Równanie Pella - Pell's equation

Równanie Pella , zwane również równaniem Pella-Fermata , to dowolne równanie diofantyczne w postaci, w której n jest daną dodatnią liczbą całkowitą niekwadratową i poszukuje się rozwiązań liczb całkowitych dla x i y . We współrzędnych kartezjańskich równanie jest reprezentowane przez hiperbolę ; rozwiązania występują wszędzie tam, gdzie krzywa przechodzi przez punkt, którego współrzędne x i y są liczbami całkowitymi, na przykład rozwiązanie trywialne z x  = 1 i y  = 0. Joseph Louis Lagrange udowodnił, że dopóki n nie jest idealnym kwadratem , równanie Pella ma nieskończenie wiele odrębnych rozwiązań liczb całkowitych. Roztwory te mogą być stosowane do dokładnego zbliżenie się pierwiastek kwadratowy z  n o liczb wymiernych z formy  x / y . ${\ Displaystyle x ^ {2}-ny ^ {2} = 1}$

Równanie to było po raz pierwszy intensywnie badane w Indiach, począwszy od Brahmagupty , który w swojej Brāhmasphuṭasiddhāncie około 628 r. znalazł rozwiązanie całkowitoliczbowe. Bhaskara II w XII wieku i Narayana Pandit w XIV wieku znaleźli ogólne rozwiązania równania Pella i innych niewyznaczonych równań kwadratowych. Bhaskarze II powszechnie przypisuje się rozwój metody czakravali , opierając się na pracy Jayadevy i Brahmagupty. Rozwiązania konkretnych przykładów równania Pella, takich jak liczby Pella wynikające z równania z n = 2, były znane znacznie dłużej, od czasów Pitagorasa w Grecji i podobnej daty w Indiach. William Brouncker był pierwszym Europejczykiem, który rozwiązał równanie Pella. Nazwa Równanie Pella powstał z Leonhard Euler błędnie przypisując rozwiązanie Brouncker za równania do John Pella . ${\ Displaystyle 92x ^ {2} +1 = y ^ {2}}$

Historia

Już w 400 rpne w Indiach i Grecji matematycy badali liczby wynikające z przypadku n  = 2 równania Pella,

${\ Displaystyle x ^ {2}-2y ^ {2} = 1}$

i z blisko spokrewnionego równania

${\ Displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} = -1}$

ze względu na połączenie tych równań z pierwiastkiem kwadratowym z 2 . Rzeczywiście, jeśli x i y są dodatnimi liczbami całkowitymi spełniającymi to równanie, to x / y jest przybliżeniem √ 2 . Liczby x i y pojawiające się w tych przybliżeniach, zwane liczbami bocznymi i średnicowymi , były znane pitagorejczykom , a Proclus zaobserwował, że w przeciwnym kierunku liczby te były zgodne z jednym z tych dwóch równań. Podobnie Baudhayana odkrył, że x = 17, y = 12 i x = 577, y = 408 to dwa rozwiązania równania Pella, a 17/12 i 577/408 są bardzo bliskimi przybliżeniami pierwiastka kwadratowego z 2.

Później Archimedes przybliżył pierwiastek kwadratowy z 3 liczbą wymierną 1351/780. Chociaż nie wyjaśnił swoich metod, przybliżenie to można uzyskać w ten sam sposób, jako rozwiązanie równania Pella. Podobnie problem Archimedesa z bydłem — starożytny problem słowny dotyczący znajdowania liczby bydła należącego do boga słońca Heliosa — można rozwiązać przez przeformułowanie go na równanie Pella. Rękopis zawierający problem stwierdza, że ​​został on wymyślony przez Archimedesa i zapisany w liście do Eratostenesa , a przypisanie do Archimedesa jest dziś powszechnie akceptowane.

Około 250 rne Diophantus rozważał równanie

${\ Displaystyle a ^ {2} x ^ {2} + c = y ^ {2},}$

gdzie a i c są liczbami stałymi, a x i y są zmiennymi do rozwiązania. To równanie różni się formą od równania Pella, ale jest mu równoważne. Diophantus rozwiązał równanie dla ( a , c ) równe (1, 1), (1, −1), (1, 12) i (3, 9). Al-Karaji , matematyk perski z X wieku, pracował nad podobnymi problemami co Diofant.

W indyjskiej matematyce Brahmagupta odkrył, że:

${\ Displaystyle (x_ {1} ^ {2}-Ny_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} - Ny_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2} }+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

forma tego, co jest obecnie znane jako tożsamość Brahmagupty . Korzystając z tego, był w stanie "skomponować" trójki i to były rozwiązania , aby wygenerować nowe trójki ${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$${\ Displaystyle x ^ {2}-Ny ^ {2} = k}$

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})}$ oraz ${\displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2}). }$

Nie tylko dało to możliwość wygenerowania nieskończenie wielu rozwiązań, zaczynając od jednego rozwiązania, ale także, dzieląc taką kompozycję przez , często można było uzyskać rozwiązania całkowite lub „prawie całkowite”. Na przykład Brahmagupta skomponował trójkę (10,1,8) (od ), aby otrzymać nową trójkę (192,20,64). Dzielenie całości przez 64 ('8' dla i ) dało trójkę (24, 5/2, 1), która po złożeniu ze sobą dała pożądane rozwiązanie liczb całkowitych (1151, 120, 1). Brahmagupta rozwiązał za pomocą tej metody wiele równań Pella, udowadniając, że daje rozwiązania zaczynając od rozwiązania całkowitoliczbowego dla k = ±1, ±2 lub ±4. ${\ Displaystyle x ^ {2}-Ny ^ {2} = 1}$${\displaystyle k_{1}k_{2}}$${\ Displaystyle N = 92}$${\ Displaystyle 10 ^ {2}-92 (1 ^ {2}) = 8}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle x ^ {2}-Ny ^ {2} = k}$

Pierwsza ogólna metoda rozwiązania równania Pella (dla wszystkich N ) została podana przez Bhaskarę II w 1150, rozszerzając metody Brahmagupty. Nazywana metodą chakravala (cykliczną) , zaczyna się od wybrania dwóch względnie pierwszych liczb całkowitych i , a następnie złożenia trójki (czyli takiej, która spełnia ) z trywialną trójką, aby uzyskać trójkę , którą można zmniejszyć do ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,b,k)}$${\ Displaystyle a ^ {2}-Nb ^ {2} = k}$${\ Displaystyle (m, 1, m ^ {2}-N)}$${\ Displaystyle (am + Nb, a + bm, k (m ^ {2}-N))}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {am + Nb} {k}} {\ Frac {a + bm} {k}} {\ Frac {m ^ {2}-N} {k}} \ prawej ).}$

Kiedy wybrano tak, że jest to liczba całkowita, podobnie jak pozostałe dwie liczby w trójce. Spośród takich metoda wybiera taką, która minimalizuje i powtarza proces. Ta metoda zawsze kończy się rozwiązaniem (dowiedzionym przez Josepha-Louisa Lagrange'a w 1768 r.). Bhaskara użył go, aby dać rozwiązanie x = 1766319049, y = 226153980 do przypadku N = 61. ${\ Displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {a+bm}{k}}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle {\ Frac {m ^ {2}-N} {k}}}$

Kilku europejskich matematyków odkryło na nowo, jak rozwiązać równanie Pella w XVII wieku, najwyraźniej nieświadomi, że zostało ono rozwiązane prawie pięćset lat wcześniej w Indiach. Pierre de Fermat znalazł sposób na rozwiązanie tego równania iw liście z 1657 r. wystawił je jako wyzwanie dla angielskich matematyków. W Liście do Kenelm Digby , Bernard Frénicle de Bessy że Fermatem znalezieniu najmniejszej rozwiązanie N do 150 i prowokacji John Wallis rozwiązania przypadków N = 151 i 313. Oba Wallis i William Brouncker dało rozwiązania tych problemów, chociaż Wallis sugeruje w liście, że rozwiązanie należało do Brounckera.

Związek Johna Pella z równaniem polega na tym, że poprawił tłumaczenie Thomasa Brankera książki Johanna Rahna z 1659 r. Teutsche Algebra na język angielski, z omówieniem rozwiązania równania Brouncera. Leonhard Euler błędnie sądził, że to rozwiązanie zawdzięcza Pellowi, w wyniku czego równanie nazwał imieniem Pell.

