Twierdzenie Mordella – Weila - Mordell–Weil theorem

W matematyce , Mordella-Weil twierdzenie stwierdza, że dla Abelowych gamy nad polu numeru , grupa z K -rational punktów o to skończenie generowane grupa przemienna , zwana grupa Mordella-Weil . W przypadku na krzywej eliptycznej oraz z liczbą wymierną pola Q jest twierdzenie Mordella za , odpowiadając na pytanie postawione przez pozornie Henri Poincaré około 1901 roku; zostało to udowodnione przez Louisa Mordella w 1922 roku. Jest to fundamentalne twierdzenie geometrii diofantycznej i arytmetyki odmian abelowych . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle A (K)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K}$

Historia

Proces cięciwy stycznej (jedna z form twierdzenia o dodawaniu na krzywej sześciennej ) był znany już w XVII wieku. Proces nieskończonej zejścia z Fermatem dobrze znane, ale Mordella udało się stworzyć skończoności z grupy ilorazu , który stanowi zasadniczy krok w dowodzie. Pewnością skończoność tej grupy jest warunkiem koniecznym dla być skończenie generowane; i pokazuje, że ranga jest skończona. Okazuje się, że jest to podstawowa trudność. To może być udowodnione przez bezpośrednią analizę podwojenie punktu na E . ${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q}) / 2E (\ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q})}$

Kilka lat później André Weil podjął ten temat, dokonując uogólnienia na jakobów krzywych wyższego rodzaju na dowolnych polach liczbowych w swojej rozprawie doktorskiej opublikowanej w 1928 r. Aby przeprowadzić dowód o tej samej podstawowej strukturze, potrzebne były bardziej abstrakcyjne metody. Druga połowa dowodu wymaga pewnego rodzaju funkcji wysokości , za pomocą której ogranicza się „rozmiar” punktów . Pewna miara współrzędnych wystarczy; wysokości są logarytmiczne, więc (mówiąc z grubsza) chodzi o to, ile cyfr jest potrzebnych do zapisania zbioru jednorodnych współrzędnych . W przypadku odmiany abelowej nie ma jednak preferowanej reprezentacji a priori jako odmiany projekcyjnej . ${\ Displaystyle A (K)}$

Obie połowy dowodu zostały znacznie ulepszone przez kolejne postępy techniczne: w kohomologii Galois stosowanej do zejścia oraz w badaniu najlepszych funkcji wysokości (które są formami kwadratowymi ).

Dalsze wyniki

Twierdzenie pozostawiło bez odpowiedzi szereg pytań:

• Obliczanie rangi. Jest to nadal wymagający problem obliczeniowy i nie zawsze ma skuteczne rozwiązania .
• Znaczenie rangi: patrz hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera .
• Możliwe podgrupy skrętne: Barry Mazur udowodnił w 1978 r., Że grupa Mordell – Weil może mieć tylko skończenie wiele podgrup skrętnych. To jest przypadek krzywej eliptycznej hipotezy skręcania .
• Dla krzywej w jej jakobian różnych jak można przecięcie z nieskończona? Z powodu twierdzenia Faltings , jest to fałszywe, chyba że . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle A (K)}$${\ displaystyle C = A}$
• W tym samym kontekście może zawierać nieskończenie wiele punktów skręcenia ? Ze względu na hipotezę Manina-Mumforda , udowodnioną przez Michela Raynauda, ​​jest ona fałszywa, chyba że jest to przypadek krzywej eliptycznej. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A}$

Zobacz też

• Geometria arytmetyczna
• Grupa Mordell – Weil

Bibliografia

• Weil, André (1929). „L'arithmétique sur les courbes algébriques”. Acta Mathematica . 52 ust. 1. s. 281–315. doi : 10.1007 / BF02592688 . MR   1555278 .
• Mordell, Louis Joel (1922). „O racjonalnych rozwiązaniach nieokreślonych równań trzeciego i czwartego stopnia” . Proc. Camb. Phil. Soc . 21 . pp. 179–192.
• Joseph H., Silverman (1986). Arytmetyka krzywych eliptycznych . Teksty magisterskie z matematyki . 106 . Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-0-387-09494-6 . ISBN   0-387-96203-4 . MR   2514094 .