Symetria C - C-symmetry

W fizyce , opłata koniugacji jest transformacja , która przełącza wszystkie cząstki z odpowiadającymi im antycząstki , zmieniając w ten sposób znak wszystkich opłat : nie tylko ładunek elektryczny , ale również do innych opłat istotnych sił. Termin C-symetria jest skrótem od wyrażenia „symetria koniugacji ładunku” i jest używany w dyskusjach na temat symetrii praw fizycznych w ramach koniugacji ładunku. Inne ważne symetrie dyskretne to symetria P (parzystość) i symetria T (odwrócenie czasu).

Te dyskretne symetrie C, P i T są symetriami równań opisujących znane podstawowe siły natury: elektromagnetyzm , grawitację , oddziaływania silne i słabe . Sprawdzenie, czy dane równanie matematyczne poprawnie modeluje przyrodę, wymaga interpretacji fizycznej nie tylko symetrii ciągłej , takiej jak ruch w czasie, ale także jej symetrii dyskretnej, a następnie ustalenie, czy natura trzyma się tych symetrii. W przeciwieństwie do symetrii ciągłych, interpretacja symetrii dyskretnych jest nieco bardziej wymagająca intelektualnie i dezorientująca. Wczesne zaskoczenie pojawiło się w latach pięćdziesiątych, kiedy Chien Shiung Wu wykazał, że oddziaływanie słabe narusza symetrię P (a tym samym C). Przez kilka dziesięcioleci wydawało się, że połączona symetria CP została zachowana, dopóki nie odkryto interakcji naruszających CP . Oba odkrycia prowadzą do nagród Nobla .

Symetria C jest szczególnie kłopotliwa fizycznie, ponieważ wszechświat jest wypełniony głównie materią , a nie antymaterią , podczas gdy naiwna symetria C praw fizycznych sugeruje, że obie powinny być równe. Obecnie uważa się, że naruszenie CP we wczesnym wszechświecie może wyjaśniać „nadmiar”, chociaż debata nie jest rozstrzygnięta. Wcześniejsze podręczniki kosmologii , pochodzące sprzed lat 70., rutynowo sugerowały, że być może odległe galaktyki składają się wyłącznie z antymaterii, utrzymując w ten sposób równowagę netto we wszechświecie na poziomie zerowym.

Ten artykuł koncentruje się na ujawnieniu i wyartykułowaniu symetrii C różnych ważnych równań i układów teoretycznych, w tym równania Diraca i struktury kwantowej teorii pola . Różne cząstki podstawowe można sklasyfikować według zachowania w koniugacji ładunku; jest to opisane w artykule na temat parzystości C .

Nieformalny przegląd

Sprzężenie ładunku występuje jako symetria w trzech różnych, ale ściśle powiązanych ustawieniach: symetria (klasycznych, nieskwantowanych) rozwiązań kilku znaczących równań różniczkowych, w tym równania Kleina-Gordona i równania Diraca , symetria odpowiednich pól kwantowych , aw ogólnym ujęciu symetrię w (pseudo-) riemannowskiej geometrii . We wszystkich trzech przypadkach ostatecznie okazuje się, że symetria jest symetrią w złożonej koniugacji , chociaż dokładnie to, co jest koniugowane, gdzie może być czasami zaciemnione, w zależności od notacji, wyborów współrzędnych i innych czynników.

W dziedzinach klasycznych

Symetria sprzężenia ładunku jest interpretowana jako symetria ładunku elektrycznego , ponieważ we wszystkich trzech przypadkach (klasycznym, kwantowym i geometrycznym) można skonstruować prądy Noether, które przypominają prądy klasycznej elektrodynamiki . Wynika to z faktu, że sama elektrodynamika, poprzez równania Maxwella , może być interpretowana jako struktura na wiązce włókien U(1) , tak zwanej wiązce kołowej . Zapewnia to geometryczną interpretację elektromagnetyzmu: potencjał elektromagnetyczny jest interpretowany jako połączenie manometru ( połączenie Ehresmanna ) na wiązce kołowej . Ta geometryczna interpretacja pozwala następnie (dosłownie prawie) na sprzężenie z polem elektromagnetycznym (dosłownie prawie) wszystkiego, co ma strukturę o wartościach zespolonych, pod warunkiem, że to sprzężenie odbywa się w sposób niezmienny cechowania . Symetria miernika, w tym geometrycznym ustawieniu, jest stwierdzeniem, że gdy poruszamy się po okręgu, sprzężony obiekt musi również przekształcić się w „kołowy sposób”, śledząc w odpowiedni sposób. Mówiąc bardziej formalnie, mówi się, że równania muszą być niezmienne przy zmianie lokalnych układów współrzędnych na okręgu. Dla U (1), to tylko stwierdzenie, że system jest niezmienna przy pomnożeniu przez czynnik fazy , która zależy od (przestrzeń-czas) koordynuje W tym ustawieniu geometrycznym, ładunek koniugacji może być rozumiana jako osobna symetrii , która wykonuje złożone sprzężenie , który odwraca kierunek kierunku wokół okręgu. ${\ Displaystyle A_ {\ mu}}$${\ Displaystyle e ^ {i \ phi (x)}}$${\displaystyle x.}$${\ Displaystyle z = (x + iy) \ mapsto {\ overline {z}} = (x-iy)}$

