Gęsty zestaw - Dense set

W topologii i powiązanych dziedzinach matematyki , A podzbiór o topologii przestrzeni X, nazywany jest gęsta (z X ), gdy każdy punkt x w X, albo należy do A lub jest punktu granicznego z A ; to znaczy, że zamknięcie o A stanowi cały zestaw X . Nieformalnie, dla każdego punktu w X , punkt jest albo w A, albo arbitralnie "blisko" elementu A — na przykład liczby wymierne są gęstym podzbiorem liczb rzeczywistych, ponieważ każda liczba rzeczywista jest liczbą wymierną lub ma liczba wymierna arbitralnie zbliżona do niej (patrz przybliżenie diofantyczne ).

Formalnie, podzbiór topologicznej przestrzeni X jest gęsta w X, jeśli dla każdego punktu X na X , każda sąsiedztwa z X zawiera co najmniej jeden punkt A (tj jest niepusty przecięcia z każdą niepusty otwarte podzestawu z X ). Równoważnie jest gęsta w X , wtedy i tylko wtedy, gdy najmniejsza zamknięty podzbiór z X zawierający A jest X siebie. To również może być wyrażona przez mówiąc, że zamknięcie z A jest X , albo że wnętrze z komplementarną z A jest pusta.

Gęstość topologicznej przestrzeni X jest najmniej liczność gęstej podzbioru X .

Gęstość w przestrzeniach metrycznych

Alternatywna definicja zbioru gęstego w przypadku przestrzeni metrycznych jest następująca. Gdy Topologia z X jest podawany przez metrykę The zamknięcie od A do X jest związek o A i zbiór wszystkich granic ciągów elementów w A (jego punkt skupienia ), ${\displaystyle {\overline {A}}}$

${\ Displaystyle {\ overline {A}} = A \ filiżanka \ lewo \ {\ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n} \ mid a_ {n} \ w A {\ tekst {dla wszystkich}} n \w \mathbb {N} \prawo\}}$

Wtedy A jest gęste w X jeśli

${\ Displaystyle {\ Overline {A}} = X.}$

Jeśli jest ciągiem gęstych zbiorów otwartych w pełnej przestrzeni metrycznej X , to również jest gęsty w X . Fakt ten jest jedną z równoważnych form twierdzenia o kategorii Baire'a . ${\ Displaystyle \ lewo \ {U_ {n} \ prawo \}}$${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$

Przykłady

Te prawdziwe numery ze zwykłymi topologii mają liczby wymierne jako policzalnych podzbioru, który pokazuje, że gęsty liczność z gęstym podzbiorem przestrzeni topologicznej może być ściśle mniejszy niż liczności samej przestrzeni. W liczb niewymiernych są kolejnym gęsty podzbiór, który pokazuje, że przestrzeń topologiczna może mieć kilka rozłączne podzbiory gęste (w szczególności dwa podzbiory gęste mogą być dla siebie nawzajem komplementarne), a oni nie muszą być nawet o tej samej liczności. Może jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że zarówno racjonalne, jak i irracjonalne mają puste wnętrza, co pokazuje, że gęste zbiory nie muszą zawierać żadnego niepustego zbioru otwartego. Przecięcie dwóch gęstych otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej znów jest gęste i otwarte.

Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa o aproksymacji , dowolna dana ciągła funkcja o wartości zespolonej zdefiniowana na przedziale domkniętym [ a ,  b ] może być równomiernie aproksymowana tak ściśle, jak jest to pożądane przez funkcję wielomianową . Innymi słowy, funkcje wielomianowe są gęste w przestrzeni C[ a ,  b ] ciągłych funkcji o wartościach zespolonych na przedziale [ a ,  b ] wyposażonych w normę najwyższą .

Każda przestrzeń metryczna jest gęsta w swojej realizacji .

Nieruchomości

Każda przestrzeń topologiczna jest gęstym podzbiorem samej siebie. Dla zbioru X wyposażonego w topologię dyskretną cała przestrzeń jest jedynym gęstym podzbiorem. Każdy niepusty podzbiór zbioru X wyposażony w trywialną topologię jest gęsty, a każda topologia, dla której każdy niepusty podzbiór jest gęsty, musi być trywialna.

Gęstość jest przechodnia : Biorąc pod uwagę trzy podzbiory A , B i C przestrzeni topologicznej X z A ⊆ B ⊆ C ⊆ X takie, że A jest gęste w B i B jest gęste w C (w odpowiedniej topologii podprzestrzeni ), to A jest również gęste w C .

Obrazu gęstej podzbioru pod suriekcją ciągłej funkcji ponownie gęsta. Gęstość przestrzeni topologicznej (najmniejsza kardynalność jej gęstych podzbiorów) jest topologicznym niezmiennikiem .

Przestrzeń topologiczna z połączonym gęstym podzbiorem jest z konieczności połączona sama.

Funkcje ciągłe w przestrzeni Hausdorffa są określone przez ich wartości w gęstych podzbiorach: jeśli dwie funkcje ciągłe f , g  : X → Y w przestrzeni Hausdorffa Y zgadzają się na gęsty podzbiór X, to zgadzają się na wszystkich X .

Dla przestrzeni metrycznych istnieją przestrzenie uniwersalne, w które można wbudować wszystkie przestrzenie o danej gęstości : przestrzeń metryczna o gęstości α jest izometryczna do podprzestrzeni C([ ^0,1 ] ^α , R ) , przestrzeń rzeczywistych funkcji ciągłych na produkt z alfa kopii odstępu jednostkowego .

Powiązane pojęcia

Punkt x podzbioru A topologicznej przestrzeni X nazywa się punkt krańcowy z A (w X ), jeśli każdy sąsiedztwie X zawiera punkt inny niż X , sam i samodzielnie punkt z A inaczej. Mówi się, że podzbiór bez punktów izolowanych jest gęsty sam w sobie .

Podzbiór A przestrzeni topologicznej X nazywany jest nigdzie gęstym (w X ), jeśli nie ma sąsiedztwa w X, na którym A jest gęste. Równoważnie podzbiór przestrzeni topologicznej nie jest nigdzie gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze jej zamknięcia jest puste. Wnętrze dopełnienia nigdzie gęstego zestawu jest zawsze gęste. Dopełnieniem zbioru zamkniętego nigdzie gęstego jest zbiór gęsty otwarty. Biorąc pod uwagę przestrzeń topologiczną X , podzbiór A zbioru X , który można wyrazić jako sumę przeliczalnie wielu nigdzie gęstych podzbiorów X , nazywa się skromnym . Liczby wymierne, choć gęste w liczbach rzeczywistych, są skromne jako podzbiór liczb rzeczywistych.

Przestrzeń topologiczna z przeliczalnym podzbiorem gęstym nazywana jest separowalną . Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią Baire'a wtedy i tylko wtedy, gdy przecięcie przeliczalnie wielu gęstych zbiorów otwartych jest zawsze gęste. Przestrzeń topologiczną nazywamy rozdzielczą, jeśli jest sumą dwóch rozłącznych gęstych podzbiorów. Mówiąc bardziej ogólnie, przestrzeń topologiczna jest nazywana κ-rozkładalną dla kardynalnego κ, jeśli zawiera κ parami rozłącznych gęstych zbiorów.

Osadzanie przestrzeni topologicznej X jako gęsty podzbiór przestrzeni zwartej nazywany jest zwarte z X .

Liniowy operatora pomiędzy topologiczne przestrzenie wektorowe X i Y mówi się gęsto określony , jeżeli jego domena jest gęsta podzbiór X i jeśli jego zakres jest zawarty w Y . Zobacz także ciągłe wydłużanie liniowe .

Przestrzeń topologiczna X jest hiperpołączona wtedy i tylko wtedy, gdy każdy niepusty zbiór otwarty jest gęsty w X . Przestrzeń topologiczna jest submaksymalna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy gęsty podzbiór jest otwarty.

Jeśli jest przestrzenią metryczną, to mówimy, że niepusty podzbiór Y jest ε-gęsty, jeśli ${\ Displaystyle \ po lewej (X, d_ {X} \ po prawej)}$

${\ Displaystyle (\ forall x \ w X) \ (\ istnieje r \ w Y) \ d_ {X} (x, y) \ leq \ varepsilon.}$

Można wtedy pokazać, że D jest gęste wtedy i tylko wtedy, gdy jest ε-gęste dla każdego${\ Displaystyle \ po lewej (X, d_ {X} \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ varepsilon > 0.}$

Zobacz też

• Twierdzenie Blumberga
• Gęsty porządek
• Gęsty (teoria sieci)

Bibliografia

Uwagi

Ogólne odniesienia