Funkcja wysokości - Height function

Funkcja wysokości to funkcja, która określa ilościowo złożoność obiektów matematycznych. W geometrii diofantycznej funkcje wysokości określają ilościowo rozmiar rozwiązań równań diofantycznych i są zazwyczaj funkcjami od zbioru punktów rozmaitości algebraicznych (lub zbioru rozmaitości algebraicznych) do liczb rzeczywistych .

Na przykład, klasyczna lub naiwna wysokość nad liczbami wymiernymi jest zwykle definiowana jako maksimum liczników i mianowników współrzędnych (np. 3 dla współrzędnych (3/9, 1/2) ), ale w skali logarytmicznej .

Znaczenie

Funkcje wysokości umożliwiają matematykom liczenie obiektów, takich jak punkty wymierne , które w przeciwnym razie są nieskończone pod względem ilości. Na przykład zbiór liczb wymiernych o naiwnej wysokości (maksimum licznika i mianownika wyrażonego w najniższych wartościach ) poniżej dowolnej stałej jest skończony, mimo że zbiór liczb wymiernych jest nieskończony. W tym sensie funkcje wysokości mogą być użyte do udowodnienia asymptotycznych wyników, takich jak twierdzenie Bakera w transcendentalnej teorii liczb, które zostało udowodnione przez Alana Bakera  ( 1966 , 1967a , 1967b ).

W innych przypadkach funkcje wysokości mogą rozróżniać niektóre obiekty na podstawie ich złożoności. Na przykład twierdzenie o podprzestrzeni udowodnione przez Wolfganga M. Schmidta  ( 1972 ) pokazuje, że punkty o małej wysokości (tj. małej złożoności) w przestrzeni rzutowej leżą w skończonej liczbie hiperpłaszczyzn i uogólnia twierdzenie Siegela na punkty całkowe i rozwiązanie jednostki S równanie .

Funkcje wysokości były kluczowe dla dowodów twierdzenia Mordella-Weila i twierdzenia Faltingsa odpowiednio Weila  ( 1929 ) i Faltingsa  ( 1983 ). Kilka zaległych nierozwiązane problemy dotyczące wysokości racjonalnych punktów algebraicznych odmian, takich jak przypuszczeń Manin i przypuszczeń Vojta jest , mieć daleko idące konsekwencje dla problemów diofantycznego zbliżenia , równanie diofantyczne , geometrii arytmetyki i logiki matematycznej .

Funkcje wysokości w geometrii diofantycznej

Historia

Wysokości w geometrii diofantycznej zostały początkowo opracowane przez André Weila i Douglasa Northcotta, począwszy od lat 20. XX wieku. Innowacje w latach 60. to wysokość Nerona-Tate'a i uświadomienie sobie, że wysokości były powiązane z reprezentacjami rzutowymi w podobny sposób, w jaki obfite wiązki liniowe są w innych częściach geometrii algebraicznej . W latach 70. Suren Arakelov rozwinął wysokość Arakelov w teorii Arakelov . W 1983 Faltings rozwinął swoją teorię wysokości Faltingsa w swoim dowodzie twierdzenia Faltingsa.

Wysokość naiwna

Wysokość klasyczna lub naiwna jest definiowana jako zwykła wartość bezwzględna na jednorodnych współrzędnych . Jest to zazwyczaj skala logarytmiczna i dlatego może być postrzegana jako proporcjonalna do „złożoności algebraicznej” lub liczby bitów potrzebnych do przechowania punktu. Zazwyczaj definiuje się go jako logarytm maksymalnej wartości bezwzględnej wektora względnie pierwszych liczb całkowitych uzyskanych przez pomnożenie przez najniższy wspólny mianownik . Można to wykorzystać do określenia wysokości punktu w przestrzeni rzutowej nad Q lub wielomianu, traktowanego jako wektor współczynników lub liczby algebraicznej, na podstawie wysokości jego wielomianu minimalnego.

Naiwna wysokość liczby wymiernej x = p / q (w najniższych terminach) to

• wysokość multiplikatywna ${\ Displaystyle H (p / q) = \ max \ {| p |, | q | \}}$
• wysokość logarytmiczna: ${\ Displaystyle h (p/q) = \ log H (p/q)}$

Dlatego naiwne wysokości multiplikatywne i logarytmiczne 4/10 wynoszą na przykład 5 i log(5) .

