Teoria Twistora - Twistor theory

W fizyce teoretycznej , teoria twistorów został zaproponowany przez Roger Penrosem 1967 jako możliwe ścieżki do kwantów wagę i przekształciła gałęzi teoretycznej i fizyce matematycznej . Penrose zaproponował, że przestrzeń twistora powinna być podstawową areną fizyki, z której powinna się wyłonić sama czasoprzestrzeń. Prowadzi to do potężnego zestawu narzędzi matematycznych , które mają zastosowanie w geometrii różniczkowej i integralnej , nieliniowych równaniach różniczkowych i teorii reprezentacji , aw fizyce w ogólnej teorii względności i kwantowej teorii pola , w szczególności w amplitudach rozpraszania .

Przegląd

Matematycznie projekcyjna przestrzeń twistora jest trójwymiarową złożoną rozmaitością , złożoną rzutową 3-przestrzenią . Posiada fizyczną interpretację przestrzeni bezmasowych cząstek o spinie . To projectivisation z 4-wymiarowej kompleks przestrzeń wektorową , bez przestrzeni rzutowej twistor z hermitowskiego postaci z podpisem (2,2) i holomorficznej postaci objętości . Może to być w najbardziej naturalny sposób rozumiane jako przestrzeń chiralnych ( Weyl ) spinors na konforemne grupy z przestrzeni Minkowskiego ; jest to podstawowym reprezentacji z grupy wirowania grupy ochronnej. Tę definicję można rozszerzyć do dowolnych wymiarów, z tym wyjątkiem, że poza wymiarem czwartym, definiuje się rzutową przestrzeń skrętu jako przestrzeń rzutowych czystych spinorów dla grupy konforemnej. ${\ Displaystyle \ mathbb {PT} }$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ Displaystyle SO (4, 2) / \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ Displaystyle SU(2,2)}$

W swojej pierwotnej formie teoria twistora koduje pola fizyczne w przestrzeni Minkowskiego w złożone obiekty analityczne w przestrzeni twistora za pomocą przekształcenia Penrose'a . Jest to szczególnie naturalne w przypadku bezmasowych pól o dowolnym obrocie . W pierwszym przypadku uzyskuje się je za pomocą wzorów na całki po konturze w postaci wolnych funkcji holomorficznych na obszarach w przestrzeni twistora. Holomorficzne funkcje skręcające, które dają początek rozwiązaniom równań pola bezmasowego, są bardziej poprawnie rozumiane przez czeskich przedstawicieli klas kohomologii analitycznej w regionach . Korespondencja ta została rozszerzona na pewne pola nieliniowe, w tym samopodwójną grawitację w nieliniowej konstrukcji grawitonowej Penrose'a i samopodwójne pola Yang-Millsa w konstrukcji Warda ; pierwsza powoduje deformacje podstawowej złożonej struktury regionów w , a druga do pewnych holomorficznych wiązek wektorów nad regionami w . Konstrukcje te mają szerokie zastosowanie, w tym m.in. w teorii układów całkowalnych . ${\ Displaystyle \ mathbb {PT} }$ ${\ Displaystyle \ mathbb {PT} }$${\ Displaystyle \ mathbb {PT} }$

Warunek samo-dwoistości jest głównym ograniczeniem dla włączenia pełnych nieliniowości teorii fizycznych, chociaż wystarcza dla monopoli i instantonów Yanga-Millsa-Higgsa (patrz konstrukcja ADHM ). Wczesną próbą przezwyciężenia tego ograniczenia było wprowadzenie ambitwistorów przez Edwarda Wittena oraz przez Isenberg, Yasskin & Green. Przestrzeń ambitwistora jest przestrzenią złożonych promieni świetlnych lub bezmasowych cząstek i może być uważana za złożoność lub wiązkę kostyczną oryginalnego opisu twistora. Odnoszą się one do pól ogólnych, ale równania pól nie są już tak prosto wyrażane.

Formuły skręcania dla interakcji poza sektorem samopodwójnym powstały po raz pierwszy z teorii struny skręcanej Wittena . Jest to kwantowa teoria holomorficznych map powierzchni Riemanna w przestrzeń twistora. Dało to początek niezwykle zwartym wzorom RSV (Roiban, Spradlin i Volovich) dla trzypoziomowych macierzy S teorii Yanga-Millsa, ale jego stopnie swobody grawitacji dały początek wersji konforemnej supergrawitacji ograniczającej jej zastosowanie; grawitacja konformalna jest niefizyczną teorią zawierającą duchy , ale jej interakcje są połączone z tymi z teorii Yanga-Millsa w amplitudach pętli obliczonych za pomocą teorii strun skręcających.

Pomimo swoich niedociągnięć teoria strun skrętnych doprowadziła do szybkiego rozwoju badań amplitud rozpraszania. Jednym z nich był tak zwany formalizm MHV luźno oparty na rozłączonych strunach, ale otrzymał bardziej podstawowe podstawy w postaci działania twistora dla pełnej teorii Yanga-Millsa w przestrzeni twistora. Kolejnym kluczowym wydarzeniem było wprowadzenie rekurencji BCFW. Ma to naturalne sformułowanie w przestrzeni twistora, co z kolei doprowadziło do niezwykłych sformułowań amplitud rozpraszania w postaci wzorów całkowych Grassmanna i politopów . Te idee ewoluowały ostatnio w pozytywny Grassmannian i amplituedron .

Teoria strun Twistora została rozszerzona najpierw przez uogólnienie wzoru RSV Yang-Millsa na amplitudę, a następnie przez znalezienie leżącej u jej podstaw teorii strun . Rozszerzenie grawitacji zostało podane przez Cachazo i Skinnera i sformułowane jako teoria strun skrętnych dla maksymalnej supergrawitacji przez Davida Skinnera. Analogiczne formuły zostały następnie znalezione we wszystkich wymiarach przez Cachazo, He i Yuan dla teorii Yanga-Millsa i grawitacji, a następnie dla wielu innych teorii. Zostały one następnie zrozumiane jako teorie strun w przestrzeni ambitwistorów przez Masona i Skinnera w ogólnych ramach, które obejmują oryginalną strunę twistora i obejmują szereg nowych modeli i formuł. Jako teorie strun mają te same wymiary krytyczne, co konwencjonalna teoria strun; na przykład supersymetryczne wersje typu II są krytyczne w dziesięciu wymiarach i są równoważne pełnej teorii pola supergrawitacji typu II w dziesięciu wymiarach (różni się to od konwencjonalnych teorii strun, które mają również dalszą nieskończoną hierarchię masywnych stanów o wyższym spinie, które zapewniają zakończenie ultrafioletowe ). Rozszerzają się, dając wzory na amplitudy pętli i mogą być definiowane na zakrzywionych tłach.

Korespondencja twistora

Oznacz przestrzeń Minkowskiego przez , ze współrzędnymi i Lorentzowskim podpisem metrycznym . Wprowadź dwuskładnikowe indeksy spinorów i ustaw ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x ^ {a} = (t, x, y, z)}$${\displaystyle \eta_{ab}}$${\ Displaystyle (1,3)}$${\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}$

${\ Displaystyle x ^ {AA'} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ zacząć {pmatrix} tz & x + iy \ \ x-iy i t + z \ koniec {pmatrix}}.}$

Nieprojekcyjna przestrzeń twistora jest czterowymiarową złożoną przestrzenią wektorową o współrzędnych oznaczonych przez gdzie i są dwoma stałymi spinorami Weyla . Forma hermitowska może być wyrażona poprzez zdefiniowanie złożonej koniugacji od do jej podwójnej przez tak, że forma hermitowska może być wyrażona jako ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ alfa} = \ lewo (\ omega ^ {A} \, \ pi _ {A'} \ prawej)}$${\ Displaystyle \ omega ^ {A}}$${\ Displaystyle \ pi _ {A'}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {*}}$${\ Displaystyle {\ bar {Z}} _ {\ alfa} = \ lewo ({\ bar {\ pi}} _ {A} \, {\ bar {\ omega}} ^ {A'} \ prawej) }$

${\ Displaystyle Z ^ {\ alfa} {\ bar {Z}} _ {\ alfa} = \ omega ^ {A} {\ bar {\ pi}} _ {A} + {\ bar {\ omega}} ^ {A'}\pi _{A'}.}$

To, wraz z holomorficzną formą objętości, jest niezmienne w grupie SU(2,2), poczwórnej osłonie grupy konforemnej C(1,3) zagęszczonej czasoprzestrzeni Minkowskiego. ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ alfa \ beta \ gamma \ delta} Z ^ {\ alfa} dZ ^ {\ beta} \ klin dZ ^ {\ gamma} \ klin dZ ^ {\ delta}}$

Punkty w przestrzeni Minkowskiego są powiązane z podprzestrzeniami przestrzeni twistora poprzez relację padania

${\ Displaystyle \ omega ^ {A} = ix ^ {AA'} \ pi _ {A'}.}$

Relacja padania jest zachowana przy całkowitym przeskalowaniu twistora, więc zwykle pracuje się w rzutowej przestrzeni twistora, która jest izomorficzna jako złożona rozmaitość do . Punkt ten sposób określa linię w sparametryzowane przez A twistor najłatwiej zrozumiany w czasoprzestrzeni złożonych wartości współrzędnych, w którym definiuje ono całkowicie pustego w dwóch płaszczyznach, które jest samo podwójne. Przyjmij, że jest prawdziwy, to jeśli znika, to leży na promieniu światła, natomiast jeśli nie znika, to nie ma rozwiązań, i rzeczywiście odpowiada bezmasowej cząstce o spinie, który nie jest zlokalizowany w rzeczywistej czasoprzestrzeni. ${\ Displaystyle \ mathbb {PT} ,}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {3}}$${\displaystyle x\wm}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {PT} }$${\ Displaystyle \ pi _ {A'}.}$${\ Displaystyle Z ^ {\ alfa}}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle Z ^ {\ alfa} {\ bar {Z}} _ {\ alfa}}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle Z ^ {\ alfa} {\ bar {Z}} _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ alfa}}$

Wariacje

Superskręty

Supertwistors są supersymetryczne rozszerzenie twistors wprowadzonych przez Alan Ferber w 1978 roku dla przestrzeni rzutowej twistor jest przedłużony przez fermionic współrzędnych gdzie pada liczba supersymmetries tak że twistor jest teraz podane przez z anticommuting. Grupa superkonformalna w naturalny sposób działa na tę przestrzeń, a supersymetryczna wersja transformacji Penrose'a przenosi zajęcia z kohomologii z przestrzeni superskrętników do bezmasowych supersymetrycznych multipletów w przestrzeni super Minkowskiego. Przypadek stanowi cel dla pierwotnej twistor ciąg Penrose'a i sprawa jest taka, że dla Skinnera supergrawitacji uogólnienia. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}}}$${\ Displaystyle \ lewo (\ omega ^ {A}, \, \ pi _ {A'}, \, \ eta ^ {i} \ prawej), i = 1, \ ldots, {\ mathcal {N}}}$${\ Displaystyle \eta ^ {i}}$${\ Displaystyle SU (2,2 | {\ matematyka {N}})}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}} = 4}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}} = 8}$

Rozdzielacze Hyperkählera

Rozmaitości wymiarów Hyperkählera dopuszczają również zgodność twistora z przestrzenią twistora o złożonym wymiarze . ${\displaystyle 4k}$${\displaystyle 2k+1}$

Pałacowa teoria twistora

Nieliniowa konstrukcja grawitonu koduje tylko anty-samo-dualizm, tj. pola lewoskrętne. Pierwszym krokiem w kierunku problemu modyfikacji przestrzeni twistora w celu zakodowania ogólnego pola grawitacyjnego jest kodowanie pól prawoskrętnych . Są one nieskończenie zakodowane w funkcjach twistora lub klasach kohomologii o jednorodności -6. Zadanie wykorzystania takich funkcji skręcających w sposób całkowicie nieliniowy w celu uzyskania prawoskrętnego nieliniowego grawitonu zostało nazwane problemem ( grawitacyjnym ) googly (słowo „ googly ” jest terminem używanym w grze w krykieta dla piłka rzucona z prawoskrętnym ruchem przy użyciu pozornej akcji, która normalnie dawałaby początek leworęcznemu ruchowi). Najnowsza propozycja Penrose'a w tym kierunku z 2015 r. opierała się na nieprzemiennej geometrii w przestrzeni twistora i określała ją jako pałacową teorię twistora . Nazwa teorii pochodzi od Pałacu Buckingham , w którym Michael Atiyah zasugerował Penrose'owi użycie rodzaju „ nieprzemiennej algebry ”, ważnego elementu teorii (podstawowa struktura twistora w pałacowej teorii twistora była wzorowana nie na przestrzeni twistora, ale na nieprzemiennej holomorficznej algebry kwantowej twistora ).

Zobacz też

• Niezależność tła
• Złożona czasoprzestrzeń
• Historia pętli kwantowej grawitacji
• kongruencje Robinsona
• Sieć wirowania

Uwagi

Bibliografia

• Roger Penrose (2004), Droga do rzeczywistości , Alfred A. Knopf, rozdz. 33, s. 958–1009.
• Roger Penrose i Wolfgang Rindler (1984), Spinory i czasoprzestrzeń; Tom. 1, Rachunek dwóch spinorów i pola relatywistyczne , Cambridge University Press, Cambridge.
• Roger Penrose i Wolfgang Rindler (1986), Spinory i czasoprzestrzeń; Tom. 2, Spinor i Twistor Methods in Space-Time Geometry , Cambridge University Press, Cambridge.

Dalsza lektura

• Atiyah M., Dunajski M. i Mason LJ (2017). „Teoria twistorów po pięćdziesiątce: od całek konturowych do strun skrętnych” . Proc. R. Soc. . 473  (2206): 20170530.  doi : 10.1098/rspa.2017.0530 . ISSN  1364-5021 .
• Baird, P., „ Wprowadzenie do Twistorów ”.
• Huggett, S. i Tod, KP (1994). Wprowadzenie do teorii Twistora , wydanie drugie. Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN  9780521456890 . OCLC  831625586 .
• Hughston, LP (1979) Twistors and Particles . Springer Notatki do wykładu z fizyki 97, Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09244-5 .
• Hughston, LP i Ward, RS, eds (1979) Postępy w teorii Twistora . Górnik. ISBN  0-273-08448-8 .
• Mason, LJ i Hughston, LP, eds (1990) Dalsze postępy w teorii Twistora, tom I: Transformacja Penrose'a i jej zastosowania . Notatki badawcze Pitmana w serii matematyki 231, Longman Scientific and Technical. ISBN  0-582-00466-7 .
• Mason, LJ, Hughston, LP i Kobak, PK, eds (1995) Dalsze postępy w teorii Twistora, Tom II: Układy integrowalne, geometria konformalna i grawitacja . Notatki badawcze Pitmana w serii 232 matematyki, Longman Scientific and Technical. ISBN  0-582-00465-9 .
• Mason, LJ, Hughston, LP, Kobak, PK i Pulverer, K., eds (2001) Dalsze postępy w teorii Twistora, tom III: Curved Twistor Spaces . Notatki badawcze w matematyce 424, Chapman i Hall/CRC. ISBN  1-58488-047-3 .
• Penrose, Roger (1967), „Twistor Algebra” , Journal of Mathematical Physics , 8 (2): 345-366, Bibcode : 1967JMP...8..345P , doi : 10.1063/1.1705200 , MR  0216828 , zarchiwizowane z oryginał w dniu 2013-01-12
• Penrose, Roger (1968), "Kwantyzacja Twistora i zakrzywiona czasoprzestrzeń", International Journal of Theoretical Physics , 1 (1): 61-99, Bibcode : 1968IJTP .... 1... 61P , doi : 10.1007/BF00668831
• Penrose, Roger (1969), „Rozwiązania równań zerowej masy spoczynkowej” , Journal of Mathematical Physics , 10 (1): 38-39, Bibcode : 1969 JMP .... 10 ... 38P , doi : 10.1063/ 1.1664756 , zarchiwizowane od oryginału w dniu 2013-01-12
• Penrose, Roger (1977), "Program Twistor", Raporty z fizyki matematycznej , 12 (1): 65-76, Bibcode : 1977 RpMP ... 12 ... 65 P , doi : 10.1016/0034-4877 (77) 90047 -7 , MR  0.465.032
• Penrose, Roger (1999) „ Centralny program teorii Twistora ”, Chaos, Solitony i fraktale 10: 581–611.
• Witten, Edward (2004), "Perturbative Gauge Theory as a String Theory in Twistor Space", Communications in Mathematical Physics , 252 (1-3): 189-258, arXiv : hep-th/0312171 , Bibcode : 2004CMaPh.252. 0,189 W , doi : 10.1007/s00220-004-1187-3

Zewnętrzne linki

• Penrose, Roger (1999), „ Równanie Einsteina i teoria Twistora: ostatnie osiągnięcia ”
• Penrose'a, Rogera; Hadrovich, Fedja. „ Teoria Twistora ”.
• Hadrovich, Fedja, „ Twistor Primer ”.
• Penrose, Roger. „ O początkach teorii Twistora ”.
• Jozsa, Richard (1976), „ Zastosowania kohomologii Sheaf w teorii Twistora ”.
• Dunajski, Maciej, „ Teoria Twistora i równania różniczkowe ”.
• Andrew Hodges , Podsumowanie ostatnich wydarzeń.
• Huggett, Stephen (2005), „ Elementy teorii Twistora ”.
• Mason, LJ, „ Program twistor i struny twistor: od strun twistor do grawitacji kwantowej? ”
• Sämann, Christian (2006), „ Aspekty geometrii Twistor i supersymetryczne teorie pola w teorii superstrun ”.
• Sparling, George (1999), „ On Time Asymetria ”.
• Spradlin, Marcus (2006), „ Postęp i perspektywy w teorii strun Twistor ”.
• MathWorld: Twisty.
• Przegląd wszechświata: „ Teoria Twistora ”.
• Archiwa biuletynów Twistor .