Forma liniowa - Linear form

W matematyce , A forma liniowa (znany także jako liniowe funkcjonalne , w jednej postaci , albo covector ) jest liniowym z przestrzeni wektorowej jego zakresie od skalarów (Często liczb rzeczywistych lub liczbami zespolonymi ).

Jeśli V jest przestrzenią wektorową nad ciałem k , zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych od V do k sam jest przestrzenią wektorową nad k z dodawaniem i mnożeniem przez skalar określonym punktowo . To miejsce nazywa się podwójną przestrzeń z V lub czasami algebraicznych podwójną przestrzeń , gdy topologii podwójnej przestrzeń jest również uważany. Często jest oznaczany Hom( V , k ) lub, gdy rozumiemy pole k , ; używane są również inne zapisy, takie jak , lub Gdy wektory są reprezentowane przez wektory kolumnowe (co jest powszechne, gdy podstawa jest ustalona), wtedy funkcjonały liniowe są reprezentowane jako wektory wierszowe , a ich wartości na określonych wektorach są podane przez iloczyny macierzowe (z wektor wiersza po lewej). ${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\displaystyle V'}$${\ Displaystyle V ^ {\ #}}$${\ Displaystyle V ^ {\ Vee}.}$

Przykłady

„Funkcja stałego zera”, odwzorowująca każdy wektor na zero, jest trywialnie funkcjonałem liniowym. Każdy inny funkcjonał liniowy (taki jak te poniżej) jest surjektywny (tzn. jego zakres wynosi od k ).

Funkcjonały liniowe w R ⁿ

Załóżmy, że wektory w rzeczywistej przestrzeni współrzędnych są reprezentowane jako wektory kolumnowe ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = {\ zacząć {bmatrix} x_ {1} \ \ \ vdots \ \ x_ {n} \ koniec {bmatrix}}.}$$

Dla każdego wektora wiersza istnieje funkcjonał liniowy zdefiniowany przez ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ zacznij {bmatrix} a_ {1} i \ cdots i a_ {n} \ koniec {bmatrix}}}$${\displaystyle f_{\mathbf {a}}}$

$${\ Displaystyle f_ {\ mathbf {a} } (\ mathbf {x} ) = a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ {n}}$$

Można to zinterpretować jako iloczyn macierzy lub iloczyn skalarny wektora wiersza i wektora kolumny : ${\displaystyle \mathbf {a}}$${\displaystyle \mathbf {x}}$

$${\ Displaystyle f_ {\ mathbf {a} } (\ mathbf {x} ) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {x} = {\ zacząć {bmatrix} a_ {1} i \ cdots i a_ {n} \ end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

(Określona) Integracja

Funkcjonały liniowe po raz pierwszy pojawiły się w analizie funkcjonalnej , badaniu przestrzeni wektorowych funkcji . Typowym przykładem funkcjonału liniowego jest całkowanie : transformacja liniowa zdefiniowana przez całkę Riemanna

$${\ Displaystyle I (f) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ dx}$$

jest funkcjonałem liniowym z przestrzeni wektorowej funkcji ciągłych na przedziale [ a , b ] , do liczb rzeczywistych. Liniowość I wynika ze standardowych faktów dotyczących całki: ${\displaystyle C[a,b]}$

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja (f + g) i = \ int _ {a} ^ {b} [f (x) + g (x)] \ dx = \ int _ {a} ^ { b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{ a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{wyrównany}}}$$

Ocena

Niech P _n oznacza przestrzeń wektorową funkcji wielomianowych o wartościach rzeczywistych stopnia określonego na przedziale [ a , b ] . Jeśli pozwól być ocena funkcjonalna${\ Displaystyle \ leq n}$${\displaystyle c\in [a,b],}$${\ Displaystyle \ operatorname {ev} _ {c}: P_ {n} \ do \ mathbb {R}}$

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$$

${\displaystyle f\mapsto f(c)}$

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (f + g) (c) i = f (c) + g (c) \ \ (\ alfa f) (c) = \ alfa f (c). \ koniec { wyrównany}}}$$

Jeśli są różnymi punktami w [ a , b ] , to funkcjonały ewaluacyjne tworzą podstawę przestrzeni dualnej ( Lax (1996) udowadnia ten ostatni fakt za pomocą interpolacji Lagrange'a ). ${\displaystyle x_{0},\ldots,x_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}}$ ${\displaystyle i=0,\ldots,n}$${\ Displaystyle P_ {n}.}$

Nieprzykładowy

Funkcja mająca równanie prostej z (na przykład ) nie jest funkcjonałem liniowym on , ponieważ nie jest liniowa . Jest jednak afiniowo-liniowy . ${\displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f (x) = a + rx}$${\displaystyle r\neq 0}$${\ Displaystyle f (x) = 1 + 2 x}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Wyobrażanie sobie

Interpretacja geometryczna 1-formy α jako stosu hiperpłaszczyzn o stałej wartości, z których każda odpowiada wektorom, które α mapuje na daną wartość skalarną pokazaną obok niej wraz z „sensem” wzrostu. ten   płaszczyzna zero przechodzi przez początek.

W skończonych wymiarach funkcjonał liniowy można wizualizować w kategoriach jego zbiorów poziomów , zbiorów wektorów, które odwzorowują daną wartość. W trzech wymiarach, zbiory poziomów funkcjonału liniowego są rodziną wzajemnie równoległych płaszczyzn; w wyższych wymiarach są to równoległe hiperpłaszczyzny . Ta metoda wizualizacji funkcjonałami liniowych czasem wprowadzono OTW tekstach, takich jak grawitacji przez Misner Thorne i Wheeler (1973) .

Aplikacje

Zastosowanie do kwadratury

Jeśli są różne punkty [ a , b ] , a następnie Funkcjonały liniowe zdefiniowane powyżej tworzą podstawę z dwoma przestrzeni P _n , przestrzeń wielomianów stopnia Integracja funkcjonalny I jest również liniowy funkcjonalny w P _n , a więc może być wyrażone jako liniowa kombinacja tych podstawowych elementów. W symbolach występują współczynniki, dla których ${\displaystyle x_{0},\ldots,x_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\ Displaystyle \ operatorname {ev} _ {x_ {i}}: f \ mapsto f \ po lewej (x_ {i} \ po prawej)}$${\displaystyle \leq n.}$${\displaystyle a_{0},\ldots,a_{n}}$

$${\ Displaystyle I (f) = a_ {0}f (x_ {0}) + a_ {1} f (x_ {1}) + \ kropki + a_ {n} f (x_ {n})}$$

. ${\ Displaystyle f \ w P_ {n}.}$

W mechanice kwantowej

Funkcjonały liniowe są szczególnie ważne w mechanice kwantowej . Systemy mechaniki kwantowej są reprezentowane przez przestrzenie Hilberta , które są anty - izomorficzne do swoich własnych przestrzeni dualnych. Stan układu mechaniki kwantowej można utożsamić z funkcjonałem liniowym. Więcej informacji można znaleźć w notacji klamrowej .

Dystrybucje

W teorii funkcji uogólnionych pewne rodzaje funkcji uogólnionych zwanych dystrybucjami mogą być realizowane jako funkcjonały liniowe na przestrzeniach funkcji testowych .

Wektory dualne i formy dwuliniowe

Funkcjonały liniowe (1-postaci) α , β i ich sumy σ oraz wektory u , v , w , w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Liczba (1- postaciowych ) hiperpłaszczyzn przecinanych przez wektor jest równa iloczynowi wewnętrznemu .

Każda niezdegenerowana forma dwuliniowa na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V indukuje izomorfizm V → V ^∗  : v ↦ v ^∗ taki, że

$${\ Displaystyle v ^ {*} (w): = \ langle v w \ rangle \ quad \ forall w \ w V}$$

Tam, gdzie postać dwuliniowo o V oznacza się (na przykład w

). ${\ Displaystyle \ langle \ \ cdot \ \ \ cdot \ \ rangle }$ ${\ Displaystyle \ langle v, w \ rangle = v \ cdot w}$

Odwrotny izomorfizm to V ^∗ → V  : v ^∗ ↦ v , gdzie v jest unikalnym elementem V takim, że

$${\ Displaystyle \ langle v, w \ rangle = v ^ {*} (w)}$$

dla wszystkich ${\ Displaystyle w \ w V.}$

Zdefiniowane powyżej wektor V ^* ∈ V ^* jest uważany za podwójny wektor z${\ Displaystyle v \ w V.}$

W nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta analogiczne wyniki utrzymuje twierdzenie Riesza o reprezentacji . Istnieje odwzorowanie V → V ^∗ na ciągłą przestrzeń dualną V ^∗ .

Stosunek do baz

Poniżej zakładamy, że wymiar jest skończony. Aby zapoznać się z omówieniem analogicznych wyników w nieskończonych wymiarach, zobacz podstawę Schaudera .

Podstawa podwójnej przestrzeni

Niech przestrzeń wektorowa V ma bazę , niekoniecznie

zdefiniowaną przez specjalną właściwość, która: ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ kropki, \ mathbf {e} _ {n}}$ ${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ Displaystyle {\ tylda {\ omega}} ^ {1}, {\ tylda {\ omega}} ^ {2}, \ kropki, {\ tylda {\ omega}} ^ {n}}$

$${\ Displaystyle {\ tylda {\ omega}} ^ {i} (\ mathbf {e} _ {j}) = {\ zacząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} \ i = j \ \ 0 i {\ tekst{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}$$

Lub, bardziej zwięźle,

$${\ Displaystyle {\ tylda {\ omega}} ^ {i} (\ mathbf {e} _ {j}) = \ delta _ {ij}}$$

gdzie δ jest deltą Kroneckera . Tutaj indeksy górne funkcjonałów bazowych nie są wykładnikami, lecz indeksami kontrawariantnymi .

Funkcjonal liniowy należący do przestrzeni dualnej można wyrazić jako

, ${\ Displaystyle {\ tylda {u}}}$${\ Displaystyle {\ tylda {V}}}$

$${\ Displaystyle {\ tylda {u}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} \, {\ tylda {\ omega}} ^ {i}.}$$

Następnie zastosowanie funkcjonału do wektora bazowego daje ${\ Displaystyle {\ tylda {u}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$

$${\ Displaystyle {\ tylda {u}} (\ mathbf {e} _ {j}) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo (u_ {i} \, {\ tylda {\ omega} }^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e } _{j}\prawo)\prawo]}$$

ze względu na liniowość skalarnych wielokrotności funkcjonałów i punktową liniowość sum funkcjonałów. Następnie

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ tylda {u}} ({\ mathbf {e}} _ {j}) i = \ suma _ {i} u_ {i} \ lewo [{\ tylda {\ omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\ &=u_{j}.\end{wyrównany}}}$$

Tak więc każdy składnik funkcjonału liniowego można wyodrębnić przez zastosowanie funkcjonału do odpowiedniego wektora bazowego.

Podwójna podstawa i produkt wewnętrzny

Gdy przestrzeń V niesie iloczyn skalarny , to można wprost napisać wzór na bazę dualną danej bazy. Niech V ma (niekoniecznie ortogonalną) bazę W trzech wymiarach (

) bazę dualną można zapisać wprost ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} \ kropki \ mathbf {e} _ {n}}.$

$${\ Displaystyle {\ tylda {\ omega}} ^ {i} (\ mathbf {v} ) = {\ Frac {1} {2}} \ lewo \ langle {\ Frac {\ suma _ {j = 1} ^ {3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf { e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$

w którym

. ${\displaystyle i=1,2,3,}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle }$

W wyższych wymiarach uogólnia się to w następujący sposób

$${\displaystyle {\tylda {\omega}}^{i}(\mathbf {v})=\lewo\langle {\frac {\suma_{1\leq i_{2}<i_{3}<\kropki <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$

gdzie jest

. ${\displaystyle \gwiazda}$

Nad pierścieniem

Moduły nad pierścieniem to uogólnienia przestrzeni wektorowych, co usuwa ograniczenie przynależności współczynników do pola . Mając moduł M nad pierścieniem R , forma liniowa na M jest liniową mapą od M do R , przy czym ta ostatnia jest uważana za moduł nad sobą. Przestrzeń form liniowych zawsze oznaczamy Hom _k ( V , k ) , niezależnie od tego, czy k jest polem, czy nie. Jest to prawy moduł , jeśli V jest lewym modułem.

Istnienie „wystarczających” form liniowych na module jest równoważne rzutowości .

Podwójnej podstawie lematu  -  R - moduł M ma rzutowe , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podzbiór i formy liniowe takie, że dla każdego tylko skończoną wiele są niezerowe i ${\ Displaystyle A \ podzbiór M}$${\ Displaystyle \ {f_ {a} \ mid a \ w A \}}$${\displaystyle x\wm}$${\ Displaystyle f_ {a} (x)}$

$${\ Displaystyle x = \ suma _ {a \ w A} {f_ {a} (x) a}}$$

Zmiana pola

Zobacz też: Złożona struktura liniowa i Złożoność

Załóżmy, że ma przestrzeń wektorową na Ograniczanie skalarne namnażanie się wywołuje się rzeczywistą przestrzeń wektorową o nazwie

. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X_ {\ mathbb {R} }}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle X_ {\ mathbb {R} }}$${\ Displaystyle X = X_ {\ mathbb {R}} \ oplus X_ {\ mathbb {R}} i}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Każdy funkcjonał liniowy on (odpowiednio on ) ma wartość zespoloną (odp. rzeczywistą) i nie jest trywialny (tj. nie identycznie ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest surjektywny (ponieważ jeśli to dla dowolnego skalarnego ), w takim przypadku jego

w , ponieważ jego zakres (co ) jest 2-wymiarowe na odwrót, niezerowy funkcjonał -liniowy ma zakres zbyt mały, aby był również funkcjonałem -liniowym. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X_ {\ mathbb {R} }}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ varphi (x) \ neq 0}$${\displaystyle s,}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ lewo ((s/\ varphi (x)) x \ prawo) = s}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X_ {\ mathbb {R} }}$${\ Displaystyle X ^ {\ #} \ czapka X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ #} = \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ {\ cdot} ^ {\ #}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle 0,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Jeśli then oznacz jej

przez Wtedy i są funkcjonałami liniowymi na i Fakt, że dla wszystkich oznacza, że ​​dla wszystkich${\ Displaystyle \ varphi \ w X ^ {\ #}}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathbb {R}}: = \ nazwa operatora {Re} \ varphi}$${\ Displaystyle \ varphi _ {i}: = \ operatorname {im} \ varphi.}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathbb {R}}: X \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ varphi _ {i}: X \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X_ {\ mathbb {R} }}$${\ Displaystyle \ varphi = \ varphi _ {\ mathbb {R}} + ja \ varphi _ {i}.}$${\ Displaystyle z = \ nazwa operatora {Re} zi \ nazwa operatora {Re} (iz) = \ nazwa operatora {im} (iz) + ja \ nazwa operatora {im} z}$${\ Displaystyle Z \ w \ mathbb {C}}$${\displaystyle x\wX}$

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {4} \ varphi (x) i = \ varphi _ {\ mathbb {R}} (x) \ varphi _ {\ mathbb {R}} (ix) \ \ i =\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}}$$

i w konsekwencji, że i${\ Displaystyle \ varphi _ {i} (x) = - ja \ varphi _ {\ mathbb {R}} (ix)}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathbb {R}} (x) = \ varphi _ {i} (ix).}$

Przyporządkowanie określa

operatora -linear którego odwrócony jest mapa określone zadania , które przesyła się do liniowego funkcyjną określa ${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mapsto} \ varphi _ {\ mathbb {R}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X ^ {\ #} \ do X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ #}}$${\ Displaystyle L_ {\ pocisk}: X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ #} \ do X ^ {\ #}}$${\ Displaystyle g \ mapsto L_ {g}}$${\ Displaystyle g: X_ {\ mathbb {R} } \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle L_ {g}: X \ do \ mathbb {C}}$

$${\ Displaystyle L_ {g} (x): = g (x)-ig (ix) \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} x \ w X.}$$

Rzeczywista część is i bijekcja jest operatorem -liniowym, co oznacza, że i dla wszystkich i Podobnie dla części urojonej, przypisanie indukuje bijekcję -liniową, której odwrotnością jest mapa zdefiniowana przez wysłanie do funkcjonału liniowego na zdefiniowanego przez${\ Displaystyle L_ {g}}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle L_ {\ pocisk}: X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ #} \ do X ^ {\ #}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle L_ {g + h} = L_ {g} + L_ {h}}$${\ Displaystyle L_ {rg} = rL_ {g}}$${\ Displaystyle r \ w \ mathbb {R} }$${\ Displaystyle g, h \ w X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ #}.}$${\ Displaystyle \ varphi \ mapsto \ varphi _ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X ^ {\ #} \ do X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ #}}$${\ Displaystyle X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ #} \ do X ^ {\ #}}$${\ Displaystyle I \ w X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ #}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x \ mapsto I (ix) + II (x).}$

Związek ten został odkryty przez Henry'ego Löwiga w 1934 roku (chociaż zwykle przypisuje się go F. Murrayowi) i można go w naturalny sposób uogólnić na dowolne, skończone rozszerzenia pola . Ma wiele ważnych konsekwencji, z których niektóre zostaną teraz opisane.

Załóżmy, że jest funkcjonałem liniowym z częścią rzeczywistą i częścią urojoną${\ Displaystyle \ varphi: X \ do \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathbb {R}}: = \ nazwa operatora {Re} \ varphi}$${\ Displaystyle \ varphi _ {i}: = \ operatorname {im} \ varphi.}$

• ${\ Displaystyle \ varphi = 0}$wtedy i tylko wtedy, gdy i tylko wtedy, gdy${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathbb {R}} = 0}$${\ Displaystyle \ varphi _ {i} = 0.}$
• Załóżmy, że jest to

.${\ Displaystyle X}$${\displaystyle \varphi}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathbb {R}}}$${\displaystyle \varphi}$${\ Displaystyle \ varphi _ {i}}$${\ Displaystyle \ varphi \ w X ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathbb {R}} \ w X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ prime}}$

Niech If dla wszystkich skalarów o

(czyli ) then${\displaystyle B\subseteq X.}$${\displaystyle uB\subseteq B}$${\ Displaystyle u \ w \ mathbb {C}}$${\displaystyle |u|=1}$

$${\ Displaystyle \ sup _ {b \ w b} | \ varphi (b) | = \ sup _ {b \ w b} \ lewo | \ varphi _ {\ mathbb {R}} (b) \ prawej |.}$$

Jeśli wtedy${\displaystyle iB\subseteqb}$

$${\ Displaystyle \ sup _ {b \ w B} \ po lewej | \ varphi _ {\ mathbb {R}} (b) \ prawej | = \ sup _ {b \ w B} \ po lewej | \ varphi _ {i} (b)\prawo|}$$

gdzie oznacza część złożoną W szczególności, jeśli jest

to${\ Displaystyle \ varphi _ {i}: = \ operatorname {im} \ varphi: X \ do \ mathbb {R}}$${\displaystyle \varphi.}$${\ Displaystyle X}$

$${\ Displaystyle \ | \ Varphi \ | = \ lewo \ | \ Varphi _ {\ mathbb {R}} \ prawo \ | = \ lewo \ | \ Varphi _ {i} \ prawo \ |}$$

gdzie wszystkie normy Operator definiuje się w znany sposób, supremums wartości bezwzględnej w stosunku do zamkniętej jednostki piłki to rozszerza się analogicznym sprawozdania do

. ${\ Displaystyle B = \ {x \ w X: \ | x \ | \ leq 1 \}.}$

• Jeśli jest złożoną

z (wzgl. do ) gwarantuje istnienie unikalnego wektora (wzgl. ), takie, że (wzgl. ) dla wszystkich wektorów twierdzenia także gwarantuje, że i to jest łatwo zweryfikować, że teraz i poprzednie równości wynika, że co do tego samego wniosku, który został osiągnięty powyżej.${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ langle \ \ cdot \, | \ \ cdot \ \ rangle }$${\ Displaystyle X_ {\ mathbb {R} }}$${\ Displaystyle \ langle \ \ cdot \, | \ \ cdot \ \ rangle.}$${\ Displaystyle X_ {\ mathbb {R} }}$${\ Displaystyle \ langle x | y \ rangle _ {\ mathbb {R}}: = \ operatorname {Re} \ langle x | y \ rangle}$${\displaystyle x,y\wX}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ langle \ \ cdot \, | \ \ cdot \ \ rangle }$${\ Displaystyle {\ sqrt {\ langle x | x \ rangle _ {\ mathbb {R}}}} = {\ sqrt {\ langle x | x \ rangle}}}$${\displaystyle x.}$${\ Displaystyle \ varphi \ w X ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathbb {R}} \ w X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ prime}}$${\displaystyle f_{\varphi}\w X}$${\ Displaystyle f_ {\ varphi _ {\ mathbb {R} }} \ w X_ {\ mathbb {R}}}$${\ Displaystyle \ varphi (x) = \ lewo \ langle f_ {\ varphi} | \, x \ prawo \ rangle}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathbb {R}} (x) = \ lewo \ langle f_ {\ varphi _ {\ mathbb {R}}} | \, x \ prawo \ rangle _ {\ mathbb {R}} }$${\displaystyle x.}$${\ Displaystyle \ lewo \ | f_ {\ varphi} \ prawo \ | = \ | \ varphi \ | _ {X ^ {\ prime}}}$${\ Displaystyle \ lewo \ | f_ {\ varphi _ {\ mathbb {R}}} \ po prawej \ | = \ po lewej \ | \ varphi _ {\ mathbb {R}} \ po prawej \ | _ {X_ {\ mathbb { R} }^{\prim }}.}$${\ Displaystyle f_ {\ varphi } = f_ {\ varphi _ {\ mathbb {R}}}.}$${\ Displaystyle \ lewo \ | f_ {\ varphi} \ prawo \ | = \ lewo \ | f_ {\ varphi _ {\ mathbb {R}}} \ po prawej \ |}$${\ Displaystyle \ | \ varphi \ | _ {X ^ {\ prime}} = \ lewo \ | \ varphi _ {\ mathbb {R}} \ prawo \ | _ {X_ {\ mathbb {R}} ^ {\ główny }},}$

W nieskończonych wymiarach

Zobacz też: Ciągły operator liniowy

Poniżej wszystkie przestrzenie wektorowe są nad liczbami rzeczywistymi lub

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$

Jeśli jest topologiczną przestrzenią wektorową , przestrzeń ciągłych funkcjonałów liniowych — ciągły dualny — jest często nazywana po prostu przestrzenią dualną. Jeśli jest przestrzenią Banacha , to jej (ciągła) podwójna. Aby odróżnić zwykłą przestrzeń dualną od ciągłej przestrzeni dualnej, ta pierwsza jest czasami nazywana algebraiczną przestrzenią dualną . W wymiarach skończonych każdy funkcjonał liniowy jest ciągły, więc ciągły dual jest taki sam jak dual algebraiczny, ale w wymiarach nieskończonych ciągły dual jest właściwą podprzestrzenią duala algebraicznego. ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V}$

Liniowy funkcjonał f na (niekoniecznie lokalnie wypukłej ) topologicznej przestrzeni wektorowej X jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciągła półnorma p na X taka, że${\displaystyle |f|\leq p.}$

Charakteryzacja podprzestrzeni zamkniętych

Ciągłe funkcjonały liniowe mają ładne właściwości do analizy : funkcjonał liniowy jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jego jądro jest zamknięte, a nietrywialny ciągły funkcjonał liniowy jest mapą otwartą , nawet jeśli (topologiczna) przestrzeń wektorowa nie jest kompletna.

Hiperpłaszczyzny i maksymalne podprzestrzenie

Wektor podprzestrzeń z nazywany jest maksymalna , gdy (czyli a ) i nie istnieją podprzestrzeni wektorowych z takim, że A wektor podprzestrzeń z jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest jądrem niektóre nietrywialne liniowy funkcjonalny na (czyli dla niektórych funkcjonalna liniowa na której nie jest identycznie 0 ). Hiperpłaszczyzna affine w to tłumaczyć z maksymalnym wektora podprzestrzeni. Przez liniowość, podzbiór od jest hiperpłaszczyzna afiniczną, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kilka nietrywialnym liniowy funkcjonalny w taki sposób, że Jeśli liniowa funkcjonalne i jest skalar następnie Równość ta może być stosowana do powiązania różnych zestawów szczebla Ponadto, jeśli następnie jądro może być zrekonstruowane z hiperpłaszczyzny afinicznej przez${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle M\subsetneq X}$${\displaystyle M\subseteq X}$${\displaystyle M\neq X}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle M\subsetneq N\subsetneq X.}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M = \ Ker f}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle H = f ^ {-1} (1) = \ {x \ w X: f (x) = 1 \}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s\neq 0}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (s) = s \ lewo (f ^ {-1} (1) \ po prawej) = \ po lewej ({\ Frac {1} {s}} f \ po prawej) ^ {- 1}(1).}$${\displaystyle fa.}$${\displaystyle f\neq 0}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle H: = f ^ {-1} (1)}$${\ Displaystyle \ ker f = HH.}$

Związki między wieloma funkcjonałami liniowymi

Dowolne dwie funkcjonały liniowe z tym samym jądrem są proporcjonalne (tj. wielokrotności skalarne). Fakt ten można uogólnić do następującego twierdzenia.

Jeśli f jest nietrywialnym funkcjonałem liniowym na X z jądrem N , spełnia, a U jest zrównoważonym podzbiorem X , wtedy wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich${\ Displaystyle x \ w X}$${\ Displaystyle f (x) = 1,}$${\ Displaystyle N \ czapka (x + U) = \ varnothing}$${\ Displaystyle | f (u) | <1}$${\ Displaystyle u\ w U.}$

Twierdzenie Hahna-Banacha

Dowolny (algebraiczny) funkcjonał liniowy na podprzestrzeni wektorowej może być rozszerzony na całą przestrzeń; na przykład, funkcjonały ewaluacyjne opisane powyżej mogą być rozszerzone do przestrzeni wektorowej wielomianów na wszystkich. Jednak rozszerzenie to nie zawsze może być wykonane przy zachowaniu ciągłości funkcjonału liniowego. Rodzina twierdzeń Hahna-Banacha podaje warunki, w których można to rozszerzyć. Na przykład, ${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Hahn-Banacha zdominowane twierdzenie przedłużenie ( Rudin 1991 , Th 3.2).  -  Jeżeli jest funkcją sublinear i jest liniowy funkcjonalny w liniowej podprzestrzeni zdominowanym przez P na M , to istnieje liniowe rozszerzenie z F na całą przestrzeń X, który jest zdominowany przez p , tzn. istnieje funkcjonał liniowy F taki, że ${\displaystyle p:X\do \mathbb {R}}$${\ Displaystyle f: M \ do \ mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\subseteq X}$${\ Displaystyle F: X \ do \ mathbb {R} }$

$${\ Displaystyle F (m) = f (m)}$$

dla wszystkich i ${\displaystyle m\wm}$

$${\ Displaystyle | F (x) | \ leq p (x)}$$

dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w X.}$

Równociągłość rodzin funkcjonałów liniowych

Niech X będzie topologiczną przestrzenią wektorową (TVS) z ciągłą przestrzenią dualną ${\displaystyle X'.}$

Dla każdego podzbioru H z poniższych wyrażeń: ${\displaystyle X',}$

1. H jest równociągły ;
2. H , znajduje się w polarnym niektórych sąsiedztwiez X ;${\ Displaystyle 0}$
3. (pre) polarny z H jest otoczeniem w X ;${\ Displaystyle 0}$

Jeśli H jest equicontinuous podzbiór to następujące ustawienia są również equicontinuous: the osłabienie siły * zamknięciu, zrównoważony kadłuba The wypukłej powłoce , a wypukłe wynosi kadłuba . Co więcej, twierdzenie Alaoglu implikuje, że domknięcie słabe-* podzbioru równociągłego jest słabe- * zwarte (a zatem każdy podzbiór równociągły słaby-* jest względnie zwarty). ${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$

Zobacz też

• Nieciągła mapa liniowa
• Lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa  – Przestrzeń wektorowa o topologii określonej przez wypukłe zbiory otwarte
• Dodatnia funkcjonalna liniowa
• Forma wieloliniowa  – mapowanie z wielu wektorów do podstawowego pola skalarów, liniowe w każdym argumencie
• Topologiczna przestrzeń  wektorowa – Przestrzeń wektorowa z pojęciem bliskości

Uwagi

Przypisy

Dowody

Bibliografia

Bibliografia

• Axler, Sheldon (2015), algebra liniowa zrobione w prawo , teksty licencjackie z matematyki (3rd ed.), Springer , ISBN 978-3-319-11079-0
• Biskup Ryszard ; Goldberg, Samuel (1980), „Rozdział 4”, Analiza tensorowa na rozmaitościach , Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
• Conway, John B. (1990). Kurs analizy funkcjonalnej . Teksty magisterskie z matematyki. 96 (wyd. 2). Springer . Numer ISBN 0-387-97245-5.
• Dunford, Nelson (1988). Operatory liniowe (w języku rumuńskim). Nowy Jork: Interscience Publishers. Numer ISBN 0-471-60848-3. OCLC  18412261 .
• Halmos, Paul Richard (1974), skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe , teksty licencjackie z matematyki (1958, wyd. 2), Springer , ISBN 0-387-90093-4
• Katznelson, Icchak ; Katznelson, Yonatan R. (2008), A (zwięzły) Wprowadzenie do algebry liniowej , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-4419-9
• Lax, Peter (1996), algebra liniowa , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
• Misner, Karol W. ; Thorne, Kip S .; Wheeler, John A. (1973), Grawitacja , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matth . Numer ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Odcisk Springer. Numer ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schutz, Bernard (1985), „Rozdział 3”, Pierwszy kurs ogólnej teorii względności , Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Tu, Loring W. (2011), Wprowadzenie do Manifolds , Universitext (2nd ed.), Springer , ISBN 978-0-8218-4419-9
• Wilansky, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .