Odwzorowanie liniowe z przestrzeni wektorowej na jej pole skalarów
W matematyce , A forma liniowa (znany także jako liniowe funkcjonalne , w jednej postaci , albo covector ) jest liniowym z przestrzeni wektorowej jego zakresie od skalarów (Często liczb rzeczywistych lub liczbami zespolonymi ).
Jeśli V jest przestrzenią wektorową nad ciałem k , zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych od V do k sam jest przestrzenią wektorową nad k z dodawaniem i mnożeniem przez skalar określonym punktowo . To miejsce nazywa się podwójną przestrzeń z V lub czasami algebraicznych podwójną przestrzeń , gdy topologii podwójnej przestrzeń jest również uważany. Często jest oznaczany Hom( V , k ) lub, gdy rozumiemy pole k , ; używane są również inne zapisy, takie jak , lub Gdy wektory są reprezentowane przez wektory kolumnowe (co jest powszechne, gdy podstawa jest ustalona), wtedy funkcjonały liniowe są reprezentowane jako wektory wierszowe , a ich wartości na określonych wektorach są podane przez iloczyny macierzowe (z wektor wiersza po lewej).
Przykłady
„Funkcja stałego zera”, odwzorowująca każdy wektor na zero, jest trywialnie funkcjonałem liniowym. Każdy inny funkcjonał liniowy (taki jak te poniżej) jest surjektywny (tzn. jego zakres wynosi od k ).
Funkcjonały liniowe w R n
Załóżmy, że wektory w rzeczywistej przestrzeni współrzędnych są reprezentowane jako wektory kolumnowe
Dla każdego wektora wiersza istnieje funkcjonał liniowy zdefiniowany przez
a każdy funkcjonał liniowy może być wyrażony w tej formie.
Można to zinterpretować jako iloczyn macierzy lub iloczyn skalarny wektora wiersza i wektora kolumny :
(Określona) Integracja
Funkcjonały liniowe po raz pierwszy pojawiły się w analizie funkcjonalnej , badaniu przestrzeni wektorowych funkcji . Typowym przykładem funkcjonału liniowego jest całkowanie : transformacja liniowa zdefiniowana przez całkę Riemanna
jest funkcjonałem liniowym z przestrzeni wektorowej funkcji ciągłych na przedziale [ a , b ] , do liczb rzeczywistych. Liniowość I wynika ze standardowych faktów dotyczących całki:
Ocena
Niech P n oznacza przestrzeń wektorową funkcji wielomianowych o wartościach rzeczywistych stopnia określonego na przedziale [ a , b ] . Jeśli pozwól być ocena funkcjonalna
Mapowanie jest liniowe, ponieważ
Jeśli są różnymi punktami w [ a , b ] , to funkcjonały ewaluacyjne tworzą podstawę przestrzeni dualnej ( Lax (1996) udowadnia ten ostatni fakt za pomocą interpolacji Lagrange'a ).
Nieprzykładowy
Funkcja mająca równanie prostej z (na przykład ) nie jest funkcjonałem liniowym on , ponieważ nie jest liniowa . Jest jednak afiniowo-liniowy .
Wyobrażanie sobie
Interpretacja geometryczna 1-formy
α jako stosu
hiperpłaszczyzn o stałej wartości, z których każda odpowiada wektorom, które
α mapuje na daną wartość skalarną pokazaną obok niej wraz z „sensem” wzrostu. ten
płaszczyzna zero przechodzi przez początek.
W skończonych wymiarach funkcjonał liniowy można wizualizować w kategoriach jego zbiorów poziomów , zbiorów wektorów, które odwzorowują daną wartość. W trzech wymiarach, zbiory poziomów funkcjonału liniowego są rodziną wzajemnie równoległych płaszczyzn; w wyższych wymiarach są to równoległe hiperpłaszczyzny . Ta metoda wizualizacji funkcjonałami liniowych czasem wprowadzono OTW tekstach, takich jak grawitacji przez Misner Thorne i Wheeler (1973) .
Aplikacje
Zastosowanie do kwadratury
Jeśli są różne punkty [ a , b ] , a następnie Funkcjonały liniowe zdefiniowane powyżej tworzą podstawę z dwoma przestrzeni P n , przestrzeń wielomianów stopnia Integracja funkcjonalny I jest również liniowy funkcjonalny w P n , a więc może być wyrażone jako liniowa kombinacja tych podstawowych elementów. W symbolach występują współczynniki, dla których
dla wszystkich Stanowi to podstawę teorii
kwadratury numerycznej .
W mechanice kwantowej
Funkcjonały liniowe są szczególnie ważne w mechanice kwantowej . Systemy mechaniki kwantowej są reprezentowane przez przestrzenie Hilberta , które są anty - izomorficzne do swoich własnych przestrzeni dualnych. Stan układu mechaniki kwantowej można utożsamić z funkcjonałem liniowym. Więcej informacji można znaleźć w notacji klamrowej .
Dystrybucje
W teorii funkcji uogólnionych pewne rodzaje funkcji uogólnionych zwanych dystrybucjami mogą być realizowane jako funkcjonały liniowe na przestrzeniach funkcji testowych .
Wektory dualne i formy dwuliniowe
Każda niezdegenerowana forma dwuliniowa na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V indukuje izomorfizm V → V ∗ : v ↦ v ∗ taki, że
Tam, gdzie postać dwuliniowo o V oznacza się (na przykład w
przestrzeni euklidesowej } oznacza iloczyn skalarny z V i W ).
Odwrotny izomorfizm to V ∗ → V : v ∗ ↦ v , gdzie v jest unikalnym elementem V takim, że
dla wszystkich
Zdefiniowane powyżej wektor V * ∈ V * jest uważany za podwójny wektor z
W nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta analogiczne wyniki utrzymuje twierdzenie Riesza o reprezentacji . Istnieje odwzorowanie V → V ∗ na ciągłą przestrzeń dualną V ∗ .
Stosunek do baz
Poniżej zakładamy, że wymiar jest skończony. Aby zapoznać się z omówieniem analogicznych wyników w nieskończonych wymiarach, zobacz
podstawę Schaudera .
Podstawa podwójnej przestrzeni
Niech przestrzeń wektorowa V ma bazę , niekoniecznie
ortogonalną . Wtedy przestrzeń dualna ma bazę zwaną bazą dualną zdefiniowaną przez specjalną właściwość, która:
Lub, bardziej zwięźle,
gdzie δ jest deltą Kroneckera . Tutaj indeksy górne funkcjonałów bazowych nie są wykładnikami, lecz indeksami kontrawariantnymi .
Funkcjonal liniowy należący do przestrzeni dualnej można wyrazić jako
kombinację liniową funkcjonałów bazowych ze współczynnikami („składowymi”) u i ,
Następnie zastosowanie funkcjonału do wektora bazowego daje
ze względu na liniowość skalarnych wielokrotności funkcjonałów i punktową liniowość sum funkcjonałów. Następnie
Tak więc każdy składnik funkcjonału liniowego można wyodrębnić przez zastosowanie funkcjonału do odpowiedniego wektora bazowego.
Podwójna podstawa i produkt wewnętrzny
Gdy przestrzeń V niesie iloczyn skalarny , to można wprost napisać wzór na bazę dualną danej bazy. Niech V ma (niekoniecznie ortogonalną) bazę W trzech wymiarach (
n = 3 ) bazę dualną można zapisać wprost
w którym ε jest symbolem Levi Civita i produkt wewnętrzna (lub iloczyn skalarny ) na V .
W wyższych wymiarach uogólnia się to w następujący sposób
gdzie jest operator gwiazdy Hodge .
Nad pierścieniem
Moduły nad pierścieniem to uogólnienia przestrzeni wektorowych, co usuwa ograniczenie przynależności współczynników do pola . Mając moduł M nad pierścieniem R , forma liniowa na M jest liniową mapą od M do R , przy czym ta ostatnia jest uważana za moduł nad sobą. Przestrzeń form liniowych zawsze oznaczamy Hom k ( V , k ) , niezależnie od tego, czy k jest polem, czy nie. Jest to prawy moduł , jeśli V jest lewym modułem.
Istnienie „wystarczających” form liniowych na module jest równoważne rzutowości .
Zmiana pola
Załóżmy, że ma przestrzeń wektorową na Ograniczanie skalarne namnażanie się wywołuje się rzeczywistą przestrzeń wektorową o nazwie
realification z
dowolnego miejsca wektora przez to również miejsce przez wektor , wyposażony w złożonej strukturze ; to znaczy, istnieje rzeczywista podprzestrzeń wektorowa taka, że możemy (formalnie) pisać jako -przestrzenie wektorowe .
Każdy funkcjonał liniowy on (odpowiednio on ) ma wartość zespoloną (odp. rzeczywistą) i nie jest trywialny (tj. nie identycznie ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest surjektywny (ponieważ jeśli to dla dowolnego skalarnego ), w takim przypadku jego
obraz to (odp. is ). W konsekwencji jedyną funkcją, która jest zarówno funkcjonałem liniowym on, jak i funkcją liniową on, jest funkcjonał trywialny; innymi słowy, gdzie oznacza algebraiczną przestrzeń dualną przestrzeni . Jednakże, każdy -linear funkcjonalnych jest -linear operator (to znaczy, że dodatek i jednorodny na ), jednak jeśli nie jest identyczny nie jest -linear funkcjonalny w , ponieważ jego zakres (co ) jest 2-wymiarowe na odwrót, niezerowy funkcjonał -liniowy ma zakres zbyt mały, aby był również funkcjonałem -liniowym.
Jeśli then oznacz jej
część rzeczywistą przez i jej część urojoną przez
Wtedy i są funkcjonałami liniowymi na i
Fakt, że dla wszystkich oznacza, że dla wszystkich
i w konsekwencji, że i
Przyporządkowanie określa
bijective operatora -linear którego odwrócony jest mapa określone zadania , które przesyła się do liniowego funkcyjną określa
Rzeczywista część is i bijekcja jest operatorem -liniowym, co oznacza, że i dla wszystkich i Podobnie dla części urojonej, przypisanie indukuje bijekcję -liniową, której odwrotnością jest mapa zdefiniowana przez wysłanie do funkcjonału liniowego na zdefiniowanego przez
Związek ten został odkryty przez Henry'ego Löwiga w 1934 roku (chociaż zwykle przypisuje się go F. Murrayowi) i można go w naturalny sposób uogólnić na dowolne, skończone rozszerzenia pola . Ma wiele ważnych konsekwencji, z których niektóre zostaną teraz opisane.
Załóżmy, że jest funkcjonałem liniowym z częścią rzeczywistą i częścią urojoną
-
wtedy i tylko wtedy, gdy i tylko wtedy, gdy
- Załóżmy, że jest to
topologiczna przestrzeń wektorowa . Wtedy jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej część rzeczywista jest ciągła, wtedy i tylko wtedy , gdy część urojona jest ciągła. Pozostaje to prawdą, jeśli słowo „ciągły” zostanie zastąpione słowem „ ograniczony ”. W szczególności wtedy i tylko wtedy, gdy liczba pierwsza oznacza ciągłą podwójną przestrzeń przestrzeni .
Niech If dla wszystkich skalarów o długości jednostkowej (czyli ) then
Jeśli wtedy
gdzie oznacza część złożoną W szczególności, jeśli jest przestrzenią unormowaną to
gdzie wszystkie normy Operator definiuje się w znany sposób, supremums wartości bezwzględnej w stosunku do zamkniętej jednostki piłki to rozszerza się analogicznym sprawozdania do polary z symetrycznych zbiorów w ogólnych topologicznych przestrzeni wektorowej .
przestrzenią Hilberta z (złożonym) iloczynem wewnętrznym, który jest antyliniowy w swojej pierwszej współrzędnej (i liniowym w drugiej), to staje się rzeczywistą przestrzenią Hilberta, gdy jest obdarzona rzeczywistą częścią Wyraźnie, ten rzeczywisty iloczyn wewnętrzny na jest określony przez dla wszystkich i wywołuje taką samą normę na tak ponieważ wszystkie wektory stosujące reprezentacji twierdzenie Riesza z (wzgl. do ) gwarantuje istnienie unikalnego wektora (wzgl. ), takie, że (wzgl. ) dla wszystkich wektorów twierdzenia także gwarantuje, że i to jest łatwo zweryfikować, że teraz i poprzednie równości wynika, że co do tego samego wniosku, który został osiągnięty powyżej.
W nieskończonych wymiarach
Poniżej wszystkie przestrzenie wektorowe są nad liczbami rzeczywistymi lub
liczbami zespolonymi
Jeśli jest topologiczną przestrzenią wektorową , przestrzeń ciągłych funkcjonałów liniowych — ciągły dualny — jest często nazywana po prostu przestrzenią dualną. Jeśli jest przestrzenią Banacha , to jej (ciągła) podwójna. Aby odróżnić zwykłą przestrzeń dualną od ciągłej przestrzeni dualnej, ta pierwsza jest czasami nazywana algebraiczną przestrzenią dualną . W wymiarach skończonych każdy funkcjonał liniowy jest ciągły, więc ciągły dual jest taki sam jak dual algebraiczny, ale w wymiarach nieskończonych ciągły dual jest właściwą podprzestrzenią duala algebraicznego.
Liniowy funkcjonał f na (niekoniecznie lokalnie wypukłej ) topologicznej przestrzeni wektorowej X jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciągła półnorma p na X taka, że
Charakteryzacja podprzestrzeni zamkniętych
Ciągłe funkcjonały liniowe mają ładne właściwości do analizy : funkcjonał liniowy jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jego jądro jest zamknięte, a nietrywialny ciągły funkcjonał liniowy jest mapą otwartą , nawet jeśli (topologiczna) przestrzeń wektorowa nie jest kompletna.
Hiperpłaszczyzny i maksymalne podprzestrzenie
Wektor podprzestrzeń z nazywany jest maksymalna , gdy (czyli a ) i nie istnieją podprzestrzeni wektorowych z takim, że A wektor podprzestrzeń z jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest jądrem niektóre nietrywialne liniowy funkcjonalny na (czyli dla niektórych funkcjonalna liniowa na której nie jest identycznie 0 ). Hiperpłaszczyzna affine w to tłumaczyć z maksymalnym wektora podprzestrzeni. Przez liniowość, podzbiór od jest hiperpłaszczyzna afiniczną, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kilka nietrywialnym liniowy funkcjonalny w taki sposób, że
Jeśli liniowa funkcjonalne i jest skalar następnie Równość ta może być stosowana do powiązania różnych zestawów szczebla Ponadto, jeśli następnie jądro może być zrekonstruowane z hiperpłaszczyzny afinicznej przez
Związki między wieloma funkcjonałami liniowymi
Dowolne dwie funkcjonały liniowe z tym samym jądrem są proporcjonalne (tj. wielokrotności skalarne). Fakt ten można uogólnić do następującego twierdzenia.
Twierdzenie — Jeśli są funkcjonałami liniowymi na X , to następujące są równoważne:
-
C można zapisać jako liniowa kombinacja z ; to znaczy, istnieją skalary takie, że ;
-
;
- istnieje liczba rzeczywista r taka, że dla wszystkich i wszystkich
Jeśli f jest nietrywialnym funkcjonałem liniowym na X z jądrem N , spełnia, a U jest zrównoważonym podzbiorem X , wtedy wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich
Twierdzenie Hahna-Banacha
Dowolny (algebraiczny) funkcjonał liniowy na podprzestrzeni wektorowej może być rozszerzony na całą przestrzeń; na przykład, funkcjonały ewaluacyjne opisane powyżej mogą być rozszerzone do przestrzeni wektorowej wielomianów na wszystkich. Jednak rozszerzenie to nie zawsze może być wykonane przy zachowaniu ciągłości funkcjonału liniowego. Rodzina twierdzeń Hahna-Banacha podaje warunki, w których można to rozszerzyć. Na przykład,
Równociągłość rodzin funkcjonałów liniowych
Niech X będzie topologiczną przestrzenią wektorową (TVS) z ciągłą przestrzenią dualną
Dla każdego podzbioru H z poniższych wyrażeń:
-
H jest równociągły ;
-
H , znajduje się w polarnym niektórych sąsiedztwiez X ;
- (pre) polarny z H jest otoczeniem w X ;
Jeśli H jest equicontinuous podzbiór to następujące ustawienia są również equicontinuous: the osłabienie siły * zamknięciu, zrównoważony kadłuba The wypukłej powłoce , a wypukłe wynosi kadłuba . Co więcej, twierdzenie Alaoglu implikuje, że domknięcie słabe-* podzbioru równociągłego jest słabe- * zwarte (a zatem każdy podzbiór równociągły słaby-* jest względnie zwarty).
Zobacz też
Uwagi
Dowody
Bibliografia
Bibliografia
-
Axler, Sheldon (2015), algebra liniowa zrobione w prawo , teksty licencjackie z matematyki (3rd ed.), Springer , ISBN 978-3-319-11079-0
-
Biskup Ryszard ; Goldberg, Samuel (1980), „Rozdział 4”, Analiza tensorowa na rozmaitościach , Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
-
Conway, John B. (1990). Kurs analizy funkcjonalnej . Teksty magisterskie z matematyki. 96 (wyd. 2). Springer . Numer ISBN 0-387-97245-5.
-
Dunford, Nelson (1988). Operatory liniowe (w języku rumuńskim). Nowy Jork: Interscience Publishers. Numer ISBN 0-471-60848-3. OCLC 18412261 .
-
Halmos, Paul Richard (1974), skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe , teksty licencjackie z matematyki (1958, wyd. 2), Springer , ISBN 0-387-90093-4
-
Katznelson, Icchak ; Katznelson, Yonatan R. (2008), A (zwięzły) Wprowadzenie do algebry liniowej , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-4419-9
-
Lax, Peter (1996), algebra liniowa , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
-
Misner, Karol W. ; Thorne, Kip S .; Wheeler, John A. (1973), Grawitacja , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
-
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
-
Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matth . Numer ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
-
Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Odcisk Springer. Numer ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
-
Schutz, Bernard (1985), „Rozdział 3”, Pierwszy kurs ogólnej teorii względności , Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5
-
Trèves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
-
Tu, Loring W. (2011), Wprowadzenie do Manifolds , Universitext (2nd ed.), Springer , ISBN 978-0-8218-4419-9
-
Wilansky, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .