Rozdzielacz równoległy - Parallelizable manifold

W matematyce różniczkowalna rozmaitość wymiaru n nazywana jest równoległością, jeśli istnieją gładkie pola wektorowe${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ {V_ {1}, \ kropki, V_ {n} \}}$

w kolektorze tak, że w każdym punkcie na tych wektorów stycznych${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ {V_ {1} (p), \ kropki, V_ {n} (p) \}}$

zapewnienie podstaw na przestrzeni stycznej w . Równoważnie wiązka styczna jest trywialne wiązki tak, że wiąże się główny pakiet z ramkami liniowych ma globalny rozdział poświęcony ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M.}$

Szczególny wybór takiej podstawy pól wektorowych nazywane jest równoległością (lub równoległością absolutną ) . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Przykłady

• Przykładem n = 1 jest okrąg : możemy przyjąć V ₁ jako jednostkowe pole wektorowe stycznej, powiedzmy wskazujące w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Torusa wymiaru n także parallelizable, jak widać, wyrażając go jako iloczyn kartezjański kół. Na przykład, weź n = 2 i skonstruuj torus z kwadratu papieru milimetrowego ze sklejonymi ze sobą przeciwnymi krawędziami, aby uzyskać pojęcie o dwóch stycznych kierunkach w każdym punkcie. Mówiąc bardziej ogólnie, każda grupa Liego G jest równoległa, ponieważ podstawa przestrzeni stycznej w elemencie tożsamości może być przemieszczana przez działanie grupy translacji G na G (każde tłumaczenie jest dyfeomorfizmem, a zatem te tłumaczenia indukują liniowe izomorfizmy między styczne przestrzenie punktów w G ).
• Klasycznym problemem było określenie, które ze sfer S ⁿ są równoległe. Przypadek zerowymiarowy S ⁰ jest trywialnie równoległy. Przypadek S ¹ to okrąg, który jest równoległy, jak już wyjaśniono. Twierdzenie o owłosionej kuli pokazuje, że S ² nie jest równoległy. Jednak S ³ jest zrównoleglony, ponieważ jest to grupa Lie SU (2) . Jedyną inną równoległą kulą jest S ⁷ ; zostało to udowodnione w 1958 roku przez Michela Kervaire'a oraz Raoula Bott i Johna Milnora w niezależnej pracy. Sfery, które można zrównoleglać, odpowiadają dokładnie elementom normy jednostkowej w algebrach z normowanym podziałem liczb rzeczywistych, liczb zespolonych, kwaternionów i oktonionów , co pozwala na skonstruowanie równoległości dla każdego z nich. Udowodnienie, że inne sfery nie są równoległe, jest trudniejsze i wymaga topologii algebraicznej .
• Iloczyn równoległych kolektorów jest zrównoleglony.
• Każda orientowalna trójwymiarowa rozmaitość jest równoległa.

Uwagi

• Każda równoległa rozgałęźna jest orientowalna .
• Termin rozmaitość oprawiona (czasami kolektor sfałszowany ) jest najczęściej stosowany do kolektora osadzonego z daną trywializacją wiązki normalnej , a także do abstrakcyjnej (tj. Niezabudowanej) rozmaitości z określoną stabilną trywializacją wiązki stycznej .
• Podobnym pojęciem jest pojęcie π-rozmaitości . Gładka rozmaitość M nazywana jest rozmaitością π, jeśli po osadzeniu w wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej jej normalny pakiet jest trywialny. W szczególności każda równoległa rozmaitość jest rozmaitością π.

Zobacz też

• Wykres (topologia)
• Różniczkowalna rozmaitość
• Pakiet ramek
• Niezmiennik Kervaire'a
• Pakiet ramek ortonormalnych
• Główny pakiet
• Połączenie (matematyka)
• Struktura G.

Uwagi

Bibliografia

• Bishop, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN   0-486-64039-6
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Characteristic Classes , Princeton University Press
• Milnor, John W. (1958), Różniczkowalne rozmaitości, które są sferami homotopii (PDF) , powielone notatki