Racjonalna różnorodność - Rational variety

W matematyce , A racjonalne odmiana jest algebraiczna odmiany , w danej dziedzinie K , która jest birationally równoważne do przestrzeni rzutowej pewnego wymiaru na K . Oznacza to, że jego pole funkcyjne jest izomorficzne z

${\ Displaystyle K (U_ {1}, \ kropki, U_ {d}),}$

pole ze wszystkich funkcji wymiernych jakiegoś zestawu z wielomianami , gdzie d jest wymiarem odmiany. ${\ displaystyle \ {U_ {1}, \ kropki, U_ {d} \}}$

Racjonalność i parametryzacja

Niech V być affine algebraiczne odmiana o wymiarze d zdefiniowany przez głównego ideału I  = ⟨ f ₁ , ..., f _k ⟩ w . Jeśli V jest wymierne, to istnieje n  + 1 wielomianów g ₀ , ..., g _n w taki sposób, że W słowach kolejności mamy racjonalną parametryzację odmiany. ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ kropki, X_ {n}]}$${\ Displaystyle K (U_ {1}, \ kropki, U_ {d})}$${\ Displaystyle f_ {i} (g_ {1} / g_ {0}, \ ldots, g_ {n} / g_ {0}) = 0.}$${\ Displaystyle x_ {i} = {\ Frac {g_ {i}} {g_ {0}}} (u_ {1}, \ ldots, u_ {d})}$

I odwrotnie, taka racjonalna parametryzacja indukuje homomorfizm pola funkcji V do . Ale ten homomorfizm niekoniecznie jest na . Jeśli taka parametryzacja istnieje, odmiana jest określana jako nieracjonalna . Twierdzenie Lürotha (patrz poniżej) sugeruje, że krzywe uniracjonalne są racjonalne. Z twierdzenia Castelnuovo wynika również, że w charakterystycznym zera każda powierzchnia uniracjonalna jest racjonalna. ${\ Displaystyle K (U_ {1}, \ kropki, U_ {d})}$

Pytania dotyczące racjonalności

Racjonalność pytanie pyta, czy dana rozszerzenie ciała jest racjonalne w sensie bycia (do izomorfizmu) pola funkcyjnego racjonalnego odmiany; takie rozszerzenia pól są również opisywane jako czysto transcendentalne . Dokładniej, pytanie o racjonalność rozszerzenie ciała jest taka: jest izomorficzna do dziedziny funkcji racjonalnego nad liczby wielomianami podanych przez stopień transcendencji ? ${\ Displaystyle K \ podzbiór L}$${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle K}$

Istnieje kilka różnych odmian tego pytania, wynikających ze sposobu, w jaki pola i są zbudowane. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L}$

Na przykład niech będzie polem i niech ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ {y_ {1}, \ kropki, y_ {n} \}}$

być nieokreślonym nad K i niech L będzie polem wygenerowanym przez nich nad K. Rozważmy skończonej grupy permutacji tych wielomianami ponad K . O standardowej teorii Galois , zestaw stałych punktów tego działania grupy jest podpole z typowo oznaczane . Pytanie o racjonalność nazywa problemem Noether i pyta, czy ta dziedzina stałych punktów jest lub nie jest czysto transcendentalna rozszerzenie K . W artykule ( Noether 1918 ) o teorii Galois zajęła się problemem parametryzacji równań z daną grupą Galois, którą zredukowała do „problemu Noether”. (Po raz pierwszy wspomniała o tym problemie w ( Noether 1913 ), gdzie przypisała problem E. Fischerowi.) Pokazała, że ​​jest to prawdą dla n = 2, 3 lub 4. RG Swan  ( 1969 ) znalazł kontrprzykład dla Noether problem, gdzie n = 47 i G jest cykliczną grupą rzędu 47. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L ^ {G}}$${\ Displaystyle K \ podzbiór L ^ {G}}$

Twierdzenie Lürotha

Znanym przypadkiem jest problem Lürotha , który Jacob Lüroth rozwiązał w XIX wieku. Problem ten dotyczy Lüroth w subextensions l o K ( X ), przy racjonalnych funkcji w pojedynczym nieokreślony X . Wszelkie takie pole jest albo równa K i jest racjonalne, czyli L = K ( K ) dla takich funkcji wymiernej F . W kategoriach geometrycznych oznacza to, że zmienna mapa racjonalna od linii rzutowej do krzywej C może wystąpić tylko wtedy, gdy C również ma rodzaj 0. Fakt ten można odczytać geometrycznie ze wzoru Riemanna – Hurwitza .

Chociaż twierdzenie Lürotha jest często uważane za wynik nieelementarny, od dawna odkryto kilka elementarnych krótkich dowodów. Te proste dowody wykorzystują tylko podstawy teorii pola i lematu Gaussa dla pierwotnych wielomianów (patrz np.).

Jednorodność

Unirational odmiana V na polu K jest zdominowany przez racjonalne odmiany, tak że pole funkcja K ( V ) znajduje się w czystej transcendentalnej pole typu skończonych (które mogą być wybierane z ograniczonym stopniu przez K ( V ), jeśli K jest nieskończone). Rozwiązanie problemu Lürotha pokazuje, że dla krzywych algebraicznych wymierne i uniracjonalne są takie same, a twierdzenie Castelnuovo implikuje, że dla złożonych powierzchni uniracjonalność implikuje racjonalność, ponieważ obie charakteryzują się zanikaniem zarówno rodzaju arytmetycznego, jak i drugiego plurigenusa . Zariski znalazł kilka przykładów ( powierzchni Zariskiego ) w charakterystyce p  > 0, które są nieracjonalne, ale nieracjonalne. Clemens i Griffiths (1972) wykazali, że sześcienne trzykrotnie ogólnie nie racjonalnego odmiany, zapewniając przykład dla trzech wymiarów unirationality nie oznacza jasności. W ich pracy wykorzystano pośredni jakobian . Iskovskih i Manin (1971) wykazali, że wszystkie niejednoznaczne trójkrotne kwarty są irracjonalne, chociaż niektóre z nich są nieracjonalne. Artin i Mumford (1972) znaleźli w swojej trzeciej grupie kohomologicznej pewne nieracjonalne potrójne przypadki z nietrywialnym skrętem, co oznacza, że ​​nie są racjonalne.

Dla każdego pola K , János Kollára okazało się, że w roku 2000 gładka sześcienny hiperpowierzchni wymiaru co najmniej 2 jest unirational jeśli ma on temperaturę określoną przez K . Jest to poprawa wielu klasycznych wyników, poczynając od przypadku powierzchni sześciennych (które są odmianami wymiernymi w stosunku do domknięcia algebraicznego). Innymi przykładami odmian, które okazały się nieracjonalne, są liczne przypadki przestrzeni modułowej krzywych.

Racjonalnie połączona różnorodność

Racjonalnie połączone odmiany (lub uniruled odmiana ) V jest rzutowa algebraiczna odmiany nad algebraicznie zamkniętym obszarze, tak że przez co dwa punkty nie przechodzi przez obraz zwykłej mapie z rzutowej linię w V . Z kolei odmiana jest racjonalnie połączona, jeśli co dwa punkty łączy racjonalna krzywa zawarta w odmianie.

Definicja ta różni się od definicji ścieżki połączenia tylko przez naturę ścieżki, ale jest bardzo różna, ponieważ jedynymi krzywymi algebraicznymi, które są racjonalnie połączone, są krzywe racjonalne.

Każda racjonalna różnorodność, łącznie z przestrzeniami rzutowymi , jest racjonalnie połączona, ale odwrotność jest fałszywa. Klasa odmian racjonalnie powiązanych jest zatem uogólnieniem klasy odmian racjonalnych. Odmiany nieracjonalne są ze sobą powiązane racjonalnie, ale nie wiadomo, czy zachodzi odwrotność.

Stabilnie racjonalne odmiany

Odmiana V nazywana jest stabilnie racjonalną, jeśli jest racjonalna dla niektórych . Każda racjonalna odmiana jest zatem z definicji stabilnie racjonalna. Przykłady skonstruowane przez Beauville et al. (1985) pokazują jednak, że sytuacja odwrotna jest fałszywa. ${\ Displaystyle V \ razy \ mathbf {P} ^ {m.}}$${\ displaystyle m \ geq 0}$

Schreieder (2018) wykazały, że bardzo ogólne hiperpowierzchnie nie są stabilnie racjonalne, pod warunkiem, że stopień o V co najmniej . harvtxt błąd: brak celu: CITEREFSchreieder2018 ( pomoc ) ${\ Displaystyle V \ podzestaw \ mathbf {P} ^ {N + 1}}$${\ displaystyle \ log _ {2} N + 2}$

Zobacz też

• Krzywa racjonalna
• Racjonalna powierzchnia
• Odmiana Severi – Brauer
• Biracyjna geometria

Uwagi

Bibliografia

• Artin, Michael ; Mumford, David (1972), „Some elementary examples of unirational varizes that are not rational”, Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 25 : 75–95, CiteSeerX   10.1.1.121.2765 , doi : 10.1112 / plms / s3 -25.1.75 , ISSN   0024-6115 , MR   0321934
• Beauville, Arnaud; Colliot-Thélène, Jean-Louis; Sansuc, Jean-Jacques; Swinnerton-Dyer, Peter (1985), "Variétés stablement rationnelles non rationnelles", Annals of Mathematics , Second Series, 121 (2): 283–318, doi : 10.2307 / 1971174 , JSTOR   1971174 , MR   0786350
• Clemens, C. Herbert ; Griffiths, Phillip A. (1972), „Pośredni Jacobian of the cubic threefold”, Annals of Mathematics , Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX   10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307 / 1970801 , ISSN   0003 -486X , JSTOR   1970801 , MR   0302652
• Iskovskih, VA; Manin, Ju. I. (1971), „Trójwymiarowe kwartyki i kontrprzykłady do problemu Lürotha”, Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 86 (1): 140–166, Bibcode : 1971SbMat..15..141I , doi : 10.1070 / SM1971v015n01ABEH001536 , MR   0291172
• Kollár, János ; Smith, Karen E .; Corti, Alessio (2004), Rational and near rational varieties , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 92 , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511734991 , ISBN   978-0-521-83207-6 , MR   2062787
• Noether, Emmy (1913), „Rationale Funkionenkorper”, J. Ber. D. DMV , 22 : 316–319 .
• Noether, Emmy (1918), „Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe”, Mathematische Annalen , 78 (1–4): 221–229, doi : 10.1007 / BF01457099 .
• Swan, RG (1969), "Niezmienne funkcje wymierne i problem Steenroda", Inventiones Mathematicae , 7 (2): 148–158, Bibcode : 1969InMat ... 7..148S , doi : 10.1007 / BF01389798
• Martinet, J. (1971), „Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);”, Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364–381 , Lecture Notes in Mathematics, 189 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , MR   0272580
• Schreieder, Stefan (2019), „Stably irational hypersurfaces of small slopes”, Journal of the American Mathematical Society , 32 (4): 1171–1199, arXiv : 1801.05397 , doi : 10.1090 / jams / 928