Naiwnych wysokość H o eliptycznej krzywej E podaje r ² = x ³ + ax + b jest zdefiniowane jako H (E) = log max (4 | | ³ , 27 | B | ² ) .

Wysokość Nerona-Tate

Wysokość Neron-Tate , lub wysokość kanoniczna , jest kwadratowa forma na grupie Mordella-Weil z punktów wymiernych od An Abelowych odmiany określonej na polu globalnym . Jego nazwa pochodzi od André Néron , który jako pierwszy zdefiniował ją jako sumę lokalnych wyżyn, oraz Johna Tate , który zdefiniował ją globalnie w niepublikowanym dziele.

Wysokość weil

Wysokość Weila jest określona na rozmaitości rzutowej X nad polem liczbowym K wyposażonym w wiązkę liniową L na X . Mając bardzo obszerną wiązkę linii L ₀ na X , można zdefiniować funkcję wysokości za pomocą naiwnej funkcji wysokości h . Ponieważ L ₀ ' jest bardzo obszerny, jego kompletny układ liniowy daje odwzorowanie ϕ od X do przestrzeni rzutowej. Następnie dla wszystkich punktów p na X , określ ${\ Displaystyle h_ {L_ {0}} (p): = h (\ phi (p)).}$

Można zapisać dowolną wiązkę liniową L na X jako różnicę dwóch bardzo obszernych wiązek liniowych L ₁ i L ₂ na X , aż do snopu skręcającego Serre'a O(1) , więc można określić wysokość Weila h _L na X względem do L przez (do O(1) ). ${\ Displaystyle h_ {L}: = h_ {L_ {1}}-h_ {L_ {2}},}$

Wysokość Arakelowa

Wysokość Arakelowa na przestrzeni rzutowej nad ciałem liczb algebraicznych jest globalną funkcją wysokości z lokalnymi wkładami pochodzącymi z metryk Fubiniego-Study na polach Archimedesa i zwykłej metryki na polach niearchimedesowych . Jest to zwykła wysokość Weil wyposażona w inną metrykę.

Wysokość faltów

Wysokość Faltings o Abelowych odmiany określonej na polu numeru jest miarą jego złożoności obliczeniowej. Jest ona definiowana jako wysokość metryzowanej wiązki przewodów . Wprowadził ją Faltings  ( 1983 ) w swoim dowodzie hipotezy Mordella .

Funkcje wysokości w algebrze

Wysokość wielomianu

Dla wielomianu P stopnia n danego przez

${\ Displaystyle P = a_ {0}+ a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x ^ {n}}$

wysokość H ( p ) jest definiowany jako maksimum wielkości jej współczynniki:

${\ Displaystyle H (P) = {\ underset {i} {\ max}} \ | a_ {i} |.}$

W podobny sposób można by zdefiniować długość L ( P ) jako sumę wielkości współczynników:

${\ Displaystyle L (P) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} | a_ {i} |.}$

Stosunek do miary Mahlera

Mahler środek M ( P ) z P jest miarą złożoności P . Trzy funkcje H ( P ), L ( P ) i M ( P ) są powiązane nierównościami

${\ Displaystyle {\ Binom {n} {\ l piętro n/2 \ r piętro}} ^ {-1} H (P) \ równoważnik M (P) \ równoważnik H (P) {\ sqrt {n + 1}}; }$

${\ Displaystyle L (p) \ równoważnik 2 ^ {n} M (p) \ równoważnik 2 ^ {n} L (p);}$

${\ Displaystyle H (p) \ leq L (p) \ leq (n + 1) H (p)}$

gdzie jest współczynnik dwumianowy . ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lpodłoga n/2\rpodłoga}}}$

Funkcje wysokości w formach automorficznych

Jeden z warunków, w definicji automorficzna postaci o ogólnej grupy liniowego wystąpienia adelic grupy algebraicznej jest umiarkowany wzrost , co stanowi stan asymptotyczny w rozwoju funkcji wysokości i ogólnej grupy liniowego postrzegane jako rozmaitość liniowa .

Zobacz też

• przypuszczenie abc
• Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera
• Eliptyczna hipoteza Lehmera
• Stała Heath-Brown-Moroz
• Wysokość formalnego prawa grupowego
• Funkcja zeta wysokości
• Twierdzenie o izogenii Raynauda
• Wysokość drzewa

Bibliografia

Źródła

• Baker, Alan (1966). „Formy liniowe w logarytmach liczb algebraicznych. I”. Matematyka. Dziennik Matematyki Czystej i Stosowanej . 13 (2): 204–216. doi : 10.1112/S0025579300003971 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Baker, Alan (1967a). „Formy liniowe w logarytmach liczb algebraicznych. II”. Matematyka. Dziennik Matematyki Czystej i Stosowanej . 14 : 102–107. doi : 10.1112/S0025579300008068 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Baker, Alan (1967b). „Formy liniowe w logarytmach liczb algebraicznych. III”. Matematyka. Dziennik Matematyki Czystej i Stosowanej . 14 (2): 220–228. doi : 10.1112/S0025579300003843 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Piekarz, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Formy logarytmiczne i geometria diofantyczna . Nowe Monografie Matematyczne. 9 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . P. 3. Numer ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl  1145.11004 .
• Bombieri, Enrico ; Gublera, Waltera (2006). Wysokości w geometrii diofantycznej . Nowe Monografie Matematyczne. 4 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . doi : 10.2277/0521846153 . Numer ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl  1130.11034 .
• Borwein, Piotr (2002). Komputerowe wycieczki w analizie i teorii liczb . Książki CMS w matematyce. Springer-Verlag . s.  2 , 3, 14148. ISBN 0-387-95444-9. Zbl  1020.12001 .
• Bump, Daniel (1998). Formy i reprezentacje automorficzne . Studia Cambridge z matematyki zaawansowanej. 55 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. P. 300. Numer ISBN 9780521658188.
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Geometria arytmetyczna . Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 0387963111.→ Zawiera angielskie tłumaczenie Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Twierdzenie o skończoności dla odmian abelowych nad polami liczbowymi]. Inventiones Mathematicae (w języku niemieckim). 73 (3): 349–366. doi : 10.1007/BF01388432 . MR  0718935 . S2CID  121049418 .
• Faltings, Gerd (1991). „Przybliżenie diofantyczne na odmianach abelowych”. Roczniki Matematyki . 123 (3): 549–576. doi : 10.2307/2944319 . JSTOR  2944319 . MR  1109353 .
• Fili, Paweł; Petsche, Clayton; Pritsker, Igor (2017). „Całki energii i małe punkty do wysokości Arakelov”. Archiwum Matematyki . 109 (5): 441–454. arXiv : 1507.01900 . doi : 10.1007/s00013-017-1080-x . S2CID  119161942 .
• Mahler K. (1963). „O dwóch ekstremach własności wielomianów” . Illinois J. Matematyka . 7 (4): 681–701. doi : 10.1215/ijm/1255645104 . Zbl  0117.04003 .
• Neron, André (1965). „Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes”. Anny. Matematyki. (po francusku). 82 (2): 249–331. doi : 10.2307/1970644 . JSTOR  1970644 . MR  0179173 .
• Schinzel, Andrzej (2000). Wielomiany ze szczególnym uwzględnieniem redukowalności . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań. 77 . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . P. 212 . Numer ISBN 0-521-66225-7. Zbl  0956.12001 .
• Schmidt, Wolfgang M. (1972). „Równania postaci norm”. Roczniki Matematyki . Druga seria. 96 (3): 526-551. doi : 10.2307/1970824 . JSTOR  1970824 . MR  0314761 .
• Lang, Serge (1988). Wprowadzenie do teorii Arakelowa . Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 0-387-96793-1. MR  0969124 . Zbl  0667.14001 .
• Lang, Serge (1997). Przegląd geometrii diofantycznej . Springer-Verlag . Numer ISBN 3-540-61223-8. Zbl  0869.11051 .
• Weil, André (1929). "L'arytmétique sur les courbes algébriques" . Akta Matematyki . 52 (1): 281-315. doi : 10.1007/BF02592688 . MR  1555278 .
• Silverman, Joseph H. (1994). Zaawansowane zagadnienia z arytmetyki krzywych eliptycznych . Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 978-1-4612-0851-8.
• Vojta, Paweł (1987). Przybliżenia diofantyczne i teoria dystrybucji wartości . Notatki z wykładu z matematyki. 1239 . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0072989 . Numer ISBN 978-3-540-17551-3. MR  0883451 . Zbl  0609.14011 .

Zewnętrzne linki

• Wysokość wielomianu w Mathworld