Frakcja nieredukowalna - Irreducible fraction
Nierozkładalny część (lub ułamek w najniższych warunkach , najprostszej postaci lub zmniejszona frakcji ) jest frakcja , w której licznik, jak i mianownik są liczbami całkowitymi , które nie mają innych typowych dzielniki niż 1 (i-1, gdy są uważane za wartości ujemne). Innymi słowy, ułameka/bjest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy a i b są względnie pierwsze , to znaczy, jeśli a i b mają największy wspólny dzielnik 1. W wyższej matematyce „ ułamek nieredukowalny ” może również odnosić się do ułamków wymiernych, tak że licznik i mianownik są względnie pierwsze wielomiany . Każda dodatnia liczba wymierna może być reprezentowana jako ułamek nieredukowalny w dokładnie jeden sposób.
Czasami przydatna jest równoważna definicja: jeśli a i b są liczbami całkowitymi, to ułameka/b jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma innego równego ułamka C/Dtaki, że | c | < | | lub | d | < | b | , gdzie | | oznacza wartość bezwzględną w . (Dwie ułamkia/b oraz C/Dsą równe lub równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ad = bc .)
Na przykład, 1/4, 5/6, oraz −101/100są ułamkami nieredukowalnymi. Z drugiej strony,2/4 jest redukowalna, ponieważ jest równa wartości 1/2i licznik 1/2 jest mniejsze niż licznik 2/4.
Ułamek, który można redukować, można zmniejszyć, dzieląc licznik i mianownik przez wspólny czynnik. Można go w pełni sprowadzić do najniższych wartości, jeśli oba są podzielone przez ich największy wspólny dzielnik . Aby znaleźć największy wspólny dzielnik, można użyć algorytmu Euklidesa lub faktoryzacji liczb pierwszych . Algorytm Euklidesa jest powszechnie preferowany, ponieważ pozwala redukować ułamki, których liczniki i mianowniki są zbyt duże, aby można je było łatwo rozłożyć na czynniki.
Przykłady
W pierwszym kroku obie liczby zostały podzielone przez 10, co jest współczynnikiem wspólnym zarówno dla 120, jak i 90. W drugim kroku podzielono je przez 3. Ostateczny wynik, 4/3, jest ułamkiem nieredukowalnym, ponieważ 4 i 3 nie mają wspólnych czynników innych niż 1.
Pierwotny ułamek mógł również zostać zmniejszony w jednym kroku, używając największego wspólnego dzielnika 90 i 120, czyli 30. Ponieważ 120 ÷ 30 = 4 i 90 ÷ 30 = 3 , otrzymujemy
To, która metoda jest szybsza „ręcznie”, zależy od frakcji i łatwości dostrzegania wspólnych czynników. W przypadku, gdy mianownik i licznik pozostają zbyt duże, aby zapewnić, że są względnie pierwsze, konieczne jest i tak największe wspólne obliczenie dzielnika, aby zapewnić, że ułamek jest rzeczywiście nieredukowalny.
Wyjątkowość
Każda liczba wymierna ma unikalną reprezentację jako ułamek nieredukowalny z mianownikiem dodatnim (jednakże2/3 = -2/-3chociaż oba są nieredukowalne). Wyjątkowość jest konsekwencją unikalnej faktoryzacji liczb pierwszych liczb całkowitych, ponieważa/b = C/Dimplikuje ad = bc , a więc obie strony tego ostatniego muszą mieć tę samą rozkład na czynniki pierwsze, ale a i b nie mają wspólnych czynników pierwszych, więc zbiór czynników pierwszych a (z wielokrotnością) jest podzbiorem tych z c i na odwrót, czyli a = c i tym samym argumentem b = d .
Aplikacje
Fakt, że każda liczba wymierna ma unikalną reprezentację jako ułamek nieredukowalny, jest wykorzystywany w różnych dowodach nieracjonalności pierwiastka kwadratowego z 2 i innych liczb niewymiernych. Na przykład, jeden dowód zauważa, że gdyby √ 2 można było przedstawić jako stosunek liczb całkowitych, to miałby on w szczególności reprezentację całkowicie zredukowanąa/bgdzie a i b są najmniejsze z możliwych; ale biorąc pod uwagę toa/brówna się √ 2 , tak samo2 b -/a − b (ponieważ krzyżowe pomnożenie tego przez a/bpokazuje, że są równe). Ponieważ a > b (ponieważ √ 2 jest większe niż 1), to ostatnie jest stosunkiem dwóch mniejszych liczb całkowitych. Jest to sprzeczność , więc założenie, że pierwiastek kwadratowy z dwóch ma reprezentację jako stosunek dwóch liczb całkowitych, jest fałszywe.
Uogólnienie
Pojęcie ułamka nieredukowalnego uogólnia się na pole ułamków dowolnej unikalnej dziedziny faktoryzacji : każdy element takiego pola można zapisać jako ułamek, w którym mianownik i licznik są względnie pierwsze, dzieląc oba przez ich największy wspólny dzielnik. Dotyczy to w szczególności wyrażeń wymiernych nad polem. Ułamek nieredukowalny dla danego elementu jest unikalny aż do pomnożenia mianownika i licznika przez ten sam element odwracalny. W przypadku liczb wymiernych oznacza to, że dowolna liczba ma dwa ułamki nieredukowalne, powiązane zmianą znaku zarówno licznika, jak i mianownika; tę niejednoznaczność można usunąć, wymagając, aby mianownik był dodatni. W przypadku funkcji wymiernych podobnie można wymagać, aby mianownik był wielomianem monicznym .
Zobacz też
- Anomalne anulowanie , błędna procedura arytmetyczna, która tworzy poprawny ułamek nieredukowalny przez anulowanie cyfr oryginalnej formy nieredukowanej.
- Aproksymacja diofantyczna , aproksymacja liczb rzeczywistych przez liczby wymierne.