Twierdzenie Faltingsa - Faltings's theorem
 Gerd Faltings
| |
| Pole | Geometria arytmetyczna |
|---|---|
| Przypuszczalny przez | Louis Mordell |
| Przypuszczam w | 1922 |
| Pierwszy dowód autorstwa | Gerd Faltings |
| Pierwszy dowód w | 1983 |
| Uogólnienia |
Przypuszczenie Bombieriego-Langa Przypuszczenie Mordella-Langa |
| Konsekwencje | Twierdzenie Siegela o punktach całkowitych |
W geometrii obliczeniowej The przypuszczenie Mordella jest przypuszczenie wykonany przez Louisa Mordell'a że krzywa genus większy niż 1 na polu Q z liczb wymiernych ma tylko skończenie wiele racjonalnych punktów . W 1983 roku zostało to udowodnione przez Gerda Faltingsa , a obecnie znane jest jako twierdzenie Faltingsa . Przypuszczenie zostało później uogólnione przez zastąpienie Q dowolnym polem liczbowym .
Tło
Niech C będzie nieosobliwą krzywą algebraiczną rodzaju g nad Q . Wtedy zbiór punktów wymiernych na C można wyznaczyć w następujący sposób:
- Przypadek g = 0: brak punktów lub nieskończenie wiele; C jest traktowane jak sekcja stożkowa .
- Przypadek g = 1: brak punktów lub C jest krzywą eliptyczną, a jej punkty wymierne tworzą skończenie wygenerowaną grupę abelową ( Twierdzenie Mordella , później uogólnione na twierdzenie Mordella-Weila ). Co więcej, twierdzenie Mazura o skręcaniu ogranicza strukturę podgrupy skręcania.
- Przypadek g > 1: zgodnie z hipotezą Mordella, teraz twierdzenie Faltingsa, C ma tylko skończoną liczbę punktów wymiernych.
Dowody
Igor Shafarevich przypuszczał, że istnieje tylko skończenie wiele klas izomorfizmu odmian abelowych o stałym wymiarze i stałym stopniu polaryzacji nad stałym polem liczbowym z dobrą redukcją poza ustalonym, skończonym zbiorem miejsc . Aleksiej Parszyn wykazał, że przypuszczenie skończoności Szafarewicza implikuje przypuszczenie Mordella, używając tego, co obecnie nazywa się sztuczką Parszyna.
Gerd Faltings udowodnił hipotezę o skończoności Szafarewicza, wykorzystując znaną redukcję do przypadku hipotezy Tate'a , wraz z narzędziami geometrii algebraicznej , w tym teorią modeli Nerona . Główną ideą dowodu Faltingsa jest porównanie wysokości Faltings i naiwnych wysokości za pomocą modułowych odmian Siegel .
Późniejsze dowody
- Paul Vojta dał dowód oparty na aproksymacji diofantycznej . Enrico Bombieri znalazł bardziej elementarny wariant dowodu Vojty.
- Brian Lawrence i Akshay Venkatesh przedstawili dowód oparty na teorii p- adycznego Hodge'a , zapożyczając także niektóre łatwiejsze składniki oryginalnego dowodu Faltingsa.
Konsekwencje
Artykuł Faltingsa z 1983 roku miał jako konsekwencje szereg stwierdzeń, które wcześniej były przypuszczenia:
- Mordella przypuszczenie , że krzywa genus większy niż 1 nad polem numer ma tylko skończenie wiele punktów wymiernych;
- Twierdzenie Isogeny że abelowe odmiany z izomorficznych modułów Tate (jako Q ℓ -modules o działaniu Galois) są isogenous .
Przykładowe zastosowanie twierdzenia Faltingsa dotyczy słabej postaci Wielkiego Twierdzenia Fermata : dla dowolnego ustalonego n ≥ 4 istnieje co najwyżej skończenie wiele pierwotnych rozwiązań liczb całkowitych (rozwiązania parami względnie pierwszych ) dla a n + b n = c n , ponieważ dla takiego n krzywa Fermatem x n + r n = 1 ma genus większa niż 1.
Uogólnienia
Ze względu na twierdzenie Mordella-Weila twierdzenie Faltingsa można przeformułować jako stwierdzenie o przecięciu krzywej C ze skończenie wygenerowaną podgrupą Γ odmiany abelowej A . Uogólnienie poprzez zastąpienie A przez odmianę semiabelową , C przez dowolną pododmianę A , a Γ przez arbitralną podgrupę A o skończonym rzędzie prowadzi do hipotezy Mordella–Langa , którą udowodnił w 1995 r. McQuillan na podstawie pracy Laurenta, Raynauda , Hindry, Vojta i Faltings .
Kolejny wyższy-wymiarowych uogólnienie twierdzenia Faltings za to przypuszczenie Bombieri-Lang , że jeśli X jest różne pseudo-kanoniczne (tj odmiana ogólnego rodzaju) nad polem liczba k , wtedy X ( k ) nie jest Zariski gęsty w X . Jeszcze bardziej ogólne przypuszczenia przedstawił Paul Vojta .
Hipotezę Mordella dotyczącą pól funkcyjnych udowodnili Jurij Iwanowicz Manin i Hans Grauert . W 1990 r. Robert F. Coleman znalazł i naprawił lukę w dowodzie Manina.
Uwagi
Cytaty
Bibliografia
- Bombieriego, Enrico (1990). „Przypuszczenie Mordella ponownie” . Anny. Norma Scuola. Łyk. Piza Kl. Nauka . 17 (4): 615–640. MR 1093712 .
- Coleman, Robert F. (1990). „Dowód Manina hipotezy Mordella nad polami funkcyjnymi” . L'Enseignement Mathématique . 2e Serie. 36 (3): 393-427. ISSN 0013-8584 . MR 1096426 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2011-10-02.
- Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. , wyd. (1986). Geometria arytmetyczna. Referaty z konferencji, która odbyła się na Uniwersytecie Connecticut, Storrs, Connecticut, 30 lipca – 10 sierpnia 1984 r . Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4613-8655-1 . Numer ISBN 0-387-96311-1. MR 0861969 .→ Zawiera angielskie tłumaczenie Faltings (1983)
- Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Twierdzenie o skończoności dla odmian abelowych nad polami liczbowymi]. Inventiones Mathematicae (w języku niemieckim). 73 (3): 349–366. Kod Bib : 1983InMat..73..349F . doi : 10.1007/BF01388432 . MR 0718935 .
- Faltings, Gerd (1984). „Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern” . Inventiones Mathematicae (w języku niemieckim). 75 (2): 381. doi : 10.1007/BF01388572 . MR 0732554 .
- Faltings, Gerd (1991). „Przybliżenie diofantyczne na odmianach abelowych”. Anny. Matematyki. 133 (3): 549–576. doi : 10.2307/2944319 . JSTOR 2944319 . MR 1109353 .
- Faltings, Gerd (1994). „Ogólny przypadek przypuszczenia S. Langa”. W Cristante, Valentino; Messing, William (red.). Sympozjum Barsottiego z geometrii algebraicznej. Referaty z sympozjum, które odbyło się w Abano Terme, 24-27 czerwca 1991 . Perspektywy w matematyce. San Diego, Kalifornia: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-197270-4. MR 1307396 .
- Grauert, Hans (1965). "Mordells Vermutung über ratione Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper" . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 25 (25): 131–149. doi : 10.1007/BF02684399 . ISSN 1618-1913 . MR 0222087 .
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometria diofantyczna . Teksty magisterskie z matematyki . 201 . Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-1210-2 . Numer ISBN 0-387-98981-1. MR 1745599 . → Daje dowód Vojty na twierdzenie Faltingsa.
- Lang, Serge (1997). Przegląd geometrii diofantycznej . Springer-Verlag . s. 101 -122. Numer ISBN 3-540-61223-8.
- Lawrence, Brian; Venkatesh, Akshay (2020). „Problemy diofantyczne i mapowania okresu p- adycznego”. Wynaleźć. Matematyka . 221 (3): 893–999. arXiv : 1807.02721 . doi : 10.1007/s00222-020-00966-7 .
- Manin, Ju. I. (1963). „Punkty wymierne na krzywych algebraicznych nad polami funkcyjnymi” . Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (po rosyjsku). 27 : 1395–1440. ISSN 0373-2436 . MR 0157971 .(Tłumaczenie: Manin, Yu (1966) "Racjonalne punkty na krzywych algebraicznych ponad pól funkcyjnych"... Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne Tłumaczenia Series 2.. 59 . 189-234 doi : 10,1090 / TRANS2 umieszczany / 050/11 . ISBN 9780821817506. ISSN 0065-9290 . )
- McQuillan, Michael (1995). „Punkty podziału na odmianach semi-abelowych”. Wynaleźć. Matematyka . 120 (1): 143–159. doi : 10.1007/BF01241125 .
- Mordell, Louis J. (1922). „O racjonalnych rozwiązaniach równania nieokreślonego trzeciego i czwartego stopnia” . Proc. Filos z Cambridge. Soc . 21 : 179–192.
- Parszyna, AN (1970). „Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne” (PDF) . Actes du Congrès International des Mathématiciens . Tom 1. Nice: Gauthier-Villars (opublikowany w 1971). s. 467-471. MR 0427323 . Zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2016-09-24 . Pobrano 2016-06-11 .
- Parshin, AN (2001) [1994], "przypuszczenie Mordella" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
- Parszyna, AN (1968). „Krzywe algebraiczne nad polami funkcyjnymi I”. Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Matematyka. 32 (5): 1191–1219. Kod Bibcode : 1968IzMat....2.1145P . doi : 10.1070/IM1968v002n05ABEH000723 .
- Szafarewicz, IR (1963). „Pola liczb algebraicznych”. Materiały Międzynarodowego Kongresu Matematyków : 163-176.
- Vojta, Paweł (1991). „Twierdzenie Siegela w kompaktowej sprawie”. Anny. Matematyki. 133 (3): 509-548. doi : 10.2307/2944318 . JSTOR 2944318 . MR 1109352 .