Ortogonalność - Orthogonality

Odcinki linii AB i CD są względem siebie prostopadłe.

W matematyce , ortogonalności jest uogólnienie pojęcia prostopadłości do algebry liniowej z form bilinear . Dwa elementy u i v z przestrzeni wektorowej z forma dwuliniowa Bprostopadłe gdy B ( u , v ) = 0 . W zależności od postaci dwuliniowej, przestrzeń wektorowa może zawierać niezerowe wektory autoortogonalne. W przypadku przestrzeni funkcyjnych do utworzenia bazy wykorzystuje się rodziny funkcji ortogonalnych .

Co za tym idzie, ortogonalność jest również używana w odniesieniu do oddzielenia określonych cech systemu. Termin ma również specjalistyczne znaczenia w innych dziedzinach, w tym w sztuce i chemii.

Etymologia

Słowo to pochodzi od greckiego ὀρθός ( Orthos ), co oznacza "pionowo", a γωνία ( Gonia ), co oznacza "Kąt". Starożytna grecka ὀρθογώνιον orthogōnion i klasyczna łacińska orthogonium pierwotnie oznaczały prostokąt . Później zaczęli oznaczać trójkąt prostokątny . W XII wieku poklasyczne łacińskie słowo orthogonalis zaczęło oznaczać kąt prosty lub coś związanego z kątem prostym.

Matematyka i fizyka

Ortogonalność i obrót układy współrzędnych porównano lewej: euklidesową przestrzeni przez okrągły kąt cp , po prawej stronie: w Minkowskiego czasoprzestrzeni przez hiperbolicznej kąt cp (czerwony linie oznaczone c oznaczają worldlines na sygnał świetlny, wektor jest ortogonalny do samego siebie, gdy leży ona na tym linia).

Definicje

Zbiór wektorów w przestrzeni produktu wewnętrznego nazywamy parami ortogonalnymi, jeśli każda ich para jest ortogonalna. Taki zbiór nazywamy zbiorem ortogonalnym .

W niektórych przypadkach słowo normal jest używane w znaczeniu ortogonalny , szczególnie w sensie geometrycznym, jak w przypadku normalnej do powierzchni . Na przykład oś y jest normalna do krzywej y = x 2 w punkcie początkowym. Jednak normalny może również odnosić się do wielkości wektora. W szczególności zbiór jest nazywany ortonormalnym (ortogonalny plus normalny), jeśli jest ortogonalnym zbiorem wektorów jednostkowych . W rezultacie często unika się używania terminu normalny w znaczeniu „ortogonalny”. Słowo „normalny” ma również inne znaczenie w prawdopodobieństwie i statystyce .

Przestrzeń wektorowa o postaci dwuliniowej uogólnia przypadek iloczynu skalarnego. Gdy dwuliniowa forma zastosowana do dwóch wektorów daje zero, to są one ortogonalne . W przypadku płaszczyzny pseudoeuklidesowej używa się terminu ortogonalność hiperboliczna . Na diagramie osie x′ i t′ są hiperboliczne-ortogonalne dla dowolnego ϕ .

Euklidesowe przestrzenie wektorowe

W przestrzeni euklidesowej dwa wektory są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero, tzn. tworzą kąt 90° (π/2 radiany ) lub jeden z wektorów ma wartość zero. Stąd ortogonalność wektorów jest rozszerzeniem pojęcia wektorów prostopadłych na przestrzenie o dowolnym wymiarze.

Ortogonalne dopełnienie z podprzestrzeni jest przestrzeń wszystkich wektorów, które są prostopadłe do każdego wektora w podprzestrzeni. W trójwymiarowej przestrzeni wektorowej euklidesowej dopełnieniem ortogonalnym prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych jest płaszczyzna przechodząca przez początek prostopadle do niej i na odwrót.

Zauważ, że koncepcja geometryczna dwóch prostopadłych płaszczyzn nie odpowiada dopełnieniu ortogonalnemu, ponieważ w trzech wymiarach para wektorów, po jednym z każdej pary prostopadłych płaszczyzn, może spotkać się pod dowolnym kątem.

W czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej dopełnieniem ortogonalnym prostej jest hiperpłaszczyzna i odwrotnie, a dopełnienie płaszczyzny jest płaszczyzną.