Ogólna teoria równania Pella, oparta na ułamkach ciągłych i manipulacjach algebraicznych na liczbach postaci, została opracowana przez Lagrange'a w latach 1766-1769. ${\displaystyle P+Q{\sqrt {a}}}$

Rozwiązania

Rozwiązanie podstawowe za pomocą ułamków ciągłych

Niech oznaczają kolejność convergents do regularnego ułamka dla . Ta sekwencja jest wyjątkowa. Następnie para rozwiązywanie równania Pella i minimalizacji x spełnia x ₁ = H _i i Y ₁ = k _I jakiegoś I . Ta para nazywana jest rozwiązaniem podstawowym . Zatem podstawowe rozwiązanie można znaleźć, wykonując ciągłe rozszerzanie ułamków i testując każdą kolejną zbieżność, aż do znalezienia rozwiązania równania Pella. ${\ Displaystyle {\ tfrac {h_ {i}} {k_ {i}}}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

Czas znalezienia rozwiązania fundamentalnego metodą ułamków ciągłych, za pomocą algorytmu Schönhage-Strassen do szybkiego mnożenia liczb całkowitych, mieści się w zakresie współczynnika logarytmicznego wielkości rozwiązania, czyli liczby cyfr w parze . Nie jest to jednak algorytm wielomianowy, ponieważ liczba cyfr w rozwiązaniu może być tak duża jak √ n , znacznie większa niż wielomian liczby cyfr w wartości wejściowej n . ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

Dodatkowe rozwiązania z rozwiązania podstawowego

Po znalezieniu rozwiązania podstawowego, wszystkie pozostałe rozwiązania można obliczyć algebraicznie z

${\ Displaystyle x_ {k} + y_ {k} {\ sqrt {n}} = (x_ {1} + y_ {1} {\ sqrt {n}}) ^ {k},}$

rozszerzenie prawą stronę, przyrównując współczynniki z obu stron, a zrównanie inne terminy po obu stronach. Daje to relacje nawrotów${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

${\displaystyle \displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.}$

Zwięzła reprezentacja i szybsze algorytmy

Chociaż wypisanie rozwiązania podstawowego ( x ₁ , y ₁ ) jako pary liczb binarnych może wymagać dużej liczby bitów, w wielu przypadkach może być ono przedstawione bardziej zwięźle w postaci

${\ Displaystyle x_ {1} + Y_ {1} {\ sqrt {n}} = \ prod _ {i = 1} ^ {t} (a_ {i} + b_ {i} {\ sqrt {n}}) ^{c_{i}}}$

przy użyciu znacznie mniejszej liczby całkowite _I , b _I i c _I .

Na przykład, problem bydła Archimedesa jest równoważny równaniu Pella , którego podstawowe rozwiązanie ma 206545 cyfr, jeśli jest wyraźnie napisane. Jednak rozwiązanie jest również równe ${\ Displaystyle x ^ {2}-410286423278424y ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle x_ {1} + Y_ {1} {\ sqrt {n}} = u ^ {2329},}$

gdzie

${\ Displaystyle u = x '_ {1} + Y _ {1} {\ sqrt {4729494}} = (300426607914281713365 {\ sqrt {609}} + 84129507677858393258 {\ sqrt {7766}}) ^ {2}}$

a i tylko 45 i 41 cyfr dziesiętnych, odpowiednio. ${\displaystyle x'_{1}}$${\displaystyle y'_{1}}$

Do zbierania relacji między liczbami pierwszymi w polu liczbowym generowanym przez √ n i łączenia tych relacji w celu znalezienia reprezentacji tego typu iloczynu można wykorzystać metody związane z podejściem kwadratowego sita do faktoryzacji liczb całkowitych . Otrzymany algorytm rozwiązywania równania Pella jest bardziej wydajny niż metoda ułamków ciągłych, chociaż nadal zajmuje więcej niż czas wielomianowy. Przy założeniu uogólnionej hipotezy Riemanna można wykazać, że wymaga to czasu

${\ Displaystyle \ exp O ({\ sqrt {\ log N \ log \ log N}}),}$

gdzie N  = log  n jest wielkością wejściową, podobnie jak sito kwadratowe.

Algorytmy kwantowe

Hallgren wykazał, że komputer kwantowy może znaleźć reprezentację produktu, jak opisano powyżej, dla rozwiązania równania Pella w czasie wielomianowym. Algorytm Hallgrena, który można interpretować jako algorytm znajdowania grupy jednostek rzeczywistego ciała kwadratowego , został rozszerzony na bardziej ogólne ciała przez Schmidta i Völlmera.

Przykład

Jako przykład rozważmy przykład równania Pella dla n = 7; to jest,

${\ Displaystyle x ^ {2}-7y ^ {2} = 1.}$

Ciąg zbieżności pierwiastka kwadratowego z siedmiu to

h  /  k (zbieżne)	h 2  − 7 k 2 (przybliżenie typu Pella)
2 / 1	-3
3 / 1	+2
5 / 2	-3
8 / 3	+1

Dlatego rozwiązanie podstawowe tworzy para (8, 3). Zastosowanie wzoru rekurencyjnego do tego rozwiązania generuje nieskończoną sekwencję rozwiązań

(1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088,194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ... (sekwencja A001081 ( x ) i A001080 ( y ) w OEIS )

Najmniejsze rozwiązanie może być bardzo duże. Na przykład, najmniejsze rozwiązanie to (32188120829134849, 1819380158564160) i jest to równanie, które Frenicle wyzwał Wallis do rozwiązania. Wartości n takie, że najmniejsze rozwiązanie jest większe niż najmniejsze rozwiązanie dla dowolnej mniejszej wartości n są ${\ Displaystyle x ^ {2}-313y ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle x ^ {2}-ny ^ {2} = 1}$

1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949, ... (sekwencja A033316 w OEIS ).

(Dla tych zapisów zobacz OEIS :  A033315 dla x i OEIS :  A033319 dla y .)

Lista podstawowych rozwiązań równań Pella

Poniżej znajduje się lista podstawowego rozwiązania z n ≤ 128. Dla kwadratu n nie ma rozwiązania poza (1, 0). Wartości x to sekwencja A002350, a y to sekwencja A002349 w OEIS . ${\ Displaystyle x ^ {2}-ny ^ {2} = 1}$

n	x	tak
1	–	–
2	3	2
3	2	1
4	–	–
5	9	4
6	5	2
7	8	3
8	3	1
9	–	–
10	19	6
11	10	3
12	7	2
13	649	180
14	15	4
15	4	1
16	–	–
17	33	8
18	17	4
19	170	39
20	9	2
21	55	12
22	197	42
23	24	5
24	5	1
25	–	–
26	51	10
27	26	5
28	127	24
29	9801	1820
30	11	2
31	1520	273
32	17	3

n	x	tak
33	23	4
34	35	6
35	6	1
36	–	–
37	73	12
38	37	6
39	25	4
40	19	3
41	2049	320
42	13	2
43	3482	531
44	199	30
45	161	24
46	24335	3588
47	48	7
48	7	1
49	–	–
50	99	14
51	50	7
52	649	90
53	66249	9100
54	485	66
55	89	12
56	15	2
57	151	20
58	19603	2574
59	530	69
60	31	4
61	1766319049	226153980
62	63	8
63	8	1
64	–	–

n	x	tak
65	129	16
66	65	8
67	48842	5967
68	33	4
69	7775	936
70	251	30
71	3480	413
72	17	2
73	2281249	267000
74	3699	430
75	26	3
76	57799	6630
77	351	40
78	53	6
79	80	9
80	9	1
81	–	–
82	163	18
83	82	9
84	55	6
85	285769	30996
86	10405	1122
87	28	3
88	197	21
89	500001	53000
90	19	2
91	1574	165
92	1151	120
93	12151	1260
94	2143295	221064
95	39	4
96	49	5

n	x	tak
97	62809633	6377352
98	99	10
99	10	1
100	–	–
101	201	20
102	101	10
103	227528	22419
104	51	5
105	41	4
106	32080051	3115890
107	962	93
108	1351	130
109	158070671986249	15140424455100
110	21	2
111	295	28
112	127	12
113	1204353	113296
114	1025	96
115	1126	105
116	9801	910
117	649	60
118	306917	28254
119	120	11
120	11	1
121	–	–
122	243	22
123	122	11
124	4620799	414960
125	930249	83204
126	449	40
127	4730624	419775
128	577	51

Znajomości

Równanie Pella ma powiązania z kilkoma innymi ważnymi przedmiotami matematyki.

Teoria liczb algebraicznych

Równanie Pella jest ściśle związane z teorią liczb algebraicznych , ponieważ wzór

${\ Displaystyle x ^ {2}-ny ^ {2} = (x + y {\ sqrt {n}}) (xy {\ sqrt {n}})}$

jest normą dla pierścienia i dla blisko spokrewnionego pola kwadratowego . Zatem para liczb całkowitych rozwiązuje równanie Pella wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednostką o normie 1 w . Twierdzenie Dirichleta o jednostkach , że wszystkie jednostki mogą być wyrażone jako potęgi pojedynczej jednostki podstawowej (i mnożenie przez znak), jest algebraicznym powtórzeniem faktu, że wszystkie rozwiązania równania Pella można wygenerować z rozwiązania podstawowego. Zasadniczo jednostkę podstawową można znaleźć, rozwiązując równanie Pell-podobne, ale nie zawsze odpowiada ona bezpośrednio podstawowemu rozwiązaniu samego równania Pella, ponieważ jednostka podstawowa może mieć normę -1 zamiast 1, a jej współczynniki mogą być połówkami liczb całkowitych zamiast liczb całkowitych. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {n}}]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {n}})}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {n}}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {n}}]}$

Wielomiany Czebyszewa

Demeyer wspomina o związku między równaniem Pella a wielomianami Czebyszewa : Jeśli i są wielomianami Czebyszewa odpowiednio pierwszego i drugiego rodzaju, to te wielomiany spełniają postać równania Pella w dowolnym pierścieniu wielomianowym , z : ${\ Displaystyle T_ {i} (x)}$${\ Displaystyle U_ {i} (x)}$ ${\displaystyle R[x]}$${\ Displaystyle n = x ^ {2}-1}$

${\ Displaystyle T_ {i} ^ {2}-(x ^ {2}-1) U_ {i-1} ^ {2} = 1.}$

Tak więc te wielomiany można wygenerować przy użyciu standardowej techniki równań Pella polegającej na przyjmowaniu potęg rozwiązania podstawowego:

${\ Displaystyle T_ {i} + U_ {i-1} {\ sqrt {x ^ {2}-1}} = (x + {\ sqrt {x ^ {2}-1}}) ^ {i}.}$

Można dalej zaobserwować, że jeśli są rozwiązaniami dowolnego równania Pella całkowitoliczbowego, to i . ${\ Displaystyle (x_ {i}, Y_ {i})}$${\ Displaystyle x_ {i} = T_ {i} (x_ {1})}$${\ Displaystyle y_ {i} = Y_ {1} U_ {i-1} (x_ {1})}$

Ułamki ciągłe

Ogólny rozwój rozwiązań równania Pella w kategoriach ułamków łańcuchowych z można przedstawić, ponieważ rozwiązania x i y są przybliżone do pierwiastka kwadratowego z n, a zatem są szczególnym przypadkiem przybliżeń ułamków łańcuchowych dla niewymiernych kwadratów . ${\ Displaystyle x ^ {2}-ny ^ {2} = 1}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Związek z ułamkami łańcuchowymi implikuje, że rozwiązania równania Pella tworzą podzbiór półgrupy grupy modułowej . Tak więc, na przykład, jeśli p i q spełniają równanie Pella, to

${\displaystyle {\zacząć{pmatrix}p&q\\nq&p\koniec {pmatrix}}}$

jest macierzą wyznacznika jednostkowego . Iloczyny takich macierzy przybierają dokładnie taką samą postać, a więc wszystkie takie iloczyny dają rozwiązania równania Pella. Można to częściowo rozumieć jako wynikające z faktu, że kolejne zbieżności ułamka łańcuchowego mają tę samą właściwość: Jeżeli p _{k −1} / q _{k −1} i p _k / q _k są dwoma kolejnymi zbieżnościami ułamka łańcuchowego, to matryca

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} p_ {k-1} i p_ {k} \ \ q_ {k-1} i q_ {k} \ koniec {pmatrix}}}$

ma wyznacznik (−1) ^k .

Gładkie liczby

Twierdzenie Størmera stosuje równania Pella do znajdowania par kolejnych liczb gładkich , dodatnich liczb całkowitych, których wszystkie czynniki pierwsze są mniejsze niż podana wartość. W ramach tej teorii Størmer zbadał również relacje podzielności między rozwiązaniami równania Pella; w szczególności pokazał, że każde rozwiązanie inne niż podstawowe ma czynnik pierwszy , który nie dzieli  n .

Ujemne równanie Pella

Ujemne równanie Pella jest podane przez

${\ Displaystyle x ^ {2}-ny ^ {2} = -1.}$

Został również szeroko zbadany; może być rozwiązany tą samą metodą ułamków ciągłych i będzie miał rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy okres ułamka łańcuchowego ma nieparzystą długość. Jednak nie wiadomo, które pierwiastki mają nieparzyste długości okresów, a zatem nie wiadomo, kiedy można rozwiązać ujemne równanie Pella. Koniecznym (ale niewystarczającym) warunkiem rozwiązania jest to, że n nie jest podzielne przez 4 lub przez liczbę pierwszą z postaci 4 k  + 3. Zatem na przykład x ²  − 3 ny ²  = −1 nigdy nie jest rozwiązalne, ale x ²  − 5 ny ²  = −1 może być.

Pierwsze kilka liczb n, dla których x ²  −  ny ²  = −1 jest rozwiązywalne to

1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... (sekwencja A031396 w OEIS ).

Proporcja bezkwadratowego n podzielnego przez k liczb pierwszych postaci 4 m  + 1, dla której można rozwiązać ujemne równanie Pella, wynosi co najmniej 40%. Jeśli ujemne równanie Pella ma rozwiązanie dla konkretnego n , jego rozwiązanie podstawowe prowadzi do rozwiązania podstawowego dla przypadku dodatniego przez podniesienie do kwadratu obu stron równania definiującego:

${\ Displaystyle (x ^ {2}-ny ^ {2}) ^ {2} = (-1) ^ {2}}$

implikuje

${\ Displaystyle (x ^ {2} + ny ^ {2}) ^ {2} - n (2xy) ^ {2} = 1.}$

Jak wspomniano powyżej, jeśli ujemne równanie Pella jest rozwiązywalne, rozwiązanie można znaleźć za pomocą metody ułamków ciągłych, jak w dodatnim równaniu Pella. Relacja rekurencji działa jednak nieco inaczej. Ponieważ , następne rozwiązanie jest określane na podstawie tego, kiedy występuje dopasowanie, czyli kiedy jest nieparzyste. Wynikowa relacja rekurencji to (modulo znak minus, który jest nieistotny ze względu na kwadratowy charakter równania) ${\ Displaystyle (x + {\ sqrt {n}} y) (x-{\ sqrt {n}} y) = -1}$${\ Displaystyle \ imat (x_ {k} + {\ sqrt {n}} y_ {k}) = (\ imat (x + {\ sqrt {n}} y)) ^ {k}}$${\displaystyle k}$

${\ Displaystyle x_ {k} = x_ {k-2} x_ {1} ^ {2} + nx_ {k-2} y_ {1} ^ {2} + 2ny_ {k-2} y_ {1} x_ { 1}}$

${\ Displaystyle y_ {k} = y_ {k-2} x_ {1} ^ {2} + ny_ {k-2} y_ {1} ^ {2} + 2x_ {k-2} y_ {1} x_ { 1}}$,

co daje nieskończoną wieżę rozwiązań negatywnego równania Pella.

Uogólnione równanie Pella

Równanie

${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = N}$

nazywa się uogólnionym (lub ogólnym ) równaniem Pella . Równanie to odpowiednia rezolwenta Pella . Algorytm rekurencyjny został podany przez Lagrange'a w 1768 do rozwiązania równania, redukując problem do przypadku . Takie rozwiązania można uzyskać stosując metodę frakcji ciągłych, jak opisano powyżej. ${\ Displaystyle u ^ {2}-dv ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ lewo \ vert N \ prawy \ vert < {\ sqrt {d}}}$

Jeśli jest rozwiązaniem i jest rozwiązaniem, to takim, które jest rozwiązaniem , zasadą zwaną zasadą multiplikatywną . Rozwiązanie nazywa się wielokrotnością Pella rozwiązania . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = N}$${\ Displaystyle (u_ {n}, v_ {n})}$${\ Displaystyle u ^ {2}-dv ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle (x_ {n}, y_ {n})}$${\displaystyle x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}=(x_{0}+y_{0}{\sqrt {d}})(u_{n}+v_{n}{\ sqrt {d}})}$${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = N}$${\ Displaystyle (x_ {n}, y_ {n})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Istnieje skończony zbiór rozwiązań do tego stopnia , że każde rozwiązanie jest wielokrotnością Pella rozwiązania z tego zbioru. W szczególności, jeśli jest podstawowym rozwiązaniem , to każde rozwiązanie równania jest wielokrotnością Pella rozwiązania z i , gdzie . ${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = N}$${\displaystyle (u,v)}$${\ Displaystyle u ^ {2}-dv ^ {2} = 1}$${\displaystyle (x,y)}$${\ Displaystyle | x | \ leq {\ tfrac {{\ sqrt {| N |}} ({\ sqrt {| U |}} + 1)} {2}}}$${\ Displaystyle | y | \ leq {\ tfrac {{\ sqrt {| N |}} ({\ sqrt {| U |}} + 1) {2 {\ sqrt {d}}}}}$${\ Displaystyle U = u + v {\ sqrt {d}}}$

Jeśli x i y oraz dodatnie liczby całkowite rozwiązania równania Pella z , to jest zbieżny do ułamka łańcuchowego . ${\ Displaystyle | N | < {\ sqrt {d}}}$${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}$${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

Rozwiązania uogólnionego równania Pella służą do rozwiązywania pewnych równań diofantycznych i jednostek pewnych pierścieni i powstają w badaniach nad SIC-POVM w kwantowej teorii informacji .

Równanie

${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = 4}$

jest podobny do rezolwenty pod tym względem, że jeśli można znaleźć minimalne rozwiązanie, to wszystkie rozwiązania równania można wygenerować w podobny sposób jak w przypadku . Na pewno rozwiązania do mogą być generowane z tych z , w tym przypadku co trzecie rozwiązanie do ma nawet, generowanie rozwiązania do . ${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = 4}$${\ Displaystyle N = 1}$${\displaystyle d}$${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = 4}$${\ Displaystyle d \ równoważnik 5 {\ pmod {8}}}$${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = 4}$${\displaystyle x,y}$${\ Displaystyle x ^ {2}-dy ^ {2} = 1}$

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

• Edwards, Harold M. (1996) [1977]. Ostatnie twierdzenie Fermata: Genetyczne wprowadzenie do algebraicznej teorii liczb . Teksty magisterskie z matematyki . 50 . Springer-Verlag . Numer ISBN 0-387-90230-9. MR  0616635 .
• Szczypta, RGE (1988). „Równania Pellianowskie równoczesne” . Matematyka. Proc. Filos z Cambridge. Soc . 103 (1): 35–46. Kod Bib : 1988MPCPS.103...35P . doi : 10.1017/S0305004100064598 .
• Whitford, Edward Everett (1912). „Równanie Pella” (rozprawa doktorska) . Uniwersytet Columbia.
• Williams, HC (2002). „Rozwiązywanie równania Pella”. w Bennett, MA; Berndta, BC ; Boston, N .; Diament, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (red.). Badania w teorii liczb: Artykuły z konferencji milenijnej na temat teorii liczb . Natick, MA: AK Peters. s. 325–363. Numer ISBN 1-56881-162-4. Zbl  1043.11027 .

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Równanie Pella” . MatematykaŚwiat .
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Równanie Pella” , archiwum historii matematyki MacTutor , University of St Andrews
• Narzędzie do rozwiązywania równań Pella ( n nie ma górnej granicy)
• Narzędzie do rozwiązywania równań Pella ( n <10^10, może również zwrócić rozwiązanie do x^2-ny^2 = +-1, +-2, +-3 i +-4)