Własność przemienności - Commutative property

Operacja jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i . Ten obraz ilustruje tę właściwość z koncepcją operacji jako „maszyny liczącej”. Nie ma znaczenia dla wyjścia lub odpowiednio, jaka kolejność argumentów i jakie mają – ostateczny wynik jest taki sam.

W matematyce , A operacja binarna jest przemienne , czy zmieniając kolejność argumentów nie zmienia wynik. Jest to podstawowa właściwość wielu operacji binarnych i zależy od niej wiele dowodów matematycznych . Najbardziej znana jako nazwa właściwości, która mówi mniej więcej „3 + 4 = 4 + 3” lub „2 × 5 = 5 × 2” , właściwość może być również używana w bardziej zaawansowanych ustawieniach. Nazwa jest potrzebna, ponieważ istnieją operacje, takie jak dzielenie i odejmowanie , które jej nie mają (na przykład "3 − 5 ≠ 5 − 3" ); takie operacje nie są przemienne i dlatego są określane jako operacje nieprzemienne . Przez wiele lat zakładano niejawnie, że proste operacje, takie jak mnożenie i dodawanie liczb, są przemienne. Tak więc własność ta została nazwana dopiero w XIX wieku, kiedy matematyka zaczęła się formalizować. Odpowiednia właściwość istnieje dla relacji binarnych ; mówi się, że relacja binarna jest symetryczna, jeśli relacja obowiązuje niezależnie od kolejności jej operandów; na przykład równość jest symetryczna, ponieważ dwa równe obiekty matematyczne są równe niezależnie od ich kolejności.

Typowe zastosowania

Właściwość przemienna (lub prawo przemienne ) jest własnością ogół związane z operacji binarnych i funkcji . Jeśli właściwość przemienności obowiązuje dla pary elementów w ramach pewnej operacji binarnej, mówi się, że dwa elementy komutują w ramach tej operacji.

Definicje matematyczne

Operacja binarna na zbiorze S nazywana jest przemienną, jeśli

Operacja, która nie spełnia powyższej właściwości, nazywa się non-commutative .

Mówi się, że x dojeżdża do y lub że x i y dojeżdżają do if

Innymi słowy, operacja jest przemienna, jeśli każda para elementów przemienia.

Funkcja binarna jest czasami nazywana przemienną, jeśli

Taka funkcja jest częściej nazywana funkcją symetryczną .

Przykłady

Operacje przemienne w życiu codziennym

Kumulacja jabłek, którą można postrzegać jako sumowanie liczb naturalnych, jest przemienna.
  • Zakładanie skarpetek przypomina operację przemienną, ponieważ nie ma znaczenia, która skarpetka zostanie założona jako pierwsza. Tak czy inaczej, wynik (zakładając obie skarpetki) jest taki sam. Natomiast zakładanie bielizny i spodni nie jest przemienne.
  • Przemienność dodawania obserwuje się przy płaceniu za towar gotówką. Niezależnie od kolejności, w jakiej rachunki są przekazywane, suma jest zawsze taka sama.

Operacje przemienne w matematyce

Dodawanie wektorów jest przemienne, ponieważ .

Dwa dobrze znane przykłady przemiennych operacji binarnych:

  • Dodatek z liczb rzeczywistych jest przemienne, ponieważ
    Na przykład 4 + 5 = 5 + 4, ponieważ oba wyrażenia są równe 9.
  • Mnożenie z liczb rzeczywistych jest przemienne, ponieważ

    Na przykład 3 × 5 = 5 × 3, ponieważ oba wyrażenia są równe 15.

    W bezpośredniej konsekwencji tego jest również prawdą, że wyrażenia w postaci y% z i z% y są przemienne dla wszystkich liczb rzeczywistych y i z. Na przykład 64% z 50 = 50% z 64, ponieważ oba wyrażenia są równe 32, a 30% z 50% = 50% z 30%, ponieważ oba te wyrażenia wynoszą 15%.

  • Niektóre binarne funkcje prawdy są również przemienne, ponieważ tablice prawdy dla funkcji są takie same, gdy zmienia się kolejność operandów.

    Na przykład logiczna funkcja dwuwarunkowa p ↔ q jest równoważna q ↔ p. Ta funkcja jest również zapisana jako p IFF q lub jako p ≡ q lub jako E pq .

    Ostatnia forma jest przykładem najbardziej zwięzłej notacji w artykule o funkcjach prawdziwości, który wymienia szesnaście możliwych binarnych funkcji prawdziwości, z których osiem jest przemiennych: V pq = V qp ; A pq (LUB) = Aqp ; D PQ (NOR) = D JO ; E PQ (MFF) = E JO ; J PQ = J JO ; K PQ (I) = k JO ; X PQ (NOR) = X JO ; O pq = O qp .

  • Dalsze przykłady obejmują przemiennych operacji binarnych dodawania i mnożenia liczb zespolonych , dodawanie i skalarną mnożenia z wektorów , a przecięcie i związek z zestawów .

Nieprzemienne operacje w życiu codziennym

  • Konkatenacja , czynność łączenia ze sobą ciągów znaków, jest operacją nieprzemienną. Na przykład,
    EA + T = JEDZ ≠ HERBATA = T + EA
  • Pranie i suszenie ubrań przypomina operację nieprzemienną; pranie, a następnie suszenie daje znacznie odmienny wynik niż suszenie i późniejsze pranie.
  • Obrót książki o 90 ° wokół osi pionowej, a następnie o 90 ° wokół osi poziomej daje inną orientację niż wtedy, gdy obracanie odbywa się w odwrotnej kolejności.
  • Ruchy dowolnej łamigłówki kombinacyjnej (takiej jak na przykład skręcanie kostki Rubika ) są nieprzemienne. Można to zbadać za pomocą teorii grup .
  • Procesy myślowe są nieprzemienne: osoba, która zadała pytanie (A), a następnie pytanie (B), może udzielić na każde pytanie inne odpowiedzi niż osoba zadana najpierw (B), a następnie (A), ponieważ zadanie pytania może zmienić stan osoby umysłu.
  • Akt ubierania się jest albo przemienny, albo nieprzemienny, w zależności od przedmiotów. Zakładanie bielizny i normalnej odzieży jest nieprzemienne. Zakładanie lewej i prawej skarpetki jest przemienne.
  • Tasowanie talii kart nie jest przemienne. Biorąc pod uwagę dwa sposoby, A i B, tasowania talii kart, wykonanie najpierw A, a potem B nie jest generalnie tym samym, co zrobienie najpierw B, a potem A.

Działania nieprzemienne w matematyce

Niektóre nieprzemienne operacje binarne:

Dzielenie, odejmowanie i potęgowanie

Dzielenie jest nieprzemienne, ponieważ .

Odejmowanie jest nieprzemienne, ponieważ . Jest jednak klasyfikowany dokładniej jako antyprzemienny , ponieważ .

Potęgowanie jest nieprzemienne, ponieważ .

Funkcje prawdy

Niektóre funkcje prawdziwości są nieprzemienne, ponieważ tablice prawdy dla funkcji są różne, gdy zmienia się kolejność operandów. Na przykład tabele prawdy dla (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) i (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) to

A b A ⇒ B B ⇒ A
F F T T
F T T F
T F F T
T T T T

Kompozycja funkcji liniowych

Złożenie funkcji z funkcjami liniowymi od liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych jest prawie zawsze nieprzemienna. Na przykład niech i . Następnie

oraz

Dotyczy to również bardziej ogólnie przekształceń liniowych i afinicznych z przestrzeni wektorowej do niej samej (patrz poniżej reprezentacja macierzy).

Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy z macierzy kwadratowych jest prawie zawsze nieprzemienna, na przykład:

Produkt wektorowy

Iloczyn wektorowy (lub iloczyn krzyżowy ) dwóch wektorów w trzech wymiarach jest antyprzemienny ; tj. b × a = -( a × b ).

Historia i etymologia

Pierwsze znane użycie tego terminu pojawiło się we francuskim czasopiśmie opublikowanym w 1814 r.

Zapisy o domniemanym użyciu własności przemiennej sięgają czasów starożytnych. W Egipcjanie używane przemienność mnożenia uprościć informatyki produktów . Wiadomo, że Euklides przyjął przemienną własność mnożenia w swojej książce Elementy . Formalne zastosowania własności przemiennej pojawiły się pod koniec XVIII i na początku XIX wieku, kiedy matematycy zaczęli pracować nad teorią funkcji. Dziś własność przemienności jest dobrze znaną i podstawową własnością używaną w większości gałęzi matematyki.

Pierwsze odnotowane użycie terminu przemienność było w pamiętniku François Servois w 1814 roku, który użył słowa przemienności przy opisie funkcji, które mają to, co obecnie nazywa się własnością przemienną. Słowo to jest kombinacją francuskiego słowa commuter oznaczającego „zastąpić lub zmienić” i przyrostka -atywnego oznaczającego „ zdecydowanie się na”, więc słowo to dosłownie oznacza „dążność do zastąpienia lub zamiany”. Termin ten pojawił się następnie w języku angielskim w 1838 r. w artykule Duncana Farquharsona Gregory'ego zatytułowanym „O prawdziwej naturze algebry symbolicznej” opublikowanym w 1840 r. w Transactions of the Royal Society of Edinburgh .

Logika zdań

Zasada wymiany

W prawdomówno-funkcjonalnej logice zdań komutacja lub przemienność odnoszą się do dwóch ważnych reguł zastępowania . Przepisy pozwalają transpozycji zmienna zdaniowa ciągu wyrażeń logicznych w dowodach logicznych . Zasady to:

oraz

gdzie " " jest symbolem metalicznym reprezentującym "może być zastąpiony w dowodzie na ".

Prawda funkcjonalne spójniki

Przemienność jest właściwością niektórych logicznych spójników prawdy funkcjonalnej logiki zdań . Poniższe logiczne równoważności pokazują, że przemienność jest właściwością poszczególnych spójników. Poniżej przedstawiono tautologie prawdziwościowo-funkcjonalne .

Przemienność koniunkcji
Przemienność alternatywy
Przemienność implikacji (zwana również prawem permutacji)
Przemienność równoważności (zwana również pełnym przemiennym prawem równoważności)

Teoria mnogości

W teorii grup i mnogości wiele struktur algebraicznych nazywa się przemiennymi, gdy pewne operandy spełniają własność przemienności. W wyższych gałęziach matematyki, takich jak analiza i algebra liniowa, przemienność dobrze znanych operacji (takich jak dodawanie i mnożenie na liczbach rzeczywistych i zespolonych) jest często używana (lub zakładana niejawnie) w dowodach.

Struktury matematyczne i przemienność

Powiązane właściwości

Łączność

Własność asocjacyjna jest ściśle związana z własnością przemienną. Właściwość asocjacyjna wyrażenia zawierającego dwa lub więcej wystąpień tego samego operatora oznacza, że ​​kolejność operacji wykonywanych w nie ma wpływu na wynik końcowy, o ile kolejność terminów się nie zmienia. Natomiast własność przemienności stanowi, że kolejność terminów nie wpływa na wynik końcowy.

Większość operacji przemiennych spotykanych w praktyce jest również asocjacyjnych. Jednak przemienność nie implikuje asocjatywności. Kontrprzykładem jest funkcja

co jest wyraźnie przemienne (zastąpienie x i y nie wpływa na wynik), ale nie jest asocjacyjne (ponieważ na przykład ale ). Więcej takich przykładów można znaleźć w magmach przemiennych nieasocjacyjnych .

Dystrybucyjny

Symetria

Wykres przedstawiający symetrię funkcji dodawania

Niektóre formy symetrii można bezpośrednio powiązać z przemiennością. Kiedy operacja przemienna jest zapisywana jako funkcja binarna, wówczas funkcja ta nazywana jest funkcją symetryczną , a jej wykres w przestrzeni trójwymiarowej jest symetryczny w poprzek płaszczyzny . Na przykład, jeśli funkcja f jest zdefiniowana jako wtedy jest funkcją symetryczną.

W przypadku relacji relacja symetryczna jest analogiczna do operacji przemiennej, ponieważ jeśli relacja R jest symetryczna, to .

Operatory niekomutujące w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej sformułowanej przez Schrödingera zmienne fizyczne są reprezentowane przez operatory liniowe, takie jak (co oznacza pomnożyć przez ) i . Te dwa operatory nie komutują, jak można zauważyć, biorąc pod uwagę wpływ ich kompozycji i (zwanych również iloczynami operatorów) na jednowymiarową funkcję falową :

Zgodnie z zasadą niepewności o Heisenberga , jeśli oba podmioty stanowiące parę zmiennych nie dojazdy, wówczas parę zmiennych są wzajemnie komplementarne , co oznacza, że nie mogą być mierzone równocześnie lub dokładnie znany. Na przykład, położenie i liniowy moment pędu w kierunku - cząstki są reprezentowane przez operatory i odpowiednio (gdzie jest zredukowaną stałą Plancka ). To jest ten sam przykład z wyjątkiem stałej , więc znowu operatory nie dojeżdżają, a fizyczne znaczenie jest takie, że pozycja i liniowy pęd w danym kierunku są komplementarne.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Książki

  • Osra, Sheldona (1997). Algebra liniowa wykonana w prawo, 2e . Skoczek. Numer ISBN 0-387-98258-2.
    Teoria algebry abstrakcyjnej. Obejmuje przemienność w tym kontekście. Używa właściwości w całej książce.
  • Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Wprowadzenie do logiki (wyd. 12). Sala Prezydencka. Numer ISBN 9780131898349.
  • Gallian, Józef (2006). Współczesna algebra abstrakcyjna (6e ed.). Houghtona Mifflina. Numer ISBN 0-618-51471-6.
    Teoria algebry liniowej. Wyjaśnia przemienność w rozdziale 1, używa jej w całym tekście.
  • Goodman, Fryderyk (2003). Algebra: abstrakcyjna i konkretna, symetria stresująca (2e ed.). Sala Prezydencka. Numer ISBN 0-13-067342-0.
    Teoria algebry abstrakcyjnej. Używa właściwości przemienności w całej książce.
  • Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). Zwięzłe wprowadzenie do logiki (wyd. 12). Nauka Cengage. Numer ISBN 978-1-337-51478-1.

Artykuły

Zasoby online