Funkcje ortogonalne

Używając rachunku całkowego , często używa się następującego opisu do zdefiniowania iloczynu skalarnego dwóch funkcji f i g względem nieujemnej funkcji wagi w w przedziale [ a , b ] :

W prostych przypadkach w ( x ) = 1 .

Mówimy, że funkcje f i gortogonalne, jeśli ich iloczyn skalarny (równoważna wartość tej całki) wynosi zero:

Ortogonalność dwóch funkcji względem jednego iloczynu skalarnego nie implikuje ortogonalności względem innego iloczynu skalarnego.

Piszemy normę w odniesieniu do tego produktu wewnętrznego jako

Elementy zbioru funkcji { f i  : i = 1, 2, 3, ...}ortogonalne względem w na przedziale [ a , b ] jeśli

Elementy takiego zbioru funkcji są ortonormalne względem w na przedziale [ a , b ] if

gdzie

jest delta Kroneckera . Innymi słowy, każda ich para (z wyłączeniem parowania funkcji ze sobą) jest ortogonalna, a normą każdego z nich jest 1. Zobacz w szczególności wielomiany ortogonalne .

Przykłady

  • Wektory (1, 3, 2) T , (3, −1, 0) T , (1, 3, −5) T są względem siebie ortogonalne, ponieważ (1)(3) + (3)(−1 ) + (2)(0) = 0, (3)(1) + (−1)(3) + (0)(−5) = 0 oraz (1)(1) + (3)(3) + (2)(−5) = 0.
  • Wektory (1, 0, 1, 0, ...) T i (0, 1, 0, 1, ...) T są względem siebie prostopadłe. Iloczyn skalarny tych wektorów wynosi 0. Następnie możemy dokonać uogólnienia, aby uwzględnić wektory w Z 2 n :
    jakiegoś dodatniej liczby całkowitej A , i 1 ≤ k ≤ - 1 , wektory te są prostopadłe, na przykład , , są ortogonalne.
  • Funkcje 2 t + 3 i 45 t 2 + 9 t − 17 są ortogonalne względem funkcji wagi jednostkowej na przedziale od -1 do 1:
  • Funkcje 1, sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, … są ortogonalne względem całkowania Riemanna na przedziałach [0, 2π] , [−π, π] lub dowolnych innych zamkniętych przedział długości 2π. Ten fakt jest centralny w serii Fouriera .

Wielomiany ortogonalne

Różne ciągi wielomianowe nazwane na cześć matematyków z przeszłości to ciągi wielomianów ortogonalnych . W szczególności:

Stany ortogonalne w mechanice kwantowej

  • W mechanice kwantowej wystarczający (ale nie konieczne) warunkiem, że dwa stany własne o operatora hermitowskiego , oraz , są prostopadłe to, że odpowiadają różnym wartościom własnym. Oznacza to, w notacji Diraca , że jeśli i odpowiadają różnym wartościom własnym. Wynika to z faktu, że równanie Schrödingera jest Sturma-Liouville równanie (Schrödingera w kompozycji), lub że obserwable są przez operatorów hermitowskiego (w kompozycji Heisenberga).

Sztuka

W sztuce linie perspektywiczne (urojone) wskazujące na znikający punkt są określane jako „linie ortogonalne”. Termin „linia ortogonalna” często ma zupełnie inne znaczenie w literaturze krytyki sztuki współczesnej. Wiele prac malarzy, takich jak Piet Mondrian i Burgoyne Diller, słynie z tego, że używają wyłącznie „linii ortogonalnych” — jednak nie w odniesieniu do perspektywy, ale raczej odnoszą się do linii, które są proste i wyłącznie poziome lub pionowe, tworząc kąty proste, gdzie przecinają się. Na przykład, esej na stronie internetowej o Muzeum Thyssen-Bornemisza stwierdza, że „... Mondrian dedykowany całokształt twórczości do badania równowagi między prostopadłych linii i kolorów podstawowych.” Zarchiwizowane 2009-01-31 w Wayback Machine

Informatyka

Ortogonalność w projektowaniu języka programowania to możliwość korzystania z różnych funkcji języka w dowolnych kombinacjach ze spójnymi wynikami. To użycie zostało wprowadzone przez Van Wijngaardena w projekcie Algol 68 :

Liczba niezależnych pojęć pierwotnych została zminimalizowana, aby język był łatwy do opisania, nauczenia się i wdrożenia. Z drugiej strony pojęcia te zostały zastosowane „ortogonalnie”, aby zmaksymalizować siłę wyrazu języka, jednocześnie starając się uniknąć szkodliwych nadmiarów.

