W matematyce The (pole) normą jest szczególnie mapowanie zdefiniowane w dziedzinie teorii , która odwzorowuje elementy większego obszaru w podpolu.
Formalna definicja
Niech K będzie pola i L skończoną przedłużenie (a zatem stanowią algebraiczna rozszerzenie ) z K .
Pole L jest wtedy skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad K .
Mnożenie przez α, element L ,
-
,
jest K - liniowym przekształceniem tej przestrzeni wektorowej w siebie.
Normą , N L / K ( α ) jest zdefiniowana jako determinanta tej transformacji liniowej .
Jeśli L / K jest rozszerzeniem Galois , można obliczyć normę α ∈ L jako iloczyn wszystkich koniugatów Galois α:
gdzie Gal ( l / K ) oznacza grupę Galois o L / K . (Pamiętaj, że może wystąpić powtórzenie w warunkach produktu)
Dla ogólnego rozszerzenia pola L / K i niezerowego α w L ,
niech σ 1 ( α ), ..., σ n ( α ) będą pierwiastkami minimalnego wielomianu α nad K (pierwiastki wymienione z wielokrotnością i leżące w pewnym polu rozszerzenia L ); następnie
-
.
Jeśli L / K jest rozdzielne , to każdy pierwiastek pojawia się w iloczynie tylko raz (chociaż wykładnik, stopień [ L : K (α)], wciąż może być większy niż 1).
Przykłady
Kwadratowe rozszerzenia pola
Jeden z podstawowych przykładów norm pochodzi z rozszerzeń pola kwadratowego, gdzie jest liczbą całkowitą bez kwadratu.
Wtedy mapa mnożenia przez na elemencie to
Element może być reprezentowany przez wektor
ponieważ istnieje bezpośredni rozkład sumy jako przestrzeń -wektorowa.
Matrycy z Następnie
a normą jest , ponieważ jest wyznacznikiem tej macierzy .
Norma Q(√2)
W tym przykładzie normą był kwadrat zwykłej normy odległości euklidesowej w .
Ogólnie rzecz biorąc, norma pola bardzo różni się od zwykłej normy odległości .
Zilustrujemy to na przykładzie, w którym norma pola może być ujemna.
Rozważmy pole liczbowe .
Grupa Galois od ponad ma rozkaz jest wytwarzany przez element, który przesyła się .
Tak więc normą jest:
Normę polową można również uzyskać bez grupy Galois .
Napraw podstawę , powiedzmy:
-
.
Następnie mnożenie przez liczbę wysyła
- 1 do i
-
do .
Więc wyznacznik z „pomnożenie przez ” jest wyznacznikiem z macierzy , która wysyła wektor
-
(odpowiadający pierwszemu elementowi bazowemu, tj. 1) do ,
-
(odpowiadający drugiemu elementowi bazowemu, tj. ) do ,
mianowicie.:
Determinanta tej matrycy wynosi -1.
K -te rozszerzenia pola korzeniowego
Inna prosta klasa przykładów pochodzi z rozszerzeń pól postaci, w której rozkład na czynniki pierwsze nie zawiera żadnych -tych potęg.
Mapa mnożenia przez element to
dając macierz
Wyznacznikiem daje normę
Liczby zespolone nad liczbami rzeczywistymi
Norma pola od liczb zespolonych do liczb rzeczywistych wysyła
- x + iy
do
-
x 2 + y 2 ,
ponieważ grupa Galois od przejęcia ma dwa elementy,
- element tożsamości i
- złożona koniugacja,
i biorąc iloczyn wydajności ( x + iy )( x − iy ) = x 2 + y 2 .
Pola skończone
Niech L = GF ( q n ) będzie ograniczony przedłużenie o ograniczonym zakresie K = GF ( q ).
Ponieważ L / K jest rozszerzeniem Galois , jeśli α jest w L , to norma α jest iloczynem wszystkich sprzężonych Galois z α , tj.
W tym ustawieniu mamy dodatkowe właściwości,
Właściwości normy
Kilka własności funkcji normy obowiązuje dla każdego skończonego rozszerzenia.
Homomorfizm grupowy
Norma N L / K : L * → K * to homomorfizm grupowy od grupy multiplikatywnej L do grupy multiplikatywnej K , czyli
Ponadto, jeśli a w K :
Jeśli w ∈ K następnie
Kompozycja z rozszerzeniami pól
Dodatkowo norma dobrze zachowuje się w wieżach pól :
jeśli M jest skończonym rozszerzeniem L , to norma od M do K jest po prostu złożeniem normy od M do L z normą od L do K , tj.
Redukcja normy
Normę elementu w dowolnym rozszerzeniu pola można sprowadzić do łatwiejszego obliczenia, jeśli stopień rozszerzenia pola jest już znany. To jest
Na przykład, dla w rozszerzenie ciała , normy Is
ponieważ stopień rozszerzenia pola wynosi .
Wykrywanie jednostek
Element jest jednostką wtedy i tylko wtedy, gdy .
Na przykład
gdzie
-
.
Wtedy każde pole zawierające liczbę ma ją jako jednostkę.
Dalsze właściwości
Normą algebraicznej liczby całkowitej jest znowu liczba całkowita, ponieważ jest równa (do znaku) stałemu członowi wielomianu charakterystycznego.
W algebraicznej teorii liczb definiuje się również normy dla ideałów . Odbywa się to w taki sposób, że w przypadku , że jest niezerowy ideał O K , z pierścieniem całkowitymi od pola liczba K , N ( I ) jest liczba klas pozostałości w - tzn Relacja ta skończonej pierścienia . Stąd ta idealna norma jest zawsze dodatnią liczbą całkowitą.
Gdy I jest ideałem głównym αO K to N ( I ) jest równe wartości bezwzględnej normy Q z α , dla α jest algebraiczną liczbą całkowitą .
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
-
Lidla, Rudolfa; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Pola skończone , Encyklopedia matematyki i jej zastosowania, 20 (druga red.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-39231-4, Zbl 0866.11069
-
Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Podręcznik pól skończonych , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
-
Roman Steven (2006), Teoria pola , Graduate Texts in Mathematics , 158 (druga ed.), Springer, rozdział 8, ISBN 978-0-387-27677-9, Zbl 1172.12001
-
Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7