Notacja graficzna Penrose'a - Penrose graphical notation

Zapis graficzny Penrose'a (zapis diagramu tensorowego) stanu produktu macierzy pięciu cząstek.

W matematycznych i fizycznych , Penrose'a zapis graficzny lub oznaczenie napinacz schemat jest (zazwyczaj ręcznie) przedstawiony na multilinear funkcji lub tensorów proponowany przez Roger Penrosem w 1971 diagramu w notacji składa się z kilku połączonych ze sobą w kształcie linii. Notacja została dokładnie przestudiowana przez Predraga Cvitanovića , który użył go, diagramów Feynmana i innych powiązanych notacji w opracowywaniu śladów ptaków (teoretyczna grupowa wersja diagramów Feynmana) do klasyfikacji klasycznych grup Liego . Notacja Penrose'a została również uogólniona za pomocąteorii reprezentacji do sieci spinowych w fizyce oraz z obecnością grup macierzowych do śledzenia diagramów w algebrze liniowej . Notacja ta pojawia się szeroko we współczesnej teorii kwantowej , szczególnie w stanach produktu macierzy i obwodach kwantowych .

Interpretacje

Algebra wieloliniowa

W języku algebry wieloliniowej każdy kształt reprezentuje funkcję wieloliniową . Linie dołączone do kształtów reprezentują dane wejściowe lub wyjściowe funkcji, a łączenie kształtów w pewien sposób jest zasadniczo kompozycją funkcji .

Tensory

W języku algebr tensorów określony tensor jest powiązany z określonym kształtem z wieloma liniami wystającymi w górę i w dół, odpowiadającymi odpowiednio abstrakcyjnym indeksom górnym i dolnym tensorów. Łączenie linii pomiędzy dwoma kształtami odpowiada skróceniu indeksów . Jedną z zalet tego zapisu jest to, że nie trzeba wymyślać nowych liter dla nowych indeksów. Ta notacja jest również wyraźnie niezależna od podstaw .

Matryce

Każdy kształt reprezentuje macierz, a mnożenie tensorów odbywa się w poziomie, a macierz w pionie.

Reprezentacja tensorów specjalnych

Tensor metryczny

Tensora metrycznego jest reprezentowany przez pętlę w kształcie litery U lub odwróconej litery U w kształcie pętli, w zależności od rodzaju tensora, który jest używany.

tensor metryczny ${\ Displaystyle g ^ {ab}}$

tensor metryczny ${\displaystyle g_{ab}}$

Tensor Levi-Civita

Levi Civita antysymetryczna napinacz jest przedstawiona za pomocą grubej poziomym pasku z deskami skierowanymi w dół lub w górę, w zależności od rodzaju tensora, który jest używany.

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ab \ ldots n}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {ab \ ldots n}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ab \ ldots n} \ \ varepsilon ^ {ab \ ldots n}}$${\displaystyle =n!}$

Stała struktury

stała struktury ${\ Displaystyle {\ gamma _ {\ alfa \ beta}} ^ {\ chi} = - {\ gamma _ {\ beta \ alfa}} ^ {\ chi}}$

Stałe strukturalne ( ) algebry Liego są reprezentowane przez mały trójkąt z jedną linią skierowaną w górę i dwiema liniami skierowanymi w dół. ${\ Displaystyle {\ gamma _ {ab}} ^ {c}}$

Operacje tensorowe

Skurcz indeksów

Skrócenie indeksów jest reprezentowane przez łączenie ze sobą linii indeksu.

Delta Kroneckera ${\ Displaystyle \ delta _ {b} ^ {a}}$

Produkt kropkowy ${\ Displaystyle \ beta _ {a} \ \ xi ^ {a}}$

${\ Displaystyle g_ {ab} \, g ^ {BC} = \ delta _ {a} ^ {c} = g ^ {cb} \, g_ {ba}}$

Symetryzacja

Symetryzację indeksów reprezentuje gruby zygzakowaty lub falisty pasek przecinający poziomo linie indeksu.

Symetryzacja (z ) ${\ Displaystyle Q ^ {(ab\ldots n)}}$ ${\ Displaystyle {} _ {Q ^ {ab} = Q ^ {[ab]} + Q ^ {(ab)}}}$

Antysymetryzacja

Antysymetryzacja indeksów jest reprezentowana przez grubą linię prostą przecinającą poziomo linie indeksów.

Antysymetryzacja (z ) ${\ Displaystyle E_ {[ab\ldots n]}}$ ${\ Displaystyle {} _ {E_ {ab} = E_ {[ab]} + E_ {(ab)}}}$

Wyznacznik

Wyznacznik powstaje poprzez zastosowanie antysymetryzacji indeksów.

Wyznacznik ${\ Displaystyle \ DET \ mathbf {T} = \ DET \ lewo (T_ {\ b} ^ {a} \ po prawej)}$

Odwrotność macierzy ${\ Displaystyle \ mathbf {T} ^ {-1} = \ lewo (T_ {\ b} ^ {a} \ po prawej) ^ {-1}}$

Pochodna kowariantna

Kowariantna pochodną ( ) reprezentuje okręgu wokół tensora (S), aby być zróżnicowany i linii łączącej z kręgu skierowaną do dołu i stanowią dolny indeks pochodną. ${\displaystyle \nabla}$

pochodna kowariantna ${\ Displaystyle 12 \ nabla _ {a} \ lewo (\ xi ^ {f} \ \ lambda _ {fb [c} ^ {(d}) \ D_ {gh]} ^ {e) b} \ prawej) }$ ${\ Displaystyle = 12 \ lewo (\ xi ^ {f} (\ nabla _ {a} \ lambda _ {fb [c} ^ {(d})) \ D_ {gh]} ^ {e) b} + ( \nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{ fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)}$

Manipulacje tensorami

Notacja diagramatyczna jest użyteczna w manipulowaniu algebrą tensorów. Zwykle obejmuje kilka prostych „ tożsamości ” manipulacji tensorami.

Na przykład , gdzie n jest liczbą wymiarów, jest powszechną „tożsamością”. ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {a ... c} \ varepsilon ^ {a ... c} = n!}$

Tensor krzywizny Riemanna

Tożsamości Ricciego i Bianchi podane w kategoriach tensora krzywizny Riemanna ilustrują moc notacji

Notacja dla tensora krzywizny Riemanna

Tensor Ricciego ${\ Displaystyle R_ {ab} = R_ {acb} ^ {\ \ \ c}}$

Tożsamość Ricciego ${\ Displaystyle (\ nabla _ {a} \ \ nabla _ {b} - \ nabla _ {b} \ \ nabla _ {a}) \ \ mathbf {\ Xi} ^ {d}}$${\ Displaystyle = R_ {abc} ^ {\ \ \ d} \ \ mathbf {\ xi} ^ {c}}$

Tożsamość Bianchi ${\ Displaystyle \ nabla _ {[a} R_ {BC] d} ^ {\ \ \ e} = 0}$

Rozszerzenia

Notacja została rozszerzona o wsparcie dla spinors i twistors .

Zobacz też

• Notacja indeksu abstrakcyjnego
• Diagramy momentu pędu (mechanika kwantowa)
• Pleciona kategoria monoidalna
• Kategoryczna mechanika kwantowa wykorzystuje notację diagramu tensorowego
• Stan produktu macierzy wykorzystuje notację graficzną Penrose'a
• rachunek Ricciego
• Wiruj sieci
• Schemat śledzenia

Uwagi