Ortogonalność to właściwość projektowania systemu, która gwarantuje, że modyfikacja efektu technicznego wytwarzanego przez element systemu nie powoduje ani nie rozprzestrzenia skutków ubocznych na inne elementy systemu. Zazwyczaj osiąga się to poprzez oddzielenie problemów i hermetyzację , co ma zasadnicze znaczenie dla wykonalnych i kompaktowych projektów złożonych systemów. Wyłaniające się zachowanie systemu składającego się z komponentów powinno być ściśle kontrolowane przez formalne definicje jego logiki, a nie przez skutki uboczne wynikające ze słabej integracji, tj. nieortogonalnego projektowania modułów i interfejsów. Ortogonalność skraca czas testowania i rozwoju, ponieważ łatwiej jest weryfikować projekty, które nie powodują skutków ubocznych ani od nich nie zależą.

Zestaw instrukcji mówi się prostopadłe jeśli brakuje redundancji (czyli istnieje tylko jedna instrukcja, które mogą być wykorzystane do realizacji danego zadania) i jest zaprojektowany tak, że instrukcje można użyć dowolnego rejestru w każdym trybie adresowania . Ta terminologia wynika z traktowania instrukcji jako wektora, którego składowymi są pola instrukcji. Jedno pole identyfikuje rejestry do obsługi, a drugie określa tryb adresowania. Zestaw instrukcji ortogonalnych jednoznacznie koduje wszystkie kombinacje rejestrów i trybów adresowania.

Komunikacja

W komunikacji schematy wielodostępu są ortogonalne, gdy idealny odbiornik może całkowicie odrzucić arbitralnie silne niepożądane sygnały z pożądanego sygnału przy użyciu różnych funkcji bazowych . Jednym z takich schematów jest TDMA , w którym ortogonalne funkcje bazowe są nienakładającymi się impulsami prostokątnymi („szczeliny czasowe”).

Innym schematem jest multipleksowanie z ortogonalnym podziałem częstotliwości (OFDM), które odnosi się do użycia przez pojedynczy nadajnik zestawu sygnałów zwielokrotnionych częstotliwościowo z dokładnym minimalnym odstępem częstotliwości potrzebnym do uczynienia ich ortogonalnymi, tak aby nie zakłócały się nawzajem. . Dobrze znane przykłady obejmują ( a , g , i n ) wersje 802.11 Wi-Fi ; WiMAX ; ITU-T G.hn , DVB-T , naziemny system nadawania telewizji cyfrowej używany w większości krajów poza Ameryką Północną; i DMT (Discrete Multi Tone), standardowa forma ADSL .

W OFDM częstotliwości podnośnych są dobierane tak, aby podnośne były względem siebie ortogonalne, co oznacza, że ​​przesłuch między podkanałami jest eliminowany i nie są wymagane pasma ochronne między nośnymi. To znacznie upraszcza konstrukcję zarówno nadajnika, jak i odbiornika. W konwencjonalnym FDM wymagany jest oddzielny filtr dla każdego podkanału.

Statystyka, ekonometria i ekonomia

Podczas przeprowadzania analizy statystycznej zmienne niezależne, które wpływają na konkretną zmienną zależną, są uważane za ortogonalne, jeśli nie są skorelowane, ponieważ kowariancja tworzy iloczyn wewnętrzny. W tym przypadku te same wyniki uzyskuje się dla wpływu dowolnej zmiennej niezależnej na zmienną zależną, niezależnie od tego, czy modeluje się wpływ zmiennych indywidualnie za pomocą regresji prostej, czy jednocześnie z regresją wielokrotną . Jeśli występuje korelacja , czynniki nie są ortogonalne i dwiema metodami uzyskuje się różne wyniki. Zastosowanie to wynika z faktu, że jeśli wyśrodkowane przez odjęcie wartości oczekiwanej (średniej), nieskorelowane zmienne są ortogonalne w sensie geometrycznym omówionym powyżej, zarówno jako dane obserwowane (tj. wektory), jak i zmienne losowe (tj. funkcje gęstości). Jeden z formalizmów ekonometrycznych, który jest alternatywą dla ram największego prawdopodobieństwa , Uogólniona Metoda Momentów , opiera się na warunkach ortogonalności. W szczególności estymator zwykłych najmniejszych kwadratów można łatwo wyprowadzić z warunku ortogonalności między zmiennymi objaśniającymi a resztami modelu.

Taksonomia

W taksonomii klasyfikacja ortogonalna to taka, w której żaden element nie należy do więcej niż jednej grupy, czyli klasyfikacje wzajemnie się wykluczają.

Kombinatoryka

W kombinatoryce mówi się , że dwa n × n kwadraty łacińskie są ortogonalne, jeśli ich nałożenie daje wszystkie możliwe n 2 kombinacji haseł.

Chemia i biochemia

W syntetycznej chemii organicznej ochrona ortogonalna jest strategią umożliwiającą odbezpieczenie grup funkcyjnych niezależnie od siebie. W chemii i biochemii ortogonalna interakcja występuje, gdy istnieją dwie pary substancji, a każda substancja może wchodzić w interakcje z odpowiednim partnerem, ale nie oddziałuje z żadną substancją z drugiej pary. Na przykład DNA ma dwie ortogonalne pary: cytozyna i guanina tworzą parę zasad, a adenina i tymina tworzą inną parę zasad, ale inne kombinacje par zasad są zdecydowanie nieprzychylne. Jako przykład chemiczny tetrazyna reaguje z transcyklooktenem, a azydek reaguje z cyklooktynem bez reakcji krzyżowej, więc są to reakcje wzajemnie ortogonalne, a więc mogą być przeprowadzane jednocześnie i selektywnie. Chemia bioortogonalna odnosi się do reakcji chemicznych zachodzących w żywych systemach bez reakcji z naturalnie obecnymi składnikami komórkowymi. W chemii supramolekularnej pojęcie ortogonalności odnosi się do możliwości, że dwa lub więcej supramolekularnych, często niekowalencyjnych oddziaływań jest kompatybilnych; formowanie odwracalne bez ingerencji ze strony innych.

W chemii analitycznej analizy są „ortogonalne”, jeśli dokonują pomiaru lub identyfikacji w zupełnie inny sposób, zwiększając tym samym wiarygodność pomiaru. Testowanie ortogonalne można zatem postrzegać jako „sprawdzanie krzyżowe” wyników, a pojęcie „krzyżowe” odpowiada etymologicznemu pochodzeniu ortogonalności . Testy ortogonalne są często wymagane jako część nowego podania leku .

Niezawodność systemu

W dziedzinie niezawodności systemu redundancja ortogonalna jest formą redundancji, w której forma urządzenia lub metody kopii zapasowej jest zupełnie inna niż urządzenie lub metoda podatna na błędy. Tryb awaryjny ortogonalnie redundantnego urządzenia lub metody rezerwowej nie przecina się i jest całkowicie różny od trybu awaryjnego urządzenia lub metody wymagającej nadmiarowości w celu zabezpieczenia całego systemu przed katastrofalną awarią.

Neuronauka

W neuronauce mapa sensoryczna w mózgu, która ma nakładające się kodowanie bodźców (np. lokalizacja i jakość) nazywana jest mapą ortogonalną.

Hazard

W grach planszowych, takich jak szachy, które mają siatkę kwadratów, „prostokątny” oznacza „w tym samym rzędzie/„rankingu” lub kolumnie/„pliku”. Jest to odpowiednik kwadratów „sąsiadujących po przekątnej”. W starożytnej chińskiej grze planszowej Go gracz może zbić kamienie przeciwnika, zajmując wszystkie sąsiadujące ze sobą punkty.

Inne przykłady

Stereofoniczne płyty winylowe kodują lewy i prawy kanał stereo w jednym rowku. Rowek w kształcie litery V w winylu ma ściany, które są ustawione pod kątem 90 stopni względem siebie, z wariacjami w każdej ścianie osobno kodującym jeden z dwóch kanałów analogowych, które składają się na sygnał stereo. Wkładka wykrywa ruch igły wzdłuż rowka w dwóch prostopadłych kierunkach: 45 stopni od pionu w każdą stronę. Czysty ruch poziomy odpowiada sygnałowi mono, odpowiadającemu sygnałowi stereo, w którym oba kanały przenoszą identyczne sygnały (w fazie).

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura