tfrac {\ lambda} {2}}; {\ tfrac {1} {2}}; x ^ { 2})}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$

Przy bardziej ogólnych warunkach brzegowych , wielomiany Hermite'a mogą być uogólniane w celu uzyskania bardziej ogólnych funkcji analitycznych dla λ o wartościach zespolonych . Możliwy jest również wyraźny wzór wielomianów Hermite'a w kategoriach całek konturowych ( Courant i Hilbert 1989 ).

Relacja nawrotu

Sekwencja wielomianów probabilisty Hermite'a również spełnia relację rekurencyjną

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n + 1} (x) = x {\ mathit {on}} _ {n} (x) - {\ mathit {on}} _ {n}” (x ).}$

Poszczególne współczynniki są powiązane następującym wzorem rekurencji:

${\ Displaystyle a_ {n + 1, k} = {\ zacząć {przypadki}-na_ {n-1, k} i k = 0, \ \ a_ {n, k-1} -na_ {n-1, k} &k>0,\end{przypadki}}}$

i _0,0 = 1 , _1,0 = 0 , _1,1 = 1 .

Dla wielomianów fizyka, zakładając

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} x ^ {k}}$

mamy

${\ Displaystyle H_ {n + 1} (x) = 2xH_ {n} (x) -H_ {n} '(x).}$

Poszczególne współczynniki są powiązane następującym wzorem rekurencji:

${\ Displaystyle a_ {n + 1, k} = {\ zacząć {przypadki} -a_ {n, k + 1} i k = 0, \ \ 2a_ {n, k-1} - (k + 1) a_ {n ,k+1}&k>0,\end{przypadki}}}$

i _0,0 = 1 , _1,0 = 0 , _1,1 = 2 .

Wielomiany Hermite'a tworzą ciąg Appella , tj. są ciągiem wielomianowym spełniającym identyczność

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathit {on}} _ {n} '(x) i = n {\ mathit {on}} _ {n-1} (x), \ \ H_ {n} '(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{wyrównany}}}$

Równoważnie przez Taylora-rozszerzenie ,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathit {he}} _ {n} (x + y) i = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} x ^{nk}{\mathit {He}}_{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{nk}\left(x{\sqrt {2}}\right){\mathit {He}}_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x) (2y)^{(nk)}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}} H_{nk}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$

Te tożsamości umbralne są oczywiste i zawarte w reprezentacji operatora różnicowego opisanej poniżej,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathit {he}} _ {n} (x) i = e ^ {- {\ Frac {D ^ {2}} {2}}} x ^ {n}, \\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{wyrównany}}}$

W konsekwencji dla m-tych pochodnych zachodzą następujące zależności:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathit {on}} _ {n} ^ {(m)} (x) i = {\ Frac {n!} {(nm)!}} {\ mathit {on }}_{nm}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}{\mathit {He}}_{nm}(x),\\H_{n}^{(m)} (x)&=2^{m}{\frac {n!}{(nm)!}}H_{nm}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}} H_{nm}(x).\end{wyrównany}}}$

Wynika z tego, że wielomiany Hermite'a również spełniają relację powtarzalności

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathit {on}} _ {n + 1} (x) i = x {\ mathit {on}} _ {n} (x) -n {\ mathit {on} }_{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{wyrównany}}}$

Te ostatnie relacje, wraz z początkowymi wielomianami H ₀ ( x ) i H ₁ ( x ) , można wykorzystać w praktyce do szybkiego obliczenia wielomianów.

Nierówności Turana są

${\ Displaystyle {\ mathit {H}} _ {n} (x) ^ {2} - {\ mathit {H}} _ {n-1} (x) {\ mathit {H}} _ {n + 1 }(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{ni}}{i!}}{\mathit {H}}_{i }(x)^{2}>0.}$

Ponadto istnieje następujące twierdzenie o mnożeniu :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} H_ {n} (\ gamma x) i = \ suma _ {i = 0} ^ {\ lewo \ l piętro {\ tfrac {n} {2}} \ po prawej \ r piętro} \ gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i }(x),\\{\mathit {He}}_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lpodłoga {\tfrac {n}{2}}\ prawa\rpodłoga }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}} 2^{-i}{\mathit {He}}_{n-2i}(x).\end{wyrównany}}}$

Wyrażenie jawne

Wielomiany Hermite'a fizyka można zapisać wyraźnie jako

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = {\ zacząć {przypadki} \ Displaystyle n! \ suma _ {l = 0} ^ {\ Frac {n} {2}} {\ Frac {(-1) ^ { {\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\lewo({\tfrac {n}{2}}-l\prawo)!}}(2x)^{2l}&{\ tekst {nawet}} n \\\ Displaystyle n! \ suma _ {l = 0} ^ {\ Frac {n-1} {2}} {\ Frac {(-1) ^ {{\ Frac {n -1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1} &{\text{dla nieparzystych}}rzecz.\end{przypadki}}}$

Te dwa równania można połączyć w jedno za pomocą funkcji podłogi :

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = n! \ suma _ {m = 0} ^ {\ lewo \ l piętro {\ tfrac {n} {2}} \ prawo \ r piętro {\ Frac {(-1) ^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$

W probabilist w Hermite'a wielomiany który posiada podobne związki, które mogą być otrzymywane z tych zastępując POWER 2 X z odpowiednią mocą √ 2  x i mnożąc całą sumę przez 2 ^{- n/2}:

${\ Displaystyle He_ {n} (x) = n! \ suma _ {m = 0} ^ {\ lewo \ l piętro {\ tfrac {n} {2}} \ prawo \ r piętro {\ Frac {(-1) ^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$

Odwrotne wyrażenie jawne

Odwrotność powyższych jednoznacznych określeń, czyli tych, dla jednomianów pod względem probabilist za wielomiany hermite'a On są

${\ Displaystyle x ^ {n} = n! \ suma _ {m = 0} ^ {\ lewo \ l piętro {\ tfrac {n} {2}} \ prawo \ r piętro {\ Frac {1} {2 ^ { m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).}$

Odpowiednie wyrażenia dla wielomianów Hermite'a H fizyka następują bezpośrednio po prawidłowym przeskalowaniu tego:

${\ Displaystyle x ^ {n} = {\ Frac {n!} {2 ^ {n}}} \ suma _ {m = 0} ^ {\ lewo \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ po prawej \rpodłoga }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$

Funkcja generowania

Wielomiany Hermite'a są podane przez funkcję generującą wykładniczo

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} e ^ {xt-{\ Frac {1} {2}} t ^ {2}} i = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ mathit {on }}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{ \infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{wyrównany}}}$

Ta równość obowiązuje dla wszystkich wartości zespolonych x i t i można ją uzyskać pisząc rozwinięcie Taylora w x całej funkcji z → e ^{− z 2} (w przypadku fizyka). Można również wyprowadzić (fizyka) funkcję generującą, używając wzoru całkowego Cauchy'ego, aby zapisać wielomiany Hermite'a jako

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = (-1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} \ Frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e ^{-z^{2}}}{(zx)^{n+1}}}\,dz.}$

Używając tego w sumie

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} (x) {\ Frac {t ^ {n}} {n!}}}$

można obliczyć pozostałą całkę za pomocą rachunku reszt i uzyskać pożądaną funkcję generującą.

Oczekiwane wartości

Jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym 1 i wartością oczekiwaną μ , to

${\ Displaystyle \ operatorname {\ mathbb {e}} \ lewo [{\ mathit {he}} _ {n} (X) \ prawej] = \ mu ^ {n}.}$

Momenty normalnej normalnej (o wartości oczekiwanej zero) można odczytać bezpośrednio z zależności dla wskaźników parzystych:

${\ Displaystyle \ operatorname {\ mathbb {E}} \ lewo [X ^ {2n} \ prawej] = (-1) ^ {n} {\ mathit {he}} _ {2n} (0) = (2n- 1)!!,}$

gdzie (2 n − 1)!! to podwójna silnia . Zauważ, że powyższe wyrażenie jest szczególnym przypadkiem reprezentacji wielomianów Hermite'a probabilisty jako momentów:

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} (x) = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (x + iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$

Asymptotyczna ekspansja

Asymptotycznie, jako n → ∞ , rozwinięcie

${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim {\ Frac {2 ^ {n}} {\ sqrt {\ pi} }}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right )}$

trzyma się prawdy. W niektórych przypadkach dotyczących szerszego zakresu oceny konieczne jest uwzględnienie czynnika zmiany amplitudy:

${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim {\ Frac {2 ^ {n}} {\ sqrt {\ pi} }}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right )\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n) }{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right )\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$

które, korzystając z przybliżenia Stirlinga , można dalej uprościć, w granicach, do

${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim \ lewo ({\ Frac {2n} {e}} \ po prawej) ^ {\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1 -{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$

To rozszerzenie jest potrzebne, aby rozwiązać falowa o oscylatora harmonicznego kwantowej taka, że zgadza się z klasycznego zbliżenia w granicach zasada odpowiedniości .

Lepsze przybliżenie, które uwzględnia zmienność częstotliwości, jest podane przez

${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim \ lewo ({\ Frac {2n} {e}} \ po prawej) ^ {\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\ frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}} }.}$

Mniejsze przybliżenie, które uwzględnia nierównomierne rozmieszczenie zer przy krawędziach, wykorzystuje podstawienie

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {2n + 1}} \ cos (\ varphi ), \ quad 0 < \ varepsilon \ leq \ varphi \ leq \ pi - \ varepsilon,}$

z którym ma jednostajne przybliżenie

${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = 2 ^ {{\ Frac {n} {2}} + {\ Frac { 1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{ 2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4} }\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$

Podobne przybliżenia obowiązują dla regionów monotonicznych i przejściowych. W szczególności, jeśli

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {2n + 1}} \ cosh (\ varphi ), \ quad 0 < \ varepsilon \ leq \ varphi \ leq \ omega < \ infty ,}$

następnie

${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = 2 ^ {{\ Frac {n} {2}} - {\ Frac { 3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{ 2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right )}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$

podczas gdy dla

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {2n + 1}} + t}$

z t zespolonym i ograniczonym, przybliżeniem jest

${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = \ pi ^ {\ Frac {1} {4}} 2 ^ {{\ frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\nazwa operatora {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{ 3}}}\prawo)\prawo),}$

gdzie Ai jest funkcją Airy'ego pierwszego rodzaju.

Wartości specjalne

Wielomiany Hermite'a fizyka oceniane przy zerowym argumencie H _n (0) nazywane są liczbami Hermite'a .

${\ Displaystyle H_ {n} (0) = {\ zacząć {przypadki} 0 i {\ tekst {dla nieparzystych}} n \ \ (-2) ^ {\ Frac {n} {2}} (n-1) !!&{\text{nawet }}n,\end{przypadki}}}$

które spełniają relację rekurencji H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0) .

W przypadku wielomianów probabilisty przekłada się to na:

${\ Displaystyle He_ {n} (0) = {\ zacząć {przypadki} 0 i {\ tekst {dla nieparzystych}} n \ \ (-1) ^ {\ Frac {n} {2}} (n-1) !!&{\text{nawet }}n.\end{przypadki}}}$

Relacje z innymi funkcjami

Wielomiany Laguerre'a

Wielomiany Hermite'a mogą być wyrażone jako szczególny przypadek wielomianów Laguerre'a :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} H_ {2n} (x) i = (-4) ^ {n} n! L_ {n} ^ {\ lewo (- {\ Frac {1} {2}} \ prawej) )}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{nk}{\binom {n-{\frac {1} {2}}}{nk}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_ {n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^ {n}(-1)^{nk}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{nk}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\ koniec{wyrównany}}}$

Związek z konfluentnymi funkcjami hipergeometrycznymi

Wielomiany Hermite'a fizyka można wyrazić jako szczególny przypadek parabolicznych funkcji cylindrycznych :

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = 2 ^ {n} U \ lewo (- {\ tfrac {1} {2}} n {\ tfrac {1} {2}}, x ^ {2} \ Prawidłowy)}$

w prawej półpłaszczyźnie , gdzie U ( a , b , z ) jest konfluentną funkcją hipergeometryczną Tricomiego . Podobnie,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} H_ {2n} (x) i = (-1) ^ {n} {\ Frac {(2n)!} {n!}} \ _ {1} F_ {1} {\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n }{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x ^{2}{\big )},\end{wyrównany}}}$

gdzie ₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) jest konfluentną funkcją hipergeometryczną Kummera .

Reprezentacja operatora różnicowego

Wielomiany Hermite'a probabilisty spełniają tożsamość

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} (x) = e ^ {- {\ Frac {D ^ {2}} {2}}} x ^ {n}}$

gdzie D reprezentuje zróżnicowanie względem x , a wykładniczy jest interpretowany przez rozwinięcie go jako szereg potęgowy . Nie ma delikatnych pytań o zbieżność tego szeregu, gdy operuje on na wielomianach, ponieważ prawie wiele terminów znika.

Ponieważ współczynniki szeregu potęgowego wykładnika są dobrze znane, a pochodne wyższego rzędu jednomianu x ⁿ można zapisać wprost, ta reprezentacja operatora różniczkowego daje podstawę do konkretnego wzoru na współczynniki H _n, które można wykorzystać aby szybko obliczyć te wielomiany.

Ponieważ formalnym wyrażeniem transformaty Weierstrassa W jest e ^{D 2} , widzimy, że transformata Weierstrassa ( √ 2 ) ⁿ He _n (x/√ 2) jest x ⁿ . Zasadniczo transformata Weierstrassa przekształca zatem szereg wielomianów Hermite'a w odpowiedni szereg Maclaurina .

Istnienie pewnego formalnego szeregu potęgowego g ( D ) o niezerowym stałym współczynniku, takiego, że He _n ( x ) = g ( D ) x ⁿ , jest kolejnym odpowiednikiem stwierdzenia, że ​​te wielomiany tworzą ciąg Appella . Ponieważ są one sekwencja Appell, są tym bardziej sekwencja Sheffer .

Reprezentacja konturowo-całka

Z powyższej reprezentacji funkcji generującej widzimy, że wielomiany Hermite'a mają reprezentację w kategoriach całki konturowej , jak

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathit {on}} _ {n} (x) i = {\ Frac {n!} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ Frac {e ^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n !}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{wyrównany} }}$

z konturem otaczającym początek.

Uogólnienia

Zdefiniowane powyżej wielomiany probabilisty Hermite'a są ortogonalne względem standardowego normalnego rozkładu prawdopodobieństwa, którego funkcja gęstości jest

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}}}$

który ma wartość oczekiwaną 0 i wariancję 1.

Skalowanie, można analogicznie mówić o uogólnionych wielomianach Hermite'a

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} ^ {[\ alfa]} (x)}$

wariancji α , gdzie α jest dowolną liczbą dodatnią. Są one wtedy ortogonalne względem normalnego rozkładu prawdopodobieństwa, którego funkcja gęstości wynosi

${\ Displaystyle (2 \ pi \ alfa ) ^ {- {\ Frac {1} {2}}} e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2 \ alfa}}}.}$

Są podane przez

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} ^ {[\ alfa]} (x) = \ alfa ^ {\ Frac {n} {2}} {\ mathit {on}} _ {n} \ left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_ {n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left( x^{n}\prawo).}$

Teraz jeśli

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} ^ {[\ alfa]} (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} h_ {n, k} ^ {[\ alfa]} x^{k},}$

to ciąg wielomianowy, którego n- tym wyrazem jest

${\ Displaystyle \ lewo ({\ mathit {on}} _ {n} ^ {[\ alfa]} \ circ {\ mathit {on}} ^ {[\ beta]} \ prawej) (x) \ równoważnik \ suma _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha]}\,{\mathit {He}}_{k}^{[\beta]}(x)}$

nazywana jest kompozycją umbralną dwóch sekwencji wielomianowych. Można wykazać, że spełnia tożsamość

${\ Displaystyle \ lewo ({\ mathit {on}} _ {n} ^ {[\ alfa]} \ circ {\ mathit {on}} ^ {[\ beta]} \ prawej) (x) = {\ mathit {On}}_{n}^{[\alfa +\beta ]}(x)}$

oraz

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} ^ {[\ alfa + \ beta]} (x + y) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k }}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{nk}^{[\beta ]}(y).}$

Ostatnia identyczność jest wyrażona przez stwierdzenie, że ta sparametryzowana rodzina sekwencji wielomianowych jest znana jako sekwencja krzyżowa. (Patrz powyższy rozdział o sekwencjach Appella i reprezentacji różniczkowo-operatorowej , która prowadzi do gotowego wyprowadzenia tego. Ta identyczność typu dwumianowego , dla α = β =1/2, został już napotkany w powyższej sekcji dotyczącej relacji #Recursion .)

„Ujemna wariancja”

Ponieważ sekwencje wielomianowe tworzą grupę w wyniku działania składu umbralnego , można je oznaczać przez

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} ^ {[- \ alfa]} (x)}$

sekwencja, która jest odwrotna do tej podobnie oznaczonej, ale bez znaku minus, a zatem mówimy o wielomianach Hermite'a o ujemnej wariancji. Dla α > 0 współczynniki są tylko wartościami bezwzględnymi odpowiednich współczynników . ${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} ^ {[- \ alfa]} (x)}$${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} ^ {[\ alfa]} (x)}$

Powstają one jako momenty normalnych rozkładów prawdopodobieństwa: n- ty moment rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej μ i wariancji σ ² wynosi

${\ Displaystyle E [X ^ {n}] = {\ mathit {he}} _ {n} ^ {[- \ sigma ^ {2}]} (\ mu),}$

gdzie X jest zmienną losową o określonym rozkładzie normalnym. Specjalny przypadek tożsamości krzyżowej mówi wtedy, że

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ Binom {n} {k}} {\ mathit {he}} _ {k} ^ {[\ alfa]} (x) {\ mathit { He}}_{nk}^{[-\alpha ]}(y)={\mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n }.}$

Aplikacje

Funkcje pustelnika

Funkcje Hermite'a (często nazywane funkcjami Hermite'a-Gauss'a) można zdefiniować z wielomianów fizyka:

${\ Displaystyle \ psi _ {n} (x) = \ lewo (2 ^ {n} n! {\ sqrt {\ pi}} \ prawej) ^ {- {\ Frac {1} {2}}} e ^ {-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi } }\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n} }}e^{-x^{2}}.}$

Zatem,

${\ Displaystyle {\ sqrt {2 (n + 1)}} ~ ~ \ psi _ {n + 1} (x) = \ lewo (x-{d \ nad dx} \ prawej) \ psi _ {n} ( x).}$

Ponieważ te funkcje zawierają pierwiastek kwadratowy z funkcji wagi i zostały odpowiednio przeskalowane, są one ortonormalne :

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi _ {n} (x) \ psi _ {m} (x) \ dx = \ delta _ {nm}}$

i tworzą ortonormalną bazę L ² ( R ) . Ten fakt jest równoważny odpowiedniemu stwierdzeniu dla wielomianów Hermite'a (patrz wyżej).

Funkcje Hermite'a są ściśle związane z funkcją Whittakera ( Whittaker & Watson 1996 ) D _n ( z ) :

${\ Displaystyle D_ {n} (z) = \ lewo (n! {\ sqrt {\ pi}} \ prawej) ^ {\ Frac {1} {2}} \ psi _ {n} \ lewo ({\ Frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{ dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}}$

a tym samym do innych parabolicznych funkcji cylindra .

Funkcje Hermite'a spełniają równanie różniczkowe

${\ Displaystyle \ psi _ {n} ''(x) + \ lewo (2n + 1-x ^ {2} \ prawej) \ psi _ {n} (x) = 0.}$

To równanie jest równoważne równaniu Schrödingera dla oscylatora harmonicznego w mechanice kwantowej, więc te funkcje są funkcjami własnymi .

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ psi _ {0} (x) i = \ pi ^ {- {\ Frac {1} {4}}} \ e ^ {- {\ Frac {1} {2 }}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x \,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}} x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{ -1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}( x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x ^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{ \sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right) \,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{wyrównany}}}$

Rekurencja rekurencja

Zgodnie z relacjami rekurencji wielomianów Hermite'a, funkcje Hermite'a są posłuszne

${\ Displaystyle \ psi _ {n} '(x) = {\ sqrt {\ Frac {n} {2}}} \ \ psi _ {n-1} (x) - {\ sqrt {\ Frac {n +1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$

oraz

${\ Displaystyle x \ psi _ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {n} {2}}} \ \ psi _ {n-1} (x) + {\ sqrt {\ frac {n +1}{2}}}\psi _{n+1}(x).}$

Rozszerzenie pierwszej relacji na dowolne m- te pochodne dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej m prowadzi do

${\ Displaystyle \ psi _ {n} ^ {(m)} (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m} {k}} (-1) ^ {k} 2 ^{\frac {mk}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x){\mathit { On}}_{k}(x).}$

Wzór ten może być użyty w połączeniu z relacjami rekurencyjnymi dla He _n i ψ _n do efektywnego obliczenia dowolnej pochodnej funkcji Hermite'a.

Nierówność Cramera

Dla rzeczywistego x funkcje Hermite'a spełniają następujące ograniczenie ze względu na Haralda Cramera i Jacka Indritza:

${\ Displaystyle {\ duży |} \ psi _ {n} (x) {\ duży |} \ leq \ pi ^ {- {\ Frac {1} {4}}}.}$

Hermite funkcjonuje jako funkcje własne transformaty Fouriera

Funkcje Hermite'a ψ _n ( x ) są zbiorem funkcji własnych ciągłej transformacji Fouriera F . Aby to zobaczyć, weź fizykalną wersję funkcji generującej i pomnóż przez e ^{−1/2x 2} . To daje

${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {1} {2}} x ^ {2} + 2 xt-t ^ {2}} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- { \frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Transformata Fouriera lewej strony jest dana przez

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathcal {F}} \ lewo \ {e ^ {- {\ Frac {1} {2}} x ^ {2} + 2 xt ^ {2}} \ prawej \}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac { 1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t ^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){ \frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{wyrównany}}}$

Transformata Fouriera prawej strony jest dana przez

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ lewo \ {\ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ Frac {1} {2}} x ^ {2}} H_ {n }(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^ {-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Równanie jak potęgi t w przekształconych wersjach lewej i prawej strony w końcu daje

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ lewo \ {e ^ {- {\ Frac {1} {2}} x ^ {2}} H_ {n} (x) \ prawej \} = (-i) ^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).}$

Funkcje Hermite'a ψ _n ( x ) są więc ortonormalną bazą L ² ( R ) , która diagonalizuje operator transformaty Fouriera .

Rozkłady Wignera funkcji Hermite'a

Dystrybuanta Wigner o n p rzędu funkcji Hermite'a wiąże się z n p rzędu Laguerre'a wielomianu . Wielomiany Laguerre'a są

${\ Displaystyle L_ {n} (x): = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ Frac {(-1) ^ {k}} {k! }}x^{k},}$

prowadzące do funkcji Laguerre'a oscylatora

${\ Displaystyle l_ {n} (x): = e ^ {- {\ Frac {x} {2}}} L_ {n} (x).}$

Dla wszystkich naturalnych liczb całkowitych n łatwo zauważyć, że

${\ Displaystyle W_ {\ psi _ {n}} (t, f) = (-1) ^ {n} l_ {n} {\ duży (} 4 \ pi (t ^ {2} + f ^ {2}) ){\duża )},}$

gdzie rozkład Wignera funkcji x ∈ L ² ( R , C ) jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle W_ {x} (t, f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ lewo (t + {\ Frac {\ tau} {2}} \ prawej) \ x \ lewo (t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

Jest to fundamentalny wynik dla kwantowego oscylatora harmonicznego , który Hip Groenewold odkrył w 1946 r. w swojej pracy doktorskiej. Jest to standardowy paradygmat mechaniki kwantowej w przestrzeni fazowej .

Istnieją dalsze relacje między dwiema rodzinami wielomianów.

Kombinatoryczna interpretacja współczynników

W wielomianu Hermite'a He _n ( x ) wariancji 1 bezwzględna wartość współczynnika x ^k jest liczbą (nieuporządkowanych) podziałów n -elementu zbioru na k singletonów in − k/2(nieuporządkowane) pary. Równoważnie jest to liczba inwolucji n -elementowego zbioru z dokładnie k ustalonymi punktami, czyli innymi słowy liczba dopasowań w pełnym grafie na n wierzchołkach, które pozostawiają k wierzchołków odkrytych (w rzeczywistości wielomiany Hermite'a są dopasowującymi wielomiany tych grafów). Suma wartości bezwzględnych współczynników daje sumaryczną liczbę podziałów na singletony i pary tzw. numery telefoniczne

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... (sekwencja A000085 w OEIS ).

Ta kombinatoryczna interpretacja może być powiązana z pełnymi wykładniczymi wielomianami Bella jako

${\ Displaystyle {\ mathit {on}} _ {n} (x) = B_ {n} (x, -1,0, \ ldots, 0)}$

gdzie x _i = 0 dla wszystkich i > 2 .

Liczby te mogą być również wyrażone jako specjalna wartość wielomianów Hermite'a:

${\ Displaystyle T (n) = {\ Frac {{\ mathit {on}} _ {n} (i)} {i ^ {n}}}.}$

Relacja kompletności

Wzór Christoffela-Darboux dla wielomianów Hermite'a brzmi

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ Frac {H_ {k} (x) H_ {k} (y)} {k! 2 ^ {k}}} = {\ Frac {1 }{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}( y)}{xy}}.}$

Co więcej, następująca identyczność zupełności dla powyższych funkcji Hermite'a zachodzi w sensie rozkładów :

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ psi _ {n} (x) \ psi _ {n} (y) = \ delta (xy)}$

gdzie δ jest funkcją delta Diraca , ψ _n funkcjami Hermite'a, a δ ( x − y ) reprezentuje miarę Lebesgue'a na linii y = x w R ² , znormalizowaną tak, że jej rzut na oś poziomą jest zwykłą miarą Lebesgue'a.

Ta tożsamość dystrybucyjna podąża za Wienerem (1958) , przyjmując u → 1 we wzorze Mehlera , poprawną, gdy -1 < u < 1 :

${\ Displaystyle E (x, y; u): = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} u ^ {n} \ \ psi _ {n} (x) \ \ psi _ {n} (y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}} \,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(xy)^{2}}{ 4}}\prawo),}$

który jest często określany równoważnie jako dające się oddzielić jądro,

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {H_ {n} (x) H_ {n} (y)} {n!}} \ lewo ({\ Frac {u} 2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\ frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(xy)^{2}}.}$

Funkcja ( x , y ) → E ( x , y ; u ) jest dwuwymiarową gęstością prawdopodobieństwa Gaussa na R ² , która jest , gdy u jest bliskie 1 , bardzo skoncentrowana wokół prostej y = x , i bardzo rozłożona na ta linia. Wynika, że

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} u ^ {n} \ langle f \ psi _ {n} \ rangle \ langle \ psi _ {n} g \ rangle = \ iint E ( x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle }$

gdy f i g są ciągłe i zwarte obsługiwane.

Daje to, że f można wyrazić w funkcjach Hermite'a jako sumę szeregu wektorów w L ² ( R ) , a mianowicie:

${\ Displaystyle f = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ langle f \ psi _ {n} \ rangle \ psi _ {n}.}$

W celu potwierdzenia powyższego równość E ( x , y ; u ) The transformaty Fouriera z funkcji Gaussa jest wykorzystywany wielokrotnie:

${\ Displaystyle \ rho {\ sqrt {\ pi}} e ^ {- {\ Frac {\ rho ^ {2} x ^ {2}} {4}}} = \ int e ^ {isx-{\ Frac { s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{dla }}\rho >0.}$

Wielomian Hermite'a jest wtedy reprezentowany jako

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = (-1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} \ Frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ lewo ({ \frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1) ^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s ^{2}}{4}}}\,s.}$

Z tej reprezentacji dla H _n ( x ) i H _n ( y ) jest oczywiste , że

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} E (x, y; u) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {u ^ {n}} {2 ^ {n} n! {\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}} }\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left (\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\ frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^ {2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^ {isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{wyrównany}}}$

a to daje pożądaną rozdzielczość wyniku tożsamości, używając ponownie transformaty Fouriera jąder Gaussa pod podstawieniem

${\ Displaystyle s = {\ Frac {\ Sigma + \ tau} {\ sqrt {2}}}, \ quad t = {\ Frac {\ sigma - \ tau} {\ sqrt {2}}}.}$

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Multimedia związane z wielomianami Hermite'a w Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Wielomian Hermite" . MatematykaŚwiat .
• Biblioteka naukowa GNU — zawiera wielomiany Hermite'a, funkcje, ich pochodne i zera w wersji C (zobacz także Biblioteka naukowa GNU )