Wielomiany ortogonalne - Orthogonal polynomials

W matematyce An prostopadłe wielomian sekwencja jest rodzina wielomianów taki sposób, że każde dwa różne wielomiany w sekwencji są prostopadłe do siebie pod pewnym wewnętrznym produktu .

Najszerzej stosowane wielomianów ortogonalnych są klasyczne wielomianów ortogonalnych , składający się wielomianów Hermite'a , w Laguerre'a wielomianów i wielomianów Jacobiego . W wielomiany Gegenbauer tworzą najważniejszą klasę wielomianów Jacobiego; obejmują one wielomiany Czebyszewa i wielomiany Legendre'a jako przypadki specjalne.

Dziedzina wielomianów ortogonalnych rozwinęła się pod koniec XIX wieku na podstawie badań ułamków kontynuowanych przez PL Czebyszewa i była kontynuowana przez AA Markov i TJ Stieltjes . Pojawiają się one w różnorodnych dziedzinach: analizy numerycznej ( rules kwadratury ), teorii prawdopodobieństwa , teorii reprezentacji (od grup Liego , grup kwantowych i pokrewnych przedmiotów), enumeratywnej kombinatoryki , algebraicznych kombinatoryki , fizyki matematycznej (teorii losowych macierzy , do zabudowy systemy itp.) i teorię liczb . Niektórzy z matematyków, którzy pracowali nad wielomianami ortogonalnymi, to Gábor Szegő , Sergei Bernstein , Naum Akhiezer , Arthur Erdélyi , Yakov Geronimus , Wolfgang Hahn , Theodore Seio Chihara , Mourad Ismail , Waleed Al-Salam i Richard Askey .

Definicja przypadku z jedną zmienną dla rzeczywistej miary

Mając dowolną nie malejącą funkcję α na liczbach rzeczywistych, możemy zdefiniować całkę Lebesgue'a-Stieltjesa

${\ Displaystyle \ int f (x) \, d \ alfa (x)}$

funkcji f . Jeśli ta całka jest skończona dla wszystkich wielomianów f , możemy zdefiniować iloczyn skalarny na parach wielomianów f i g przez

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int f (x) g (x) \, d \ alfa (x).}$

Operacja ta jest dodatnim pół-skończonym iloczynem wewnętrznym na przestrzeni wektorowej wszystkich wielomianów i jest dodatnio określona, ​​jeśli funkcja α ma nieskończoną liczbę punktów wzrostu. Wywołuje pojęcie ortogonalności w zwykły sposób, a mianowicie, że dwa wielomiany są ortogonalne, jeśli ich iloczyn wewnętrzny wynosi zero.

Następnie sekwencja ( P _n ) ^∞
_{n = 0} wielomianów ortogonalnych jest określona przez relacje

${\ displaystyle \ deg P_ {n} = n ~, \ quad \ langle P_ {m}, \, P_ {n} \ rangle = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad m \ neq n ~.}$

Innymi słowy, sekwencję uzyskuje się z ciągu jednomianów 1, x , x ² ,… metodą Grama – Schmidta w odniesieniu do tego iloczynu wewnętrznego.

Zwykle sekwencja musi być ortonormalna , a mianowicie:

${\ displaystyle \ langle P_ {n}, P_ {n} \ rangle = 1,}$

jednakże czasami stosuje się inne normalizacje.

Absolutnie ciągły przypadek

Czasami mamy

${\ Displaystyle d \ alfa (x) = W (x) \, dx}$

gdzie

${\ Displaystyle W: [x_ {1}, x_ {2}] \ do \ mathbb {R}}$

jest funkcją nieujemną z obsługą pewnego przedziału [ x ₁ , x ₂ ] w linii rzeczywistej (gdzie x ₁  = −∞ i x ₂  = ∞ są dozwolone). Takie W nazywa się funkcją wagi . Następnie iloczyn skalarny jest podawany przez

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) g (x) W (x) \, dx.}$

Jednak istnieje wiele przykładów wielomianów ortogonalnych, w których miara dα ( x ) ma punkty z niezerową miarą, gdzie funkcja α jest nieciągła, więc nie może być określona przez funkcję wagową W, jak powyżej.

Przykłady wielomianów ortogonalnych

Najczęściej używane wielomiany ortogonalne są ortogonalne dla miary z podporą w rzeczywistym interwale. To zawiera:

• Klasyczne wielomiany ortogonalne ( wielomianami Jacobiego , wielomiany Laguerre'a , wielomiany Hermite'a i ich szczególne przypadki wielomiany Gegenbauer , wielomiany Czebyszewa i Wielomiany Legendre'a ).
• W wielomiany Wilson , który uogólnić wielomiany Jacobi. Obejmują one wiele wielomianów ortogonalnych jako przypadków specjalnych, takich jak wielomiany Meixnera-Pollaczka , ciągłe wielomiany Hahna , ciągłe wielomiany dualne Hahna i klasyczne wielomiany, opisane za pomocą schematu Askeya
• W wielomiany Askey-Wilson wprowadzić dodatkowy parametr q do wielomianów Wilson.

Dyskretne wielomiany ortogonalne są ortogonalne w odniesieniu do pewnej dyskretnej miary. Czasami miara ma skończone wsparcie, w którym to przypadku rodzina wielomianów ortogonalnych jest skończona, a nie nieskończona sekwencja. W wielomiany Racah przykłady dyskretnych wielomianów ortogonalnych i obejmują w szczególnych przypadkach wielomianów Hahn i podwójnym Hahn wielomiany , które z kolei obejmują w szczególnych przypadkach wielomianów Meixner , wielomiany Krawtchouk i wielomiany Charlier .

Meixner sklasyfikował wszystkie ortogonalne sekwencje Sheffera : są tylko Hermite, Laguerre, Charlier, Meixner i Meixner-Pollaczek. W pewnym sensie Krawtchouk również powinien znajdować się na tej liście, ale są to sekwencja skończona. Te sześć rodzin odpowiada NEF-QVF i są wielomianami martyngałowymi dla pewnych procesów Lévy'ego .

Przesiane wielomiany ortogonalne , takie jak przesiane wielomiany ultrasferyczne , przesiane wielomiany Jacobiego i przesiane wielomiany Pollaczka , mają zmodyfikowane relacje nawrotów.

Można również rozważyć wielomiany ortogonalne dla jakiejś krzywej na płaszczyźnie zespolonej. Najważniejszym przypadkiem (innym niż rzeczywiste przedziały) jest sytuacja, gdy krzywa jest okręgiem jednostkowym, dając wielomiany ortogonalne na okręgu jednostkowym , takie jak wielomiany Rogersa-Szegő .

Istnieje kilka rodzin wielomianów ortogonalnych, które są ortogonalne w obszarach płaskich, takich jak trójkąty lub dyski. Czasami można je zapisać w terminach wielomianów Jacobiego. Na przykład wielomiany Zernike są ortogonalne na dysku jednostkowym.

Zaleta ortogonalności między różnymi rzędami wielomianów Hermite'a jest stosowana w strukturze zwielokrotnienia z uogólnionym podziałem częstotliwości (GFDM). W każdej siatce sieci czasowo-częstotliwościowej można przenosić więcej niż jeden symbol.

Nieruchomości

Wielomiany ortogonalne jednej zmiennej zdefiniowanej przez miarę nieujemną na prostej rzeczywistej mają następujące właściwości.

Relacja do chwil

Wielomiany ortogonalne P _n można wyrazić w postaci momentów

${\ Displaystyle m_ {n} = \ int x ^ {n} \, d \ alfa (x)}$

następująco:

${\ Displaystyle P_ {n} (x) = c_ {n} \, \ det {\ początek {bmatrix} m_ {0} i m_ {1} i m_ {2} i \ cdots i m_ {n} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} & \ cdots & m_ {n + 1} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ m_ {n-1} & m_ {n} & m_ {n + 1 } & \ cdots & m_ {2n-1} \\ 1 & x & x ^ {2} & \ cdots & x ^ {n} \ end {bmatrix}} ~,}$

gdzie stałe c _n są dowolne (zależą od normalizacji P _n ).

Relacja nawrotu

Wielomiany P _n spełniają relację powtarzania postaci

${\ Displaystyle P_ {n} (x) = (A_ {n} x + B_ {n}) P_ {n-1} (x) + C_ {n} P_ {n-2} (x) ~.}$

Zobacz twierdzenie Favarda, aby uzyskać odwrotny wynik.

Wzór Christoffela – Darbouxa

Zera

Jeśli miara d α jest podparta na przedziale [ a ,  b ], wszystkie zera P _n leżą w [ a ,  b ]. Ponadto zera mają następującą właściwość przeplotu: jeśli m  <  n , istnieje zero P _n między dowolnymi dwoma zerami  P _m . Można podać elektrostatyczne interpretacje zer.

Interpretacja kombinatoryczna

Od lat osiemdziesiątych XX wieku, dzięki pracom XG Viennota, J. Labelle, Y.-N. Yeh, D. Foata i inni, znaleziono kombinatoryczne interpretacje dla wszystkich klasycznych wielomianów ortogonalnych.

Wielomiany ortogonalne wielowymiarowe

W wielomiany Macdonald są prostopadłe wielomianów wielu zmiennych, w zależności od wyboru afinicznym systemu korzeniowego. Obejmują one wiele innych rodzin wielomianów wielu zmiennych prostopadłych jak szczególnych przypadkach, w tym wielomianów Jack The wielomianów Littlewoodem Halla , z wielomianów Heckman-Opdam , a wielomianów Koornwinder . W wielomiany Askey-Wilson to szczególny przypadek wielomianów Macdonald przez pewien non obniżonej systemu korzeniowego rangi 1.

Zobacz też

• Sekwencja apelowania
• Schemat Askeya hipergeometrycznych wielomianów ortogonalnych
• Twierdzenie Favarda
• Sekwencje wielomianowe typu dwumianowego
• Wielomiany biortogonalne
• Uogólniony szereg Fouriera
• Środek pomocniczy
• Sekwencja Sheffera
• Teoria Sturma-Liouville'a
• Rachunek umbralny

Bibliografia

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 22” . Podręcznik funkcji matematycznych ze wzorami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria Matematyki Stosowanej. 55 (dziewiąty przedruk z dodatkowymi korektami dziesiątego oryginału z poprawkami (grudzień 1972); wyd. Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, National Bureau of Standards; Publikacje Dover. p. 773. ISBN   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . MR   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Chihara, Theodore Seio (1978). Wprowadzenie do wielomianów ortogonalnych . Gordon and Breach, Nowy Jork. ISBN   0-677-04150-0 .
• Chihara, Theodore Seio (2001). „45 lat wielomianów ortogonalnych: widok ze skrzydeł” . Materiały z piątego międzynarodowego sympozjum na temat wielomianów ortogonalnych, funkcji specjalnych i ich zastosowań (Patras, 1999). Journal of Computational and Applied Mathematics . 133 (1): 13–21. Bibcode : 2001JCoAM.133 ... 13C . doi : 10.1016 / S0377-0427 (00) 00632-4 . ISSN   0377-0427 . MR   1858267 .
• Foncannon, JJ; Foncannon, JJ; Pekonen, Osmo (2008). „Przegląd klasycznych i kwantowych wielomianów ortogonalnych w jednej zmiennej autorstwa Mourada Ismaila”. Inteligencja matematyczna . Springer w Nowym Jorku. 30 : 54–60. doi : 10.1007 / BF02985757 . ISSN   0343-6993 . S2CID   118133026 .
• Ismail, Mourad EH (2005). Klasyczne i kwantowe wielomiany ortogonalne w jednej zmiennej . Cambridge: Cambridge Univ. Naciśnij. ISBN   0-521-78201-5 .
• Jackson, Dunham (2004) [1941]. Szeregi Fouriera i wielomiany ortogonalne . Nowy Jork: Dover. ISBN   0-486-43808-2 .
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Orthogonal Polynomials” , w Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-19225-5 , MR   2723248
• „Orthogonal wielomiany” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Szegő, Gábor (1939). Wielomiany ortogonalne . Publikacje kolokwium. XXIII . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN   978-0-8218-1023-1 . MR   0372517 .
• P. Sircar, RB Pachori i R. Kumar, Analiza rytmów sygnałów EEG przy użyciu przybliżenia wielomianu ortogonalnego, ACM International Conference on Convergence and Hybrid Information Technology, str. 176–180, 27–29 sierpnia 2009, Daejeon, Korea Południowa.
• Totik, Vilmos (2005). „Wielomiany ortogonalne”. Badania w teorii aproksymacji . 1 : 70–125. arXiv : math.CA/0512424 .
• C. Chan, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, arXiv : 1712.03155 .