Kompletna przestrzeń metryczna - Complete metric space

W analizie matematycznej , A metryki przestrzeni M nazywany jest kompletny (lub przestrzeń Cauchy'ego ), jeśli każdy ciąg Cauchy'ego punktów w M ma limitu , który jest również w M .

Intuicyjnie przestrzeń jest kompletna, jeśli nie ma w niej „brakujących punktów” (wewnątrz lub na granicy). Na przykład zbiór liczb wymiernych nie jest kompletny, ponieważ np. „brakuje” w nim, nawet jeśli można skonstruować ciąg liczb wymiernych Cauchy'ego, który jest do niego zbieżny (patrz dalsze przykłady poniżej). Zawsze można „zapełnić wszystkie dziury”, co prowadzi do skompletowania danej przestrzeni, jak wyjaśniono poniżej.

Definicja

Sekwencja Cauchyego
Ciąg x 1 , x 2 , x 3 , … w przestrzeni metrycznej ( X , d ) nazywa się Cauchy , jeśli dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej r > 0 istnieje dodatnia liczba całkowita N taka , że dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych m , n > N ,
d ( x m , x n ) < r .
Stała rozszerzalności
Stałe rozszerzanie przestrzeni metrycznej jest infimum wszystkich stałych , tak że wtedy, gdy rodzina przecina parami, przecięcie jest niepusty.
Kompletna przestrzeń
Przestrzeń metryczna ( X , d ) jest kompletna, jeśli spełniony jest dowolny z następujących warunków równoważnych:
  1. Każdy ciąg punktów Cauchy'ego w X ma granicę, która jest również w X .
  2. Każda sekwencja Cauchy'ego w X zbiega się w X (to znaczy do pewnego punktu X ).
  3. Stała rozszerzalności ( X , d ) wynosi ≤ 2.
  4. Każde zmniejszenie sekwencja niepusty zamkniętych podzbiorów z X , o średnicy zmierza do 0 ° C, jest niepusty przecięcie : jeśli M n jest zamknięty i niepusty, C n + 1M n dla każdego n , a średnica ( F n ) → 0 , to jest punkt xX wspólny dla wszystkich zbiorów F n .

Przykłady

Przestrzeń P z liczb wymiernych z standardowego metryki podanej przez wartość bezwzględną o różnicę , nie jest kompletna. Rozważmy na przykład ciąg zdefiniowany przez x 1 = 1 i To jest ciąg liczb wymiernych Cauchy'ego, ale nie zbiega się w kierunku żadnej wymiernej granicy: Jeśli ciąg miał granicę x , to rozwiązując koniecznie x 2  = 2, ale żadna liczba wymierna nie ma tej własności. Jednak uważany za ciąg liczb rzeczywistych , zbiega się z liczbą niewymierną .

Otwarty przedział (0,1) , dzięki wartości metryki absolutnej nie jest pełna albo. Ciąg zdefiniowany przez x n =1/nto Cauchy, ale nie ma limitu w danej przestrzeni. Jednak przedział zamknięty [0,1] jest kompletny; na przykład dana sekwencja ma limit w tym przedziale, a limit wynosi zero.

Przestrzeń R liczb rzeczywistych, a przestrzeń C na liczbach zespolonych (z metryki określonej przez wartość bezwzględną) są pełne, a więc jest euklidesowa przestrzeń R n , przy czym zwykle odległość metryki. W przeciwieństwie do tego, nieskończenie wymiarowe znormalizowane przestrzenie wektorowe mogą, ale nie muszą być kompletne; te, które są kompletne, to spacje Banacha . Przestrzeń C [ ,  b ] w funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych w zamkniętym, ograniczonym przedziale jest przestrzeń Banacha, a więc pełna przestrzeń metryczna w odniesieniu do normy supremum . Jednak norma naczelna nie podaje normy na przestrzeń C ( a ,  b ) funkcji ciągłych na ( a ,  b ) , ponieważ może zawierać funkcje nieograniczone. Zamiast tego, przy topologii zwartej zbieżności , C ( a ,  b ) może mieć strukturę przestrzeni Frécheta : lokalnie wypukłej topologicznej przestrzeni wektorowej, której topologia może być indukowana przez kompletną metrykę niezmienną translacji.

Przestrzeń Q p o p liczb -adic jest kompletny dla każdej liczby pierwszej p . Ta przestrzeń wypełnia Q z p -adic danymi w taki sam sposób, R kończy Q ze zwykłymi metryki.

Jeśli S jest zbiorem arbitralnym, to zbiór S N wszystkich ciągów w S staje się pełną przestrzenią metryczną, jeśli zdefiniujemy odległość między ciągami ( x n ) i ( y n ), które mają być1/nGdzie N jest najmniejszy indeks którym x N jest odrębny od y N lub 0 , jeśli nie ma takich wskaźników. Przestrzeń ta jest homeomorficzny do produktu o policzalnych liczby kopii dyskretnej przestrzeni S .

Rozmaitości riemannowskie, które są zupełne, nazywamy rozmaitościami geodezyjnymi ; zupełność wynika z twierdzenia Hopfa–Rinowa .

Niektóre twierdzenia

Każda zwarta przestrzeń metryczna jest kompletna, chociaż kompletne przestrzenie nie muszą być zwarte. W rzeczywistości przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest kompletna i całkowicie ograniczona . Jest to uogólnienie twierdzenia Heinego-Borela , które mówi, że każda zamknięta i ograniczona podprzestrzeń S z R n jest zwarta, a zatem zupełna.

Niech ( X , d ) będzie pełną przestrzenią metryczną. Jeżeli AX jest zbiorem domkniętym, to A także jest zupełne. Niech ( X , d ) będzie przestrzenią metryczną. Jeżeli AX jest pełną podprzestrzenią, to A także jest domknięta.

Jeśli X jest zbiorem, a M jest pełną przestrzenią metryczną, to zbiór B( X , M ) wszystkich funkcji ograniczonych f od X do M jest pełną przestrzenią metryczną. Tutaj definiujemy odległość w B( X , M ) jako odległość w M z najwyższą normą

Jeżeli X jest przestrzeń topologiczna i M jest pełna metryki przestrzeni, a następnie zestaw C, b ( X , M ) składa się z wszystkich ciągłych funkcja ograniczona f od X do M jest zamknięty podprzestrzeń B ( X , M ) , a zatem również pełne .

Twierdzenie baire'a mówi, że każdy kompletny przestrzeń metryczna jest przestrzeń baire'a . Oznacza to, że unia z przeliczalnie wielu nigdzie zwartych podzbiorów przestrzeni ma pustego wnętrza .

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym mówi, że odwzorowanie skrócenia na pełnej przestrzeni metrycznej dopuszcza punkt stały. Twierdzenie o punkcie stałym jest często używane do udowodnienia twierdzenia o funkcji odwrotnej na pełnych przestrzeniach metrycznych, takich jak przestrzenie Banacha.

Twierdzenie  (C. Ursescu)  —  Niech X będzie pełną przestrzenią metryczną i niech S 1 , S 2 , … będzie ciągiem podzbiorów X .

  • Jeśli każdy S i jest zamknięty w X, to .
  • Jeśli każdy S i jest otwarty w X, to .

Ukończenie

Dla dowolnej przestrzeni metrycznej M , można skonstruować kompletną przestrzeń metryczną M′ (która jest również oznaczana jako M ), która zawiera M jako gęstą podprzestrzeń . Ma następującą uniwersalną własność : jeśli N jest jakąkolwiek pełną przestrzenią metryczną , a f jest dowolną jednostajnie ciągłą funkcją od M do N , to istnieje unikalna jednostajnie ciągła funkcja f′ od M′ do N rozciągająca się na f . Przestrzeń M” określa się do izometrii przez tę właściwość (wśród wszystkich przestrzeń zupełna izometrycznie zawierających M ), a nazywany jest ukończenie z M .

Uzupełnienie M można skonstruować jako zestaw klas równoważności sekwencji Cauchy'ego w M . Dla dowolnych dwóch sekwencji Cauchy'ego x  = ( x n ) i y  = ( R n ) w M , można zdefiniować jako dystans

(Ta granica istnieje, ponieważ liczby rzeczywiste są kompletne.) To jest tylko pseudometryka , jeszcze nie metryka, ponieważ dwie różne sekwencje Cauchy'ego mogą mieć odległość 0. Ale „mając odległość 0” jest relacją równoważności na zbiorze wszystkich Cauchy'ego sekwencje, a zbiór klas równoważności jest przestrzenią metryczną, dopełnieniem M . Oryginalna przestrzeń jest osadzona w tej przestrzeni poprzez identyfikację elementu x z M' z klasą równoważności sekwencji w M zbieżną do x (tj. klasa równoważności zawierająca sekwencję o stałej wartości x ). Definiuje to izometrię w gęstej podprzestrzeni, zgodnie z wymaganiami. Zauważ jednak, że ta konstrukcja wyraźnie wykorzystuje zupełność liczb rzeczywistych, więc uzupełnianie liczb wymiernych wymaga nieco innego traktowania.

Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych jest podobna do powyższej konstrukcji; liczby rzeczywiste są uzupełnieniem liczb wymiernych przy użyciu zwykłej wartości bezwzględnej do pomiaru odległości. Dodatkową subtelnością, z którą należy się zmagać, jest to, że nie jest logicznie dopuszczalne wykorzystanie kompletności liczb rzeczywistych w ich własnej konstrukcji. Niemniej jednak klasy równoważności sekwencji Cauchy'ego są zdefiniowane jak powyżej, a zbiór klas równoważności można łatwo wykazać jako pole, które ma liczby wymierne jako podciało. To pole jest zupełne, dopuszcza naturalne uporządkowanie całkowite i jest unikalnym, całkowicie uporządkowanym zupełnym polem (aż do izomorfizmu). Jest definiowany jako pole liczb rzeczywistych ( więcej szczegółów w sekcji Budowa liczb rzeczywistych ). Jednym ze sposobów wizualizacji tej identyfikacji z liczbami rzeczywistymi, jak się zwykle postrzega, jest to, że klasa równoważności składająca się z tych sekwencji Cauchy'ego liczb wymiernych, które „powinny” mieć daną granicę rzeczywistą, jest identyfikowana z tą liczbą rzeczywistą. Obcięcie rozwinięcia dziesiętnego daje tylko jeden wybór ciągu Cauchy'ego w odpowiedniej klasie równoważności.

Dla doskonałej p , to p numery -adic powstać wykonując liczby wymierne w odniesieniu do innej metryki.

Jeśli wcześniejsza procedura uzupełniania jest zastosowana do unormowanej przestrzeni wektorowej , wynikiem jest przestrzeń Banacha zawierająca oryginalną przestrzeń jako gęstą podprzestrzeń , a jeśli jest zastosowana do wewnętrznej przestrzeni iloczynu , wynikiem jest przestrzeń Hilberta zawierająca oryginalną przestrzeń jako gęsta podprzestrzeń.

Topologicznie kompletne przestrzenie

Kompletność jest właściwością metryki, a nie topologii , co oznacza, że ​​pełna przestrzeń metryczna może być homeomorficzna z niekompletną. Przykładem są liczby rzeczywiste, które są zupełne, ale homeomorficzne z przedziałem otwartym (0,1) , który nie jest zupełny.

W topologii rozpatruje się przestrzenie całkowicie metryzowalne, czyli przestrzenie , dla których istnieje co najmniej jedna kompletna metryka indukująca daną topologię. Przestrzenie całkowicie metryzowalne można scharakteryzować jako te przestrzenie, które można zapisać jako przecięcie niezliczonej liczby otwartych podzbiorów jakiejś pełnej przestrzeni metrycznej. Ponieważ wniosek twierdzenia o kategorii Baire'a ma charakter czysto topologiczny, dotyczy również tych przestrzeni.

Przestrzenie całkowicie metryzowalne są często nazywane topologicznie zupełnymi . Jednak ten ostatni termin jest nieco arbitralny, ponieważ metryka nie jest najbardziej ogólną strukturą w przestrzeni topologicznej, dla której można mówić o kompletności (patrz rozdział Alternatywy i uogólnienia ). Rzeczywiście, niektórzy autorzy używają terminu topologicznie zupełny dla szerszej klasy przestrzeni topologicznych, przestrzeni całkowicie jednolitych .

Przestrzeń topologiczna homeomorficzna z wydzieloną całkowitą przestrzenią metryczną nazywamy przestrzenią polską .

Alternatywy i uogólnienia

Ponieważ sekwencje Cauchy'ego mogą być również definiowane w ogólnych grupach topologicznych , alternatywą dla polegania na strukturze metrycznej do definiowania kompletności i konstruowania dopełnienia przestrzeni jest użycie struktury grupy. Jest to najczęściej widziane w kontekście topologicznych przestrzeni wektorowych , ale wymaga jedynie istnienia ciągłej operacji „odejmowania”. W tym ustawieniu odległość między dwoma punktami x i y jest mierzona nie liczbą rzeczywistą ε za pomocą metryki d w porównaniu d ( x , y ) <  ε , ale przez otwarte sąsiedztwo N równe 0 za pomocą odejmowania w porównaniu x  −  y  ∈  N .

Powszechne uogólnienie tych definicji można znaleźć w kontekście jednolitej przestrzeni , gdzie entourage jest zbiorem wszystkich par punktów, które znajdują się nie więcej niż w określonej „odległości” od siebie.

Możliwe jest również zastąpienie sekwencji Cauchy'ego w definicji zupełności sieciami Cauchy'ego lub filtrami Cauchy'ego . Jeśli każda sieć Cauchy'ego (lub równoważnie każdy filtr Cauchy'ego) ma limit w X , wtedy X jest nazywane kompletnym. Można ponadto skonstruować uzupełnienie dla dowolnej przestrzeni jednolitej podobne do uzupełnienia przestrzeni metrycznych. Najbardziej ogólną sytuacją, w której stosuje się sieci Cauchy'ego, są przestrzenie Cauchy'ego ; one również mają pojęcie zupełności i dopełnienia, podobnie jak jednolite przestrzenie.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia