Twierdzenie Hurwitza (algebry złożone) - Hurwitz's theorem (composition algebras)
W matematyce , twierdzenie Hurwitza jest twierdzenie Adolf Hurwitz (1859-1919), wydane pośmiertnie w 1923 roku rozwiązania problemu Hurwitz na skończenie wymiarowa unital rzeczywistych non-asocjacyjnych algebr obdarzonych pozytywnego-definitywna forma kwadratowa . Stany twierdzenie, że jeśli forma kwadratowa definiuje homomorfizm do tych dodatnich liczb rzeczywistych na niezerową część algebraiczną następnie Algebra musi izomorficzne z liczb rzeczywistych , na liczbach zespolonych , w quaternions , względnie octonions . Takie algebry, czasami nazywane algebrami Hurwitza , są przykładami algebr składu .
Teoria algebr składu został następnie uogólnić na dowolne kwadratowych form i dowolnych pól . Twierdzenie Hurwitza implikuje, że wzory multiplikatywne na sumy kwadratów mogą występować tylko w 1, 2, 4 i 8 wymiarach, co zostało pierwotnie udowodnione przez Hurwitza w 1898 roku. Jest to szczególny przypadek problemu Hurwitza , rozwiązany również przez Radona (1922) . Kolejne dowody ograniczeń wymiaru podali Eckmann (1943) używając teorii reprezentacji grup skończonych oraz Lee (1948) i Chevalley (1954) używając algebr Clifforda . Twierdzenie Hurwitza zostało zastosowane w topologii algebraicznej problemów dotyczących pól wektorowych na sferach i homotopii grup tych grup klasycznych oraz w mechanice kwantowej do klasyfikacji prostych algebr Jordan .
Algebry Euklidesa Hurwitza
Definicja
Hurwitz Algebra lub kompozycja Algebra jest niekoniecznie asocjacyjny Algebra skończonych wymiarowe tożsamością obdarzone niezdegenerowanych kwadratowa formy q takie, że P ( a b ) = q ( ) q ( b ) . Jeśli bazowym polem współczynnika są liczby rzeczywiste, a q jest dodatnio określone, tak że ( a , b ) = 1/2[ q ( a + b ) − q ( a ) − q ( b )] jest iloczynem skalarnym , wtedy A nazywamy algebrą Euklidesa Hurwitza lub (skończenie wymiarową) znormalizowaną algebrą dzielenia .
Jeśli A jest algebrą Euklidesa Hurwitza i a należy do A , zdefiniuj inwolucję oraz prawe i lewe operatory mnożenia przez
Najwyraźniej inwolucja ma okres drugi i zachowuje produkt wewnętrzny i normę. Operatory te mają następujące właściwości:
- inwolucja jest antyautomorfizmem, tj. ( a b )*= b * a *
- a a * = ‖ a ‖ 2 1 = a * a
- L ( a *) = L ( a )* , R ( a *) = R ( a )* , tak aby inwolucja na algebrze odpowiadała tworzeniu sprzężenia
- Re( a b ) = Re( b a ) jeśli Re x = ( x + x *)/2 = ( x , 1)1
- Re( a b ) c = Re a ( b c )
- L ( 2 ) = L ( ) 2 , R ( 2 ) = R ( ) 2 , tak żejest alternatywny Algebra .
Własności te są udowadniane wychodząc ze spolaryzowanej wersji tożsamości ( a b , a b ) = ( a , a )( b , b ) :
Ustawienie b = 1 lub d = 1 daje L ( a * ) = L ( a ) * i R ( c * ) = R ( c ) * .
Stąd Re( a b ) = ( a b , 1)1 = ( a , b *)1 = ( b a , 1)1 = Re( b a ) .
Podobnie Re ( a b ) c = (( a b ) c ,1)1 = ( a b , c *)1 = ( b , a * c *)1 = ( bc , a *)1 = ( a ( bc ),1 )1 = Re a ( b c ) .
Stąd (( ab )*,c) = ( ab , c *) = ( b , a * c *) = (1, b *( a * c *)) = (1,( b * a *) c * ) = ( b * a * , c ) , tak że ( ab )* = b * a * .
Przez spolaryzowaną tożsamość ‖ a ‖ 2 ( c , d ) = ( a c , a d ) = ( a * ( a c ), d ) więc L ( a * ) L ( a ) = L ( ‖ a ‖ 2 ) . W zastosowaniu do 1 daje to a * a = ‖ a ‖ 2 1 . Wymiana za pomocą * daje drugą tożsamość.
Podstawiając wzór na a * w L ( a * ) L ( a ) = L ( a * a ) daje L ( a ) 2 = L ( a 2 ) . Preparat R ( 2 ) = R ( ) 2 świadczy analogicznie.
Klasyfikacja
Rutynowo sprawdza się, czy liczby rzeczywiste R , liczby zespolone C i kwaterniony H są przykładami asocjacyjnych algebr Euklidesa Hurwitza z ich standardowymi normami i inwolucjami. Występują ponadto naturalne wtrącenia R ⊂ C ⊂ H .
Analiza takiego włączenia prowadzi do konstrukcji Cayleya-Dicksona , sformalizowanej przez AA Alberta . Niech A będzie algebrą Euklidesa Hurwitza, a B właściwą podalgebrą z jedynkami, a więc algebrą Euklidesa Hurwitza. Wybierz wektor jednostkowy j w A prostopadły do B . Ponieważ ( j , 1) = 0 , wynika z tego, że j * = − j i stąd j 2 = −1 . Niech C będzie podalgebrą generowaną przez B i j . Jest jednością i ponownie jest algebrą Euklidesa Hurwitza. Spełnia następujące prawa mnożenia Cayleya-Dicksona :
B i Bj są ortogonalne, ponieważ j jest ortogonalne do B . Jeśli a jest w B , wtedy j a = a * j , ponieważ prostopadle 0 = 2 ( j , a *) = j a − a * j . Wzór na inwolucję jest następujący. Aby pokazać, że B ⊕ B j jest domknięty przy mnożeniu Bj = j B . Ponieważ B j jest prostopadłe do 1, ( b j )* = − b j .
- b ( c j ) = ( c b ) j ponieważ ( b , j ) = 0 więc dla x w A , ( b ( c j ), x ) = ( b ( j x ), j ( c j )) = −( b ( jx ), c *) = −( c b , ( j x )*) = − (( c b ) j , x *) = (( c b ) j , x ) .
- ( j c ) b = j ( b c ) biorąc sprzężenia powyżej.
- ( b j )( c j ) = − c * b ponieważ ( b , c j ) = 0, więc dla x w A , (( b j )( c j ), x ) = -(( c j ) x *, b j ) = ( b x * , ( c j ) j ) = -( c * b , x ) .
Nałożenie multiplikatywności normy na C dla a + b j i c + d j daje:
który prowadzi do
Stąd d ( a c ) = ( d a ) c , więc B musi być asocjacyjne .
Ta analiza dotyczy włączenia R do C i C do H . Biorąc O = H ⊕ H z iloczynem i iloczynem skalarnym powyżej daje nieprzemienną algebrę nieasocjacyjną generowaną przez J = (0, 1 ) . Przywraca to zwykłą definicję oktonionów lub liczb Cayleya . Jeśli A jest algebrą Euklidesa, musi zawierać R . Jeśli jest ściśle większy niż R , powyższy argument pokazuje, że zawiera C . Jeśli jest większy niż C , zawiera H . Jeśli jest jeszcze większy, musi zawierać O . Ale na tym proces musi się zatrzymać, ponieważ O nie jest skojarzeniowe. W rzeczywistości H nie jest przemienne ( bj ) = ( b a ) j ≠ ( w b ) J w O .
Twierdzenie. Jedynymi algebrami Euklidesa Hurwitza są liczby rzeczywiste, liczby zespolone, kwaterniony i oktonony.
Inne dowody
Dