Dwoistość Tannaka – Kerin - Tannaka–Krein duality

W matematyce , dwoistość Tannaka-Krein teoria dotyczy interakcji w zwartej grupie topologicznej i jej kategorię z reprezentacji liniowych . Jest to naturalne rozszerzenie dualności Pontriagina , pomiędzy zwartymi i dyskretnymi przemiennymi grupami topologicznymi, na grupy zwarte, ale nieprzemienne . Teoria nosi imię Tadao Tannaki i Marka Grigorievicha Kerina . W przeciwieństwie do przypadku grup przemiennych uznawanych przez Lew Pontriagin pojęcie podwójny do nieprzemiennej zwartej grupie nie jest to grupa, ale kategoria reprezentacji gatunku ( G ) z jakiejś dodatkowej konstrukcji, utworzony przez reprezentacje skończenie wymiarowa G .

Twierdzenia o dualizmie Tannaki i Kerina opisują odwrotne przejście z kategorii Π ( G ) z powrotem do grupy G , pozwalając odzyskać grupę z jej kategorii reprezentacji. Co więcej, w efekcie całkowicie charakteryzują one wszystkie kategorie, które mogą powstać w grupie w ten sposób. Alexander Grothendieck wykazał później, że w podobny sposób dwoistość Tannaki można rozszerzyć na przypadek grup algebraicznych poprzez formalizm Tannaka . Tymczasem pierwotna teoria Tannaki i Kerina była nadal rozwijana i udoskonalana przez fizyków matematycznych . Uogólnienie teorii Tannaka-Krein zapewnia naturalne ramy studiowania reprezentacje grup kwantowych , a obecnie jest przedłużone do kwantowej supergroups , groupoids kwantowych i ich podwójnych algebroids Hopfa .

Idea dualizmu Tannaka-Kerin: kategoria reprezentacji grupy

W teorii dualności Pontriagina dla lokalnie zwartych grup przemiennych, przedmiotem dualnym do grupy G jest jej grupa znaków, która składa się z jednowymiarowych, jednostkowych reprezentacji . Jeśli pozwolimy grupa G być nieprzemienna, najbardziej bezpośredni odpowiednik grupy postaci jest zestaw z klas równoważności z niesprowadzalnych jednostkowych przedstawień z G . Analogiem iloczynu znaków jest iloczyn tensorowy reprezentacji . Jednak nieredukowalne reprezentacje G na ogół nie tworzą grupy, a nawet monoidy, ponieważ iloczyn tensorowy nieredukowalnych reprezentacji niekoniecznie jest nieredukowalny. Okazuje się, że należy rozważyć zbiór wszystkich skończonych wymiarów reprezentacji i traktować go jako kategorię monoidalną , w której iloczyn jest zwykłym tensorowym iloczynem reprezentacji, a przedmiot dualny jest dany przez działanie reprezentacji kontragredientnej . ${\ displaystyle {\ hat {G}},}$ ${\ displaystyle \ Pi (G)}$

Reprezentacja kategorii jest monoidal naturalna transformacja z tożsamością funktora do siebie. Innymi słowy, jest to niezerowa funkcja, która kojarzy się z dowolnym endomorfizmem przestrzeni T i spełnia warunki zgodności z iloczynami tensorowymi oraz z dowolnymi operatorami przeplatającymi się , mianowicie . Zbiór wszystkich reprezentacji kategorii może być wyposażony w mnożenie i topologię , w której zbieżność jest definiowana punktowo , tj. Sekwencja zbiega się do niektórych wtedy i tylko wtedy, gdy zbiega się do wszystkich . Można wykazać, że zbiór staje się w ten sposób zwartą (topologiczną) grupą. ${\ displaystyle \ Pi (G)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {\ Pi (G)}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle T \ in \ nazwa operatora {Ob} \ Pi (G)}$${\ Displaystyle \ varphi (T \ otimes U) = \ varphi (T) \ otimes \ phi (U)}$ ${\ displaystyle f \ colon T \ do U}$${\ Displaystyle F \ Circ \ varphi (T) = \ varphi (U) \ Circ f}$${\ Displaystyle \ Gamma (\ Pi (G))}$${\ displaystyle \ Pi (G)}$${\ Displaystyle \ varphi \ psi (T) = \ varphi (T) \ psi (T)}$${\ displaystyle \ {\ varphi _ {a} \}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ {\ varphi _ {a} (T) \}}$${\ Displaystyle \ varphi (T)}$${\ Displaystyle T \ in \ nazwa operatora {Ob} \ Pi (G)}$${\ Displaystyle \ Gamma (\ Pi (G))}$

Twierdzenia Tannaki i Kerina

Twierdzenie Tannaki zapewnia sposób na zrekonstruowanie grupy zwartej G z jej kategorii reprezentacji Π ( G ).

Niech G będzie zwartą grupą i niech F: Π ( G ) → Vect _C będzie zapominalskim funktorem od skończeniowymiarowych złożonych reprezentacji G do złożonych skończonych wymiarowych przestrzeni wektorowych . Topologię kładzie się na naturalne przekształcenia τ: F → F , ustawiając ją jako możliwie najgrubszą topologię, tak aby każdy z rzutów End ( F ) → End ( V ) podany przez (przyjmując naturalną transformację do jego składowej w ) jest funkcją ciągłą . Mówimy, że naturalna transformacja zachowuje tensor, jeśli jest mapą tożsamości na trywialnej reprezentacji G i jeśli zachowuje produkty tensorowe w tym sensie . Mówimy również, że τ jest samosprzężeniem, jeśli słupek oznacza złożoną koniugację. Wówczas zbiór wszystkich naturalnych przekształceń F , zachowujących tensor, samosprzężonych, jest zamkniętym podzbiorem End ( F ), który w rzeczywistości jest (zwartą) grupą, gdy G jest (zwartą) grupą. Każdy element x z G powoduje powstanie koniugatu siebie naturalnej przemiany tensora zabezpieczonego za pomocą mnożenia przez x na każdej reprezentacji, a więc trzeba mapę . Twierdzenie Tannaki mówi następnie, że ta mapa jest izomorfizmem. ${\ displaystyle \ tau \ mapsto \ tau _ {V}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ tau _ {V}}$${\ Displaystyle V \ in \ Pi (G)}$${\ Displaystyle \ tau _ {V \ otimes W} = \ tau _ {V} \ otimes \ tau _ {W}}$${\ displaystyle {\ overline {\ tau}} = \ tau}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (G)}$${\ Displaystyle G \ do {\ mathcal {T}} (G)}$

Twierdzenie Kreina odpowiada na następujące pytanie: które kategorie mogą powstać jako obiekt podwójny w grupie zwartej?

Niech Π będzie kategorią skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych, wyposażonych w operacje iloczynu tensorowego i inwolucji. Poniższe warunki są konieczne i wystarczające, aby Π jako dwuwarstwowy obiektu w zwartej grupie G .

1. Istnieje obiekt, którego własność jest taka, że dla wszystkich obiektów A z Π (która z konieczności będzie unikalna aż do izomorfizmu). ${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle I \ otimes A \ ok A}$

2. Każdy obiekt A z Π można rozłożyć na sumę minimalnych obiektów.

3. Jeśli A i B są dwoma minimalnymi obiektami, to przestrzeń homomorfizmów Hom _Π ( A , B ) jest jednowymiarowa (gdy są izomorficzne) lub równa zero.

Jeśli wszystkie te warunki są spełnione, to kategoria Π = Π ( G ), gdzie G jest grupą reprezentacji Π.

Uogólnienie

Zainteresowanie teorią dualizmu Tannaki-Kerin zostało rozbudzone w latach 80. XX wieku wraz z odkryciem grup kwantowych w pracach Drinfelda i Jimbo . Jednym z głównych podejść do badania grupy kwantowej jest reprezentacja skończonych wymiarów, które tworzą kategorię podobną do symetrycznych kategorii monoidalnych Π ( G ), ale bardziej ogólnego typu, plecionej kategorii monoidalnej . Okazało się, że w tym przypadku również istnieje dobra teoria dwoistości typu Tannaka – Kerin, która odgrywa ważną rolę w teorii grup kwantowych, zapewniając naturalne otoczenie, w którym można badać zarówno grupy kwantowe, jak i ich reprezentacje. Wkrótce potem w racjonalnej konformalnej teorii pola znaleziono różne przykłady splecionych kategorii monoidalnych . Filozofia Tannaki-Kerin sugeruje, że splecione kategorie monoidalne wynikające z konformalnej teorii pola można również uzyskać z grup kwantowych, a w serii artykułów Kazhdan i Lusztig udowodnili, że tak było. Z drugiej strony, plecione kategorie monoidalne wynikające z pewnych grup kwantowych zostały zastosowane przez Reshetikhina i Turaeva do konstrukcji nowych niezmienników węzłów.

Twierdzenie Doplichera – Robertsa

Twierdzenie Doplichera – Robertsa (za sprawą Sergio Doplichera i Johna E. Robertsa ) charakteryzuje Rep ( G ) w kategoriach teorii kategorii , jako rodzaj podkategorii kategorii przestrzeni Hilberta . Takie podkategorie zwartych grupowych reprezentacji unitarnych na przestrzeniach Hilberta to:

1. ścisła symetryczna monoidalna kategoria C * z koniugatami
2. podkategoria mająca podobiekty i sumy bezpośrednie , tak że C * -algebra endomorfizmów jednostki monoidalnej zawiera tylko skalary.

Zobacz też

• Twierdzenie Gelfanda – Naimarka

Uwagi

Linki zewnętrzne

• Quantum Principal Bundles i Tannaka – Kerin Duality autorstwa Mico Durdevica (uszkodzony link: zamiast tego zobacz tę stronę w ArXiv lub [ https://archive.org/details/arxiv-q-alg9507018 ta strona w Wayback Machine )
• Grupy kwantowe z całkami niezmiennymi autorstwa Alfonsa Van Daele (obejmuje Tannakę – Kerina)
• André Joyal i Ross Street, Wprowadzenie do dwoistości Tannaki i grup kwantowych , w części II teorii kategorii, Proceedings, Como 1990 , wyd. A. Carboni, MC Pedicchio i G. Rosolini, Lectures Notes in Mathematics 1488 , Springer, Berlin, 1991, 411–492.