W teorii kwantowej

W kwantowej teorii pola koniugacja ładunków może być rozumiana jako wymiana cząstek z antycząstkami . Aby zrozumieć to stwierdzenie, trzeba mieć minimalne zrozumienie, czym jest kwantowa teoria pola. W (zdecydowanie) uproszczonym ujęciu, jest to technika wykonywania obliczeń w celu uzyskania rozwiązań układu sprzężonych równań różniczkowych poprzez teorię perturbacji . Kluczowym składnikiem tego procesu jest pole kwantowe , po jednym dla każdego (swobodnego, niezwiązanego) równania różniczkowego w układzie. Pole kwantowe jest konwencjonalnie zapisywane jako

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ int d ^ {3} p \ suma _ {\ sigma, n} e ^ {-ip \ cdot x} a \ lewo ({\ vec {p}}, \ sigma, n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\sztylet }\left({\vec {p}},\ sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

gdzie jest pęd, jest etykietą spinu, jest etykietą pomocniczą dla innych stanów w układzie. Operatory i są operatorami kreacji i anihilacji ( operatory drabinowe ) i są rozwiązaniami (swobodnego, nieoddziałującego, niesprzężonego) równania różniczkowego, o którym mowa. Pole kwantowe odgrywa kluczową rolę, ponieważ na ogół nie wiadomo, jak uzyskać dokładne rozwiązania systemu sprzężonych pytań różniczkowych. Jednak dzięki teorii perturbacji przybliżone rozwiązania mogą być konstruowane jako kombinacje rozwiązań pola swobodnego. Aby wykonać tę konstrukcję, trzeba być w stanie wyodrębnić i pracować z dowolnym danym rozwiązaniem w polu swobodnym, na żądanie, gdy jest to wymagane. Pole kwantowe zapewnia dokładnie to: wylicza wszystkie możliwe rozwiązania pola swobodnego w przestrzeni wektorowej tak, że dowolne z nich można wyróżnić w dowolnym momencie za pomocą operatorów kreacji i anihilacji. ${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{\sztylet}}$${\displaystyle u,v}$

Operatory kreacji i anihilacji są posłuszne kanonicznym relacjom komutacyjnym w tym sensie, że jeden operator „usuwa” to, co drugi „tworzy”. Oznacza to, że każde dane rozwiązanie musi być sparowane z jego „anty-rozwiązaniem” , aby jedno cofało lub anulowało drugie. Parowanie należy przeprowadzić tak, aby wszystkie symetrie zostały zachowane. Ponieważ ogólnie interesuje nas niezmienność Lorentza , pole kwantowe zawiera całkę po wszystkich możliwych układach współrzędnych Lorentza, zapisaną powyżej jako całkę po wszystkich możliwych pędach (jest to całka po włóknie wiązki ramek ). Parowanie wymaga, aby dane skojarzono z a o przeciwnym pędzie i energii. Pole kwantowe jest również sumą wszystkich możliwych stanów spinowych; podwójne parowanie ponownie pasujące do przeciwnych obrotów. Podobnie jak w przypadku innych liczb kwantowych, są one również sparowane jako przeciwieństwa. Istnieje techniczna trudność w przeprowadzeniu tego podwójnego parowania: należy opisać, co to znaczy, że dane rozwiązanie jest „podwójne” w stosunku do innego rozwiązania i opisać je w taki sposób, aby pozostawało konsekwentnie podwójne podczas integracji przez włókno wiązka ramek, podczas całkowania (sumowania) na włóknie opisującym spin oraz podczas całkowania (sumowania) na wszystkich innych włóknach występujących w teorii. ${\ Displaystyle u \ lewo ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ po prawej)}$${\ Displaystyle v \ lewo ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ po prawej)}$${\ Displaystyle u \ lewo ({\ vec {p}} \ prawo)}$${\ Displaystyle v \ lewo ({\ vec {p}} \ prawo)}$${\ Displaystyle u}$${\displaystyle v}$

Gdy włókno, które ma być zintegrowane, jest włóknem U(1) elektromagnetyzmu, podwójne parowanie jest takie, że kierunek (orientacja) na włóknie jest odwrócony. Gdy włókno, które ma zostać zintegrowane, jest włóknem SU(3) ładunku kolorowego , podwójne parowanie ponownie odwraca orientację. To „tylko” za prace SU (3), ponieważ ma dwa podwójne podstawowe reprezentacje i które mogą być naturalnie połączone. Ta recepta na pole kwantowe naturalnie uogólnia każdą sytuację, w której można wyliczyć ciągłe symetrie układu i zdefiniować dualności w spójny, konsekwentny sposób. Para łączy ze sobą przeciwne ładunki w całkowicie abstrakcyjnym sensie. W fizyce ładunek jest powiązany z generatorem ciągłej symetrii. Różne koszty związane są z różnymi eigenspaces tych niezmienników Kazimierza z uniwersalnym otaczającej algebry dla tych symetrii. Dotyczy to zarówno symetrii Lorentza leżącej poniżej rozmaitości czasoprzestrzennej , jak i symetrii dowolnych włókien w wiązce włókien ułożonej nad rozmaitością czasoprzestrzenną. Dualność zastępuje generator symetrii minusem generatora. Sprzężenie ładunku jest więc związane z odbiciem wzdłuż wiązki liniowej lub wiązki wyznacznikowej przestrzeni symetrii. ${\ Displaystyle \ mathbf {3} }$${\displaystyle {\overline {\mathbf {3}}}}$

Powyższe jest zatem zarysem ogólnej idei pola kwantowego w kwantowej teorii pola. Fizyczna interpretacja jest taka, że ​​roztwory odpowiadają cząsteczkom, a roztwory odpowiadają antycząstkom, więc koniugacja ładunku jest parą tych dwóch. Ten szkic zawiera również wystarczająco dużo wskazówek, aby wskazać, jak może wyglądać koniugacja ładunku w ogólnym ustawieniu geometrycznym. Nie ma szczególnego wymuszonego wymogu korzystania z teorii perturbacji, aby skonstruować pola kwantowe, które będą działać jako pośrednicy w perturbacyjnej ekspansji. Koniugacja ładunku może mieć ogólne ustawienie. ${\ Displaystyle u \ lewo ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ po prawej)}$${\ Displaystyle v \ lewo ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ po prawej)}$

W geometrii

Dla ogólnych Riemanna i rozdzielaczy pseudo-Riemanna , jedna posiada wiązkę styczną , a wiązkę cotangent i A metrykę , która łączy je razem. Jest kilka ciekawych rzeczy, które można zrobić w takiej sytuacji. Jednym z nich jest to, że gładka struktura umożliwia postawienie równań różniczkowych na rozmaitości; przestrzenie styczne i kostyczne zapewniają wystarczającą strukturę do przeprowadzenia rachunku różniczkowego na rozmaitościach . Kluczowe znaczenie ma operator Laplace'a , a ze stałym wyrazem, co sprowadza się do operatora Kleina-Gordona. Wiązki kostyczne, ze względu na swoją podstawową budowę, są zawsze rozmaitościami symplektycznymi . Rozmaitości symplektyczne mają współrzędne kanoniczne interpretowane jako położenie i pęd, z zachowaniem kanonicznych relacji komutacji . Zapewnia to podstawową infrastrukturę umożliwiającą rozszerzenie dualności, a tym samym koniugację ładunków, do tego ogólnego ustawienia. ${\displaystyle x,p}$

Drugą interesującą rzeczą, jaką można zrobić, jest skonstruowanie struktury spinowej . Być może najbardziej niezwykłą rzeczą w tym jest to, że jest to bardzo rozpoznawalne uogólnienie do dwuwymiarowej pseudo-Riemanna rozmaitości konwencjonalnej fizyki koncepcji spinorów żyjących w (1,3)-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego . Konstrukcja przechodzi przez skomplikowaną algebrę Clifforda, aby zbudować wiązkę Clifforda i rozmaitość spinową . Na końcu tej konstrukcji otrzymujemy układ, który jest niezwykle znajomy, jeśli jest się już zaznajomionym ze spinorami Diraca i równaniem Diraca. Do tego ogólnego przypadku można prześledzić kilka analogii. Po pierwsze, spinory są spinorami Weyla i występują w parach złożonych sprzężonych. Są naturalnie anty-dojazdy (wynika to z algebry Clifforda), co jest dokładnie tym, co chce się nawiązać z zasadą wykluczenia Pauliego . Innym jest istnienie elementu chiralnego , analogicznego do macierzy gamma, która sortuje te spinory na podprzestrzenie lewoskrętne i prawoskrętne. Kompleksowanie jest kluczowym składnikiem i zapewnia „elektromagnetyzm” w tym uogólnionym otoczeniu. Wiązka spinorowa nie "tylko" przekształca się pod pseudoortogonalną grupą , uogólnieniem grupy Lorentza , ale pod większą grupą, skompleksowaną grupą spinową. Jest większa przez to, że ma podwójne pokrycie o${\displaystyle (p,q)}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {5}}$ ${\displaystyle SO(p,q)}$ ${\displaystyle SO(1,3)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {wirowanie} ^ {\ mathbb {C}} (p, q).}$${\ Displaystyle SO (p, q) \ razy U (1).}$

Kawałek może być utożsamiany z elektromagnetyzmu na kilka różnych sposobów. Jednym ze sposobów jest to, że operatory Diraca na rozmaitości spinowej, po podniesieniu do kwadratu, zawierają kawałek, który powstaje z tej części połączenia skojarzonego z kawałkiem. Jest to całkowicie analogiczne do tego, co się dzieje, gdy podniesiemy do kwadratu zwykłe równanie Diraca w zwykłej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Drugą wskazówką jest to, że ten kawałek jest powiązany z wiązką determinującą struktury spinu, skutecznie wiążąc ze sobą spinory lewoskrętne i prawoskrętne poprzez złożoną koniugację. ${\ Displaystyle U(1)}$${\ Displaystyle F = dA}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle U(1)}$${\ Displaystyle U(1)}$

Pozostaje tylko przepracować dyskretne symetrie powyższej konstrukcji. Istnieje kilka, które wydają się uogólniać P-symetrię i parzystość t . Identyfikując wymiary z czasem, a wymiary z przestrzenią, można odwrócić wektory styczne w podprzestrzeni wymiarowej, aby uzyskać odwrócenie czasu, a odwrócenie kierunku wymiarów odpowiada parzystości. Symetrię C można utożsamić z odbiciem na wiązce liniowej. Aby związać je wszystkie razem w węzeł, w końcu mamy koncepcję transpozycji , w której elementy algebry Clifforda można zapisać w odwrotnej (transponowanej) kolejności. W rezultacie nie tylko konwencjonalne idee fizyki pól przechodzą do ogólnego układu Riemanna, ale także idee symetrii dyskretnych. ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Można na to zareagować na dwa sposoby. Jednym z nich jest potraktowanie tego jako ciekawą ciekawostkę. Drugim jest uświadomienie sobie, że w niskich wymiarach (w niskowymiarowej czasoprzestrzeni) istnieje wiele „przypadkowych” izomorfizmów między różnymi grupami Liego i innymi różnymi strukturami. Możliwość zbadania ich w ogólnym otoczeniu rozplątuje te relacje, ukazując wyraźniej „skąd rzeczy się biorą”.

Koniugacja ładunku dla pól Diraca

Prawa elektromagnetyzmu (zarówno klasycznego, jak i kwantowego ) pozostają niezmienne przy wymianie ładunków elektrycznych z ich negatywami. W przypadku elektronów i kwarków , z których oba są podstawowymi polami fermionowymi , wzbudzenia pola pojedynczych cząstek są opisane równaniem Diraca

${\ Displaystyle (i {\ częściowy \! \! \! {\ duży /}} -q {A \! \! \! {\ duży /}} - m) \ psi = 0}$

Ktoś chciałby znaleźć rozwiązanie sprzężenia ładunku

${\ Displaystyle (i {\ częściowy \! \! \! \! {\ duży /}} + q {A \! \! \! {\ duży /}} - m) \ psi ^ {c} = 0}$

Kilka manipulacji algebraicznych wystarczy, aby uzyskać drugie z pierwszego. Standardowe ekspozycje równania Diraca pokazują pole sprzężone interpretowane jako pole antycząstkowe, spełniające złożone-transponowane równanie Diraca ${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} = \ psi ^ {\ sztylet} \ gamma ^ {0}}$

${\displaystyle {\overline {\psi}}(-i{\częściowy \!\!\!{\duży /}}-q{A\!\!\!{\duży /}}-m)=0 }$

Zwróć uwagę, że niektóre, ale nie wszystkie znaki zostały odwrócone. Transpozycja tego z powrotem daje prawie pożądaną formę, pod warunkiem, że można znaleźć macierz 4×4, która transponuje macierze gamma, aby wprowadzić wymaganą zmianę znaku: ${\displaystyle C}$

${\ Displaystyle C \ gamma _ {\ mu} C ^ {-1} = - \ gamma _ {\ mu} ^ {\ textsf {T}}}$

Rozwiązanie sprzężenia ładunku jest następnie podane przez inwolucję

${\ Displaystyle \ psi \ mapsto \ psi ^ {c} = \eta _ {c} \ C {\ overline {\ psi}} ^ {\ textsf {T}}}$

Macierz 4×4 zwana macierzą sprzężenia ładunku ma wyraźną postać podaną w artykule o macierzach gamma . Co ciekawe, ta forma nie jest niezależna od reprezentacji, ale zależy od konkretnej reprezentacji macierzy wybranej dla grupy gamma (podgrupa algebry Clifforda przechwytująca algebraiczne właściwości macierzy gamma ). Ta macierz jest zależna od reprezentacji ze względu na subtelną interakcję polegającą na złożoności grupy spinowej opisującej kowariancję Lorentza naładowanych cząstek. Liczba zespolona jest arbitralnym czynnikiem fazowym, ogólnie uważanym za${\displaystyle C}$${\ Displaystyle \eta _ {c}}$${\displaystyle |\eta_{c}|=1,}$${\ Displaystyle \eta _ {c} = 1.}$

Koniugacja ładunku, chiralność, helicity

Wzajemne oddziaływanie chiralności i koniugacji ładunku jest nieco subtelne i wymaga artykulacji. Często mówi się, że sprzężenie ładunków nie zmienia chiralności cząstek. Inaczej jest w przypadku pól , różnica wynikająca z interpretacji cząstek „teorii dziur”, gdzie antycząstka jest interpretowana jako brak cząstki. Jest to wyartykułowane poniżej.

Konwencjonalnie jest używany jako operator chiralności. Pod wpływem koniugacji ładunku przekształca się jako ${\ Displaystyle \ gamma _ {5}}$

${\ Displaystyle C \ gamma _ {5} C ^ {-1} = \ gamma _ {5} ^ {\ textsf {T}}}$

i czy równa się czy nie, zależy od wybranej reprezentacji macierzy gamma. W bazie Diraca i chiralnej istnieje to , podczas gdy jest uzyskiwane w bazie Majorany. Poniżej znajduje się praktyczny przykład. ${\ Displaystyle \ gamma _ {5} ^ {\ textsf {T}}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {5}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {5} ^ {\ textsf {T}} = \ gamma _ {5}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {5} ^ {\ textsf {T}} = - \ gamma _ {5}}$

Spinory Weyla

W przypadku bezmasowych pól spinorowych Diraca chiralność jest równa helicity dla rozwiązań z dodatnią energią (i minus helicity dla rozwiązań z ujemną energią). Uzyskuje się to, zapisując bezmasowe równanie Diraca jako

${\ Displaystyle i \ częściowy \! \! \! {\ duży /} \ psi = 0}$

Mnożąc przez jeden otrzymujemy ${\ Displaystyle \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {0} = - ja \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}}$

${\ Displaystyle {\ epsilon _ {ij}} ^ {m} \ sigma ^ {ij} \ częściowy _ {m} \ psi = \ gamma _ {5} \ częściowy _ {t} \ psi}$

gdzie jest operatorem momentu pędu i jest całkowicie antysymetrycznym tensorem . Można to sprowadzić do nieco bardziej rozpoznawalnej postaci, definiując operator spinu 3D przyjmujący stan fali płaskiej , stosując ograniczenie na powłoce i normalizując pęd tak, aby był wektorem jednostkowym 3D: pisać ${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu \ nu} = ja \ lewo [\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ prawej]/2}$${\ Displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {m} \ równoważnik {\ epsilon _ {ij}} ^ {m} \ sigma ^ {ij}}$${\ Displaystyle \ psi (x) = e ^ {-ik \ cdot x} \ psi (k)}$${\ Displaystyle k \ cdot k = 0}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {k}} _ {i} = k_ {i} / k_ {0}}$

${\ Displaystyle \ lewo (\ Sigma \ cdot {\ kapelusz {k}} \ prawej) \ psi = \ gamma _ {5} \ psi ~.}$

Badając powyższe na uwadze, stwierdzono, że kątowe stany własne pędu ( helikalność stany własne) odpowiadają stany własne od operatora chiralnej . Pozwala to pole bezmasowymi Diraca być równo podzielone na pary spinors Weyl i indywidualnie spełniających równanie Weyl , ale o przeciwnym energii: ${\ Displaystyle \ psi _ {\ tekst {L}}}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ tekst {R}},}$

${\ Displaystyle \ lewo (-p_ {0}+ \ sigma \ cdot {\ vec {p}} \ prawo) \ psi _ {\ tekst {R}} = 0}$

oraz

${\ Displaystyle \ lewo (p_ {0}+ \ sigma \ cdot {\ vec {p}} \ prawo) \ psi _ {\ tekst {L}} = 0}$

Zwróć uwagę na wolność, jaką trzeba utożsamiać ujemną spiralność z ujemną energią, a więc antycząstka z cząstką przeciwnej spirali. Aby było jasne, oto macierze Pauliego i jest operatorem pędu. ${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle p_ {\ mu} = ja \ częściowy _ {\ mu}}$

Koniugacja ładunku w bazie chiralnej

Biorąc pod uwagę reprezentację Weyla macierzy gamma, można napisać (obecnie uważany za masywny) spinor Diraca jako

${\ Displaystyle \ psi = {\ zacząć {pmatrix} \ psi _ {\ tekst {L}} \ \ \ psi _ {\ tekst {R}} \ koniec {pmatrix}}}$

Odpowiednie pole podwójne (antycząsteczkowe) to

${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} ^ {\ textsf {T}} = \ lewo (\ psi ^ {\ sztylet} \ gamma ^ {0} \ prawej) ^ {\ textsf {T}} = {\ begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Spinory sprzężone z ładunkiem są

${\ Displaystyle \ psi ^ {c} = {\ zacząć {pmatrix} \ psi _ {\ tekst {L}} ^ {c} \ \ \ psi _ {\ tekst {R}} ^ {c} \ koniec {pmatrix }}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\ 0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\ end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\ psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

gdzie, jak poprzednio, jest czynnikiem fazowym, który można przyjąć. Zauważ, że lewy i prawy stan są wzajemnie zamienione. Można to przywrócić za pomocą transformacji parzystości. Pod parzystością spinor Diraca przekształca się jako ${\ Displaystyle \eta _ {c}}$${\ Displaystyle \eta _ {c} = 1.}$

${\ Displaystyle \ psi \ lewo (t {\ vec {x}} \ prawej) \ mapsto \ psi ^ {p} \ lewo (t {\ vec {x}} \ prawej) = \ gamma ^ {0} \psi \left(t,-{\vec {x}}\right)}$

Pod łącznym ładunkiem i parzystością jeden z nich ma

${\ Displaystyle \ psi \ lewo (t {\ vec {x}} \ prawej) \ mapsto \ psi ^ {cp} \ lewo (t {\ vec {x}} \ prawej) = {\ zacząć {pmatrix} \psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t, {\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{* }\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec { x}}\right)\end{pmatrix}}}$

Konwencjonalnie bierze się globalnie. Zobacz jednak uwagę poniżej. ${\ Displaystyle \eta _ {c} = 1}$

Stan Majorany

Stan Majorana nakłada ograniczenie między polem a jego naładowania koniugatu, a mianowicie, że muszą być równe: Jest to chyba najlepiej określa się jako wymóg, że Spinor Majorana musi być eigenstate z inwolucji opłata koniugacji. ${\ Displaystyle \ psi = \ psi ^ {c}.}$

Takie postępowanie wymaga pewnej uwagi. W wielu tekstach omawiających sprzężenie ładunku inwolucja nie ma wyraźnej nazwy symbolicznej, gdy jest stosowana do jednocząstkowych rozwiązań równania Diraca. Jest to w przeciwieństwie do przypadku, gdy omawiane jest skwantowane pole , gdzie zdefiniowany jest operator unitarny (jak to zrobiono w późniejszej sekcji, poniżej). Na potrzeby niniejszego podrozdziału niech inwolucja zostanie nazwana tak, że biorąc to za operator liniowy, można rozważyć jego stany własne. Warunek Majorany wyróżnia jeden taki: Istnieją jednak dwa takie stany własne: Kontynuując w bazie Weyla, jak powyżej, te stany własne są ${\ Displaystyle \ psi \ mapsto \ psi ^ {c}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathsf {C}}: \ psi \ mapsto \ psi ^ {c}}$${\ Displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi = \ psi ^ {c}.}$${\ Displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi = \ psi.}$${\ Displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi ^ {(\ pm)} = \ pm \ psi ^ {(\ pm)}.}$

${\ Displaystyle \ psi ^ {(+)} = {\ zacząć {pmatrix} \ psi _ {\ tekst {L}} \ \ i \ sigma ^ {2} \ psi _ {\ tekst {L}} ^ {* }\end{pmacierz}}}$

oraz

${\ Displaystyle \ psi ^ {(-)} = {\ zacząć {pmatrix} i \ sigma ^ {2} \ psi _ {\ tekst {R}} ^ {*} \ \ \ psi _ {\ tekst {R} }\end{pmacierz}}}$

Spinor Majorany jest konwencjonalnie traktowany jako pozytywny stan własny, mianowicie operator chiralny wymienia te dwa, w tym ${\ Displaystyle \ psi ^ {(+)}.}$${\ Displaystyle \ gamma _ {5}}$

${\ Displaystyle \ gamma _ {5} \ mathsf {C}} = - {\ mathsf {C}} \ gamma _ {5}}$

Można to łatwo zweryfikować przez bezpośrednie podstawienie. Należy pamiętać, że ma nie mieć reprezentację 4 x 4 matrycy! Dokładniej, nie istnieje złożona macierz 4×4, która mogłaby przyjąć liczbę zespoloną do jej sprzężonej liczby zespolonej; ta inwersja wymagałaby rzeczywistej macierzy 8×8. Fizyczna interpretacja sprzężenia złożonego jako sprzężenia ładunku staje się jasna, gdy rozważamy sprzężenie złożone pól skalarnych, opisane w kolejnej sekcji poniżej. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

Projektory na chiralnych stany własne można zapisać jako a więc powyżej przekłada ${\ Displaystyle P_ {\ tekst {L}} = \ lewo (1-\ gamma _ {5} \ prawej)/2}$${\ Displaystyle P_ {\ tekst {R}} = \ lewo (1+ \ gamma _ {5} \ prawo)/2,}$

${\ Displaystyle P_ {\ tekst {L}} {\ mathsf {C}} = {\ mathsf {C}} P_ {\ tekst {R}} ~.}$

To bezpośrednio pokazuje, że sprzężenie ładunku, zastosowane do jednocząstkowych rozwiązań równania Diraca o wartościach zespolonych, odwraca chiralność rozwiązania. Projektory na przestrzenie własne koniugacji ładunku są i${\ Displaystyle P ^ {(+)} = (1+ {\ mathsf {C}}) P_ {\ tekst {L}}}$${\ Displaystyle P ^ {(-)} = (1-{\ mathsf {C}}) P_ {\ tekst {R}}.}$

Interpretacja geometryczna

Czynnikowi fazy można nadać interpretację geometryczną. Zauważono, że w przypadku masywnych spinorów Diraca „dowolny” czynnik fazowy może zależeć zarówno od pędu, jak i spirali (ale nie od chiralności). Można to interpretować jako stwierdzenie, że faza ta może zmieniać się wzdłuż włókna wiązki spinorowej , w zależności od lokalnego wyboru układu współrzędnych. Innymi słowy, pole spinorowe jest lokalną sekcją wiązki spinorowej, a wzmocnienia i obroty Lorentza odpowiadają ruchom wzdłuż włókien odpowiedniej wiązki ramek (ponownie, tylko wybór lokalnej ramki współrzędnych). Zbadana w ten sposób ta dodatkowa swoboda fazowa może być interpretowana jako faza powstająca z pola elektromagnetycznego. W przypadku spinorów Majorana faza byłaby ograniczona, aby nie zmieniać się pod wpływem dopalaczy i rotacji. ${\ Displaystyle \eta _ {c}}$${\ Displaystyle \eta _ {c}}$

Koniugacja ładunku dla pól skwantowanych

Powyżej opisano koniugację ładunku tylko dla roztworów jednocząstkowych. Kiedy pole Diraca jest skwantowane w drugiej kolejności , jak w kwantowej teorii pola , spinor i pola elektromagnetyczne są opisywane przez operatorów. Inwolucja sprzężenia ładunku objawia się następnie jako operator unitarny działający na pola cząstek, wyrażony jako ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\ Displaystyle \ psi \ mapsto \ psi ^ {c} = {\ mathcal {C}} \ psi {\ mathcal {C}} ^ {\ sztylet} = \eta _ {c} \, C {\ overline {\ psi }}^{\textsf {T}}}$
2. ${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} \ mapsto {\ overline {\ psi}} ^ {c} = {\ mathcal {C}} {\ overline {\ psi}} {\ mathcal {C}} ^ { \dagger }=\eta _{c}^{*}\,\psi ^{\textsf {T}}C^{-1}}$
3. ${\ Displaystyle A_ {\ mu} \ mapsto A_ {\ mu} ^ {c} = {\ mathcal {C}} A_ {\ mu} {\ mathcal {C}} ^ {\ sztylet} = - A_ {\ mu }}$

gdzie niekaligraficzna jest tą samą macierzą 4x4, jak podana wcześniej. ${\displaystyle C}$

Odwrócenie ładunku w teorii elektrosłabej

Sprzężenie ładunku nie zmienia chiralności cząstek. Lewoskrętne neutrino zostałoby przejęte przez koniugację ładunku w lewoskrętne antyneutrino , które nie oddziałuje w Modelu Standardowym. Ta właściwość jest tym, co rozumie się przez „maksymalne naruszenie” symetrii C w oddziaływaniu słabym.

Niektóre postulowane rozszerzenia Modelu Standardowego , takie jak modele lewo-prawo , przywracają tę symetrię C.

Pola skalarne

Pole Diraca ma „ukrytą” swobodę pomiaru, co pozwala mu łączyć się bezpośrednio z polem elektromagnetycznym bez żadnych dalszych modyfikacji równania Diraca lub samego pola. Inaczej jest w przypadku pól skalarnych , które muszą być wyraźnie „skomplikowane”, aby połączyć się z elektromagnetyzmem. Odbywa się to poprzez „tensorowanie” dodatkowego czynnika płaszczyzny zespolonej w polu lub konstruowanie iloczynu kartezjańskiego za pomocą . ${\ Displaystyle U(1)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle U(1)}$

Jednym z bardzo konwencjonalna technika jest po prostu zacząć od dwóch rzeczywistych pól skalarnych, a i stworzyć kombinację liniową ${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle \ psi \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ {\ phi + i \ chi \ ponad {\ sqrt {2}}}}$

Inwolucja sprzężenia ładunku jest zatem odwzorowaniem, ponieważ jest to wystarczające do odwrócenia znaku na potencjale elektromagnetycznym (ponieważ ta liczba zespolona jest używana do sprzężenia z nim). Dla prawdziwych pól skalarnych, koniugacja ładunków jest tylko mapą tożsamości: i tak, dla pola złożonego koniugacja ładunków jest tylko mapą. Strzałka „mapsto” jest wygodna do śledzenia „co idzie gdzie”; równowartość starsza notacja jest po prostu pisać i i${\displaystyle {\mathsf {C}}:i\mapsto-i}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi}$${\ Displaystyle {\ mathsf {C}}: \ psi \ mapsto \ psi ^ {*}}.$${\displaystyle \mapsto}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\phi =\phi}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\chi =\chi}$${\ Displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi = \ psi ^ {*}.}$

Powyższe opisuje konwencjonalną konstrukcję naładowanego pola skalarnego. Możliwe jest również wprowadzenie dodatkowej struktury algebraicznej do ciał w inny sposób. W szczególności można zdefiniować „rzeczywiste” pole zachowujące się jako . Ponieważ jest prawdziwy, nie może sam łączyć się z elektromagnetyzmem, ale po złożeniu spowoduje powstanie naładowanego pola, które przekształca się tak, jak Ponieważ symetria C jest symetrią dyskretną , można mieć pewną swobodę w graniu w tego rodzaju gry algebraiczne w poszukiwaniu dla teorii, która poprawnie modeluje pewną daną rzeczywistość fizyczną. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi}$${\ Displaystyle {\ mathsf {C}}: \ psi \ mapsto - \ psi ^ {*}}.$

W literaturze fizyki transformacja taka, jaką można by napisać bez dalszych wyjaśnień. Formalna matematyczna interpretacja tego jest taka, że ​​pole jest elementem, w którym. Tak więc, właściwie mówiąc, pole powinno być zapisane tak, jak zachowuje się pod wpływem koniugacji ładunku, ponieważ Bardzo kuszące, ale nie do końca poprawne formalnie, jest po prostu pomnożenie ich, przeniesienie wokół lokalizacji tego znaku minus; to przeważnie „po prostu działa”, ale niepoprawne śledzenie go prowadzi do zamieszania. ${\ Displaystyle {\ mathsf {C}}: \ phi \ mapsto \ phi ^ {c} = - \ phi}$${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} = \ {+1,-1 \}}.$${\ Displaystyle \ phi = (r, c)}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).}$

Kombinacja odwrócenia ładunku i parzystości

Przez pewien czas uważano, że symetrię C można połączyć z transformacją parzystości i odwrócenia (patrz symetria P ), aby zachować połączoną symetrię CP . Jednakże naruszenia tej symetrii zidentyfikowano w słabych oddziaływań (zwłaszcza w kaony i B mezonów ). W Modelu Standardowym to naruszenie CP wynika z pojedynczej fazy w macierzy CKM . Jeśli CP jest połączona z odwróceniem czasu ( T-symetria ), wynikową symetrię CPT można pokazać przy użyciu tylko aksjomatów Wightmana, których należy przestrzegać.

W ustawieniach ogólnych

Analog koniugacji ładunku można zdefiniować dla wyżejwymiarowych macierzy gamma , z wyraźną konstrukcją dla spinorów Weyla podaną w artykule o macierzach Weyla-Brauera . Zauważ jednak, że spinory zdefiniowane abstrakcyjnie w teorii reprezentacji algebr Clifforda nie są ciałami ; raczej należy je traktować jako istniejące w czasoprzestrzeni o zerowym wymiarze.

Analog T-symetrii wynika z operatora koniugacji T dla spinorów Diraca. Spinory mają również wrodzoną symetrię P , uzyskaną przez odwrócenie kierunku wszystkich wektorów bazowych algebry Clifforda, z których zbudowane są spinory. Związek z symetriami P i T dla pola fermionowego na rozmaitości czasoprzestrzennej jest nieco subtelny, ale można go z grubsza scharakteryzować w następujący sposób. Kiedy spinor jest konstruowany za pomocą algebry Clifforda, konstrukcja wymaga przestrzeni wektorowej, na której można budować. Zgodnie z konwencją ta przestrzeń wektorowa jest przestrzenią styczną rozmaitości czasoprzestrzennej w danym, ustalonym punkcie czasoprzestrzeni (pojedyncze włókno w rozmaitości stycznej ). Operacje P i T zastosowane do rozmaitości czasoprzestrzennej można zatem rozumieć jako również odwracanie współrzędnych przestrzeni stycznej; w ten sposób oba są sklejone. Odwrócenie parzystości lub kierunku czasu w jednym powoduje również odwrócenie go w drugim. To jest konwencja. Można się odkleić, nie propagując tego połączenia. ${\ Displaystyle \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {3}}$

Odbywa się to poprzez wzięcie przestrzeni stycznych jako przestrzeni wektorowej , rozszerzenie jej do algebry tensorów , a następnie użycie iloczynu skalarnego w przestrzeni wektorowej do zdefiniowania algebry Clifforda . Traktując każdą taką algebrę jako włókno, otrzymujemy wiązkę włókien zwaną wiązką Clifforda . Przy zmianie bazy przestrzeni stycznej elementy algebry Clifforda przekształcają się zgodnie z grupą spinową . Budowanie zasadniczej wiązki włókien z grupą przędzalniczą jako włókna powoduje powstanie struktury przędzalniczej .

Wszystko, czego brakuje w powyższych akapitach, to same spinory . Wymagają one „skomplikowania” rozmaitości stycznej: tensorowania jej płaszczyzną zespoloną. Po wykonaniu tej czynności można skonstruować spinory Weyl . Mają formę

${\ Displaystyle w_ {j} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo (e_ {2j}-ie_ {2j + 1} \ prawej)}$

gdzie są wektorami bazowymi dla przestrzeni wektorowej , czyli przestrzeni stycznej w punkcie rozmaitości czasoprzestrzennej Spinory Weyla wraz z ich sprzężonymi sprzężeniami zespolonymi rozciągają się na przestrzeni stycznej w tym sensie, że ${\displaystyle e_{j}}$${\ Displaystyle V = T_ {p} M}$${\ Displaystyle p \ w M}$${\ Displaystyle M.}$

${\ Displaystyle V \ otimes \ mathbb {C} = W \ oplus {\ overline {W}}}$

Algebra alternacji nazywana jest przestrzenią spinorową , jest to miejsce życia spinorów, a także iloczynów spinorów (a więc obiektów o wyższych wartościach spinu, w tym wektorów i tensorów). ${\ Displaystyle \ klin W}$

---

Zrobić sobie przerwę; w tej sekcji należy rozwinąć następujące stwierdzenia:

• Przeszkoda w budowie struktur spinowych to klasa Stiefela -Whitneya c_2
• Złożona koniugacja wymienia dwa spinory
• Operatory Diraca można zdefiniować jako kwadrat do laplace'a, czyli kwadrat połączenia Levi-Civita (plus krzywizna skalarna plus krzywizna wiązki liniowej)
• krzywizna wiązki liniowej jest jawnie F = dA ergo musi być E&M

Zobacz też

• Parzystość C
• G-parzystość
• Antycząstka
• Antymateria
• Naprawdę neutralna cząsteczka

Uwagi

Bibliografia

• Sozzi, MS (2008). Symetrie dyskretne i naruszenie CP . Oxford University Press. Numer ISBN 978-0-19-929666-8.