Punkt izolowany - Isolated point

"0" jest punktem izolowanym A = {0} ∪ [1, 2]

W matematyce , A punkt x nazywa się pojedyncze punkty podzbioru S (w przestrzeni topologicznej X ), jeśli x jest elementem S i istnieje sąsiedztwa z X , które nie zawierają żadnych innych punktów S . Jest to równoważne ze stwierdzeniem, że pojedyncza { x } jest zbiorem otwartym w przestrzeni topologicznej S (uważane jako podprzestrzeni z X ). Inne równoważne formulacja: element x z S jest wyizolowaną punkt S , wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktu granicznego z S .

Jeśli przestrzeń X jest przestrzenią euklidesową (lub dowolną inną przestrzenią metryczną ), to element x z S jest izolowanym punktem S, jeśli wokół x istnieje otwarta kula, która nie zawiera innych punktów S .

Powiązane pojęcia

Zbiór składający się tylko z izolowanych punktów nazywany jest zbiorem dyskretnym (zobacz także przestrzeń dyskretna ). Każdy dyskretny podzbiór S przestrzeni euklidesowej musi być policzalny , ponieważ wyizolowanie każdego z jego punktów wraz z faktem, że wymierne są gęste w rzeczywistych oznacza, że ​​punkty S mogą być odwzorowane na zbiór punktów o wymiernych współrzędnych, których jest ich tylko przeliczalnie wiele. Jednak nie każdy zbiór policzalny jest dyskretny, czego kanonicznym przykładem są liczby wymierne w ramach zwykłej metryki euklidesowej.

O zbiorze bez punktu izolowanego mówimy, że jest sam w sobie gęsty (każde sąsiedztwo punktu zawiera inne punkty zbioru). Zbiór domknięty bez punktu izolowanego nazywany jest zbiorem doskonałym (ma wszystkie swoje punkty graniczne i żaden z nich nie jest od niego odizolowany).

Liczba punktów izolowanych jest niezmiennikiem topologicznym , tzn. jeśli dwie przestrzenie topologiczne i są homeomorficzne , liczba punktów izolowanych w każdej jest równa. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

Przykłady

Standardowe przykłady

Topologiczne przestrzenie w poniższych trzech przykładach, są uważane za podprzestrzeni w rzeczywistym zgodnie z normą topologii.

• Dla zbioru punkt 0 jest punktem izolowanym.${\ Displaystyle S = \ {0 \} \ filiżanka [1,2]}$
• Dla zbioru , każdy z punktów 1/k jest punktem izolowanym, ale 0 nie jest punktem izolowanym, ponieważ istnieją inne punkty w S tak blisko 0, jak to pożądane.${\ Displaystyle S = \ {0 \} \ filiżanka \ {1,1/2, 1/3, \ kropki \}}$
• Zestaw z liczb naturalnych jest dyskretny zestaw.${\ Displaystyle {\ mathbb {N}} = \ {0,1,2, \ ldots \}}$

W przestrzeni topologicznej z topologii , element jest odosobniony punkt, choć należy do zamknięcia z (a zatem, w pewnym sensie, „blisko” ). Taka sytuacja nie jest możliwa w przestrzeni Hausdorffa . ${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle \tau =\{\pusty zestaw,\{a\},X\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle \ {b \}}$${\displaystyle b}$

Morse lemat mówi, że nie zdegenerowane punkty krytyczne niektórych funkcji są izolowane.

Dwa sprzeczne z intuicją przykłady

Rozważmy zbiór punktów w przedziale rzeczywistym tak, aby każda cyfra ich reprezentacji binarnej spełniała następujące warunki: ${\ Displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle (0,1)}$${\displaystyle x_{i}}$

• Albo albo .${\ Displaystyle x_ {i} = 0}$${\displaystyle x_{i}=1}$
• ${\displaystyle x_{i}=1}$tylko dla skończonych wielu indeksów .${\displaystyle i}$
• Jeśli oznacza największy indeks taki, że , to .${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle x_ {m} = 1}$${\ Displaystyle x_ {m-1} = 0}$
• Jeśli i , spełniony jest dokładnie jeden z dwóch następujących warunków: lub .${\displaystyle x_{i}=1}$${\displaystyle ja<m}$${\ Displaystyle x_ {i-1} = 1}$${\displaystyle x_{i+1}=1}$

Nieformalnie warunki te oznaczają, że każda cyfra reprezentacji binarnej, która jest równa 1, należy do pary ...0110..., z wyjątkiem ...010... na samym końcu. ${\displaystyle x}$

Otóż jest zbiorem jawnym składającym się wyłącznie z izolowanych punktów, który ma przeciwintuicyjną własność, że jego zamknięcie jest zbiorem niepoliczalnym . ${\ Displaystyle F}$

Kolejny zestaw o tych samych właściwościach można uzyskać w następujący sposób. Niech będzie zbiorem środkowych trzecich Cantora , niech będzie przedziałami składowymi , i niech będzie zbiorem składającym się z jednego punktu z każdego . Ponieważ każdy zawiera tylko jeden punkt z , każdy punkt z jest punktem izolowanym. Jeśli jednak jest dowolnym punktem w zbiorze Cantora, to każde sąsiedztwo zbioru Cantora zawiera co najmniej jeden , a więc co najmniej jeden punkt . Wynika z tego, że każdy punkt zbioru Cantora leży w domknięciu , a zatem ma domknięcie niepoliczalne. ${\ Displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots}$${\ Displaystyle [0,1]-C}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle I_ {k}}$${\ Displaystyle I_ {k}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle I_ {k}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$

Zobacz też

• Akoda
• Punkt przylegania
• Punkt graniczny

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Punkt izolowany” . MatematykaŚwiat .