Twierdzenie Kodairy o znikaniu - Kodaira vanishing theorem

W matematyce The Kodaira znikające twierdzenie jest podstawowym wynikiem złożonego kolektora teorii i skomplikowanej geometrii algebraicznej opisując ogólne warunki snop cohomology grupy o wskaźniku q > 0, to automatycznie zero. Implikacje dla grupy o indeksie q = 0 są zwykle takie, że jej wymiar — liczba niezależnych sekcji globalnych — pokrywa się z holomorficzną charakterystyką Eulera, którą można obliczyć za pomocą twierdzenia Hirzebrucha–Riemanna–Rocha .

Złożony przypadek analityczny

Stwierdzenie wyniku Kunihiko Kodairy jest takie , że jeśli M jest zwartą rozmaitością Kählera o wymiarze zespolonym n , L dowolna holomorficzna wiązka liniowa na M , która jest dodatnia , a K _M jest kanoniczną wiązką liniową , to

${\ Displaystyle H ^ {q} (M, K_ {M} \ czasami L) = 0}$

dla q > 0. Tutaj oznacza iloczyn tensorowy wiązek liniowych . Za pomocą dualizmu Serre'a uzyskuje się również zniknięcie dla q < n . Istnieje uogólnienie, twierdzenie Kodaira-Nakano znikającego , w którym Ω ⁿ ( L ) oznacza snop holomorficznych ( n ,0)-form na M o wartościach na L , jest zastąpione przez Ω ^r ( L ), snop form holomorficznych ( r ,0) o wartościach na L . Wtedy grupa kohomologii H ^q ( M , Ω ^r ( L )) znika, gdy  q  +  r  >  n . ${\ Displaystyle K_ {M} \ czasami L}$${\ Displaystyle H ^ {q} (M, L ^ {\ otimes -1})}$${\ Displaystyle K_ {M} \ czasami L \ cong \ Omega ^ {n} (L)}$

Przypadek algebraiczny

Twierdzenie Kodairy o znikaniu można sformułować w języku geometrii algebraicznej bez odniesienia do metod transcendentalnych , takich jak metryki Kählera. Dodatność wiązki liniowej L przekłada się na odpowiedni snop odwracalny, który jest duży (tj. pewna moc tensora daje osadzenie rzutowe). Algebraiczne twierdzenie Kodairy-Akizuki-Nakano znikającego jest następujące:

Jeśli k jest polem o charakterystyce zerowej, X jest gładkim i rzutowym k - schematem o wymiarze d , a L jest dużym snopem odwracalnym na X , to

${\ Displaystyle H ^ {q} (X, L \ otimes \ Omega _ {X / k} ^ {p}) = 0 {\ tekst {dla}} p + q> d {\ tekst {i}}}$

${\ Displaystyle H ^ {q} (X, L ^ {\ otimes -1} \ otimes \ Omega _ {X/k} ^ {p}) = 0 {\ tekst {dla}} p + q <d}$

gdzie Ω ^p oznaczają snopy o względnych (algebraicznych) formach różniczkowych (patrz różniczka Kählera ).

Raynaud (1978) wykazał, że wynik ten nie zawsze utrzymuje się nad polami o charakterystyce p > 0, aw szczególności zawodzi dla powierzchni Raynauda . Później Lauritzen i Rao (1997) podali elementarne kontrprzykłady inspirowane odpowiednimi jednorodnymi przestrzeniami z niezredukowanymi stabilizatorami.

Do 1987 r. jedyny znany dowód w charakterystyce zerowej opierał się jednak na złożonym dowodzie analitycznym i twierdzeniach porównawczych GAGA . Jednak w 1987 Pierre Deligne i Luc Illusie przedstawili czysto algebraiczny dowód zanikającego twierdzenia w ( Deligne i Illusie 1987 ). Ich dowód opiera się na wykazaniu, że ciąg widmowy Hodge'a-de Rhama dla kohomologii algebraicznej de Rhama ulega degeneracji w stopniu 1. Pokazuje to, podnosząc odpowiedni, bardziej szczegółowy wynik z cechy p  > 0 — wynik o charakterystyce dodatniej nie obowiązuje bez ograniczeń ale można go podnieść, aby zapewnić pełny wynik.

Konsekwencje i zastosowania

Historycznie twierdzenie Kodaira o osadzeniu zostało wyprowadzone za pomocą twierdzenia o znikaniu. Przy zastosowaniu dualizmu Serre'a zanikanie różnych grup kohomologii snopów (zwykle związanych z kanoniczną wiązką liniową) krzywych i powierzchni pomaga w klasyfikacji złożonych rozmaitości, np . w klasyfikacji Enriquesa-Kodaira .

Zobacz też

• Twierdzenie Kawamata-Viehwega o znikaniu
• Twierdzenie o znikaniu Mumforda
• Twierdzenie o znikaniu Ramanujama

Bibliografia

• Deligne, Pierre; Illusie, Luc (1987), "Relèvements modulo p ² et décomposition du complexe de de Rham", Inventiones Mathematicae , 89 (2): 247-270, Bibcode : 1987InMat..89..247D , doi : 10.1007/BF01389078 , S2CID  119635574
• Esnault, Helena; Viehweg, Eckart (1992), Wykłady o twierdzeniach znikających (PDF) , Seminarium DMV, 20 , Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-2822-1, MR  1193913
• Phillip Griffiths i Joseph Harris , Zasady geometrii algebraicznej
• Kodaira, Kunihiko (1953), „O metodzie geometrii różniczkowej w teorii stosów analitycznych”, Proc. Natl. Acad. Nauka. USA , 39 (12): 1268-1273, Bibcode : 1953PNAS...39.1268K , doi : 10.1073/pnas.39.12.1268 , PMC  1063947 , PMID  16589409
• Lauritzen, Niels; Rao, Prabhakar (1997), "Elementarne kontrprzykłady dla Kodairy zanikających w pierwszej charakterystyce", Proc. Indyjski Acad. Nauka. Matematyka. Nauka. , Springer Verlag, 107 : 21-25, doi : 10.1007/BF02840470 , S2CID  16736679
• Raynaud, Michel (1978), "Contre-exemple au vanishing theorem en caractéristique p>0", CP Ramanujam --- hołd , Tata Inst. Fundusz. Res. Studia z matematyki, 8 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 273-278, MR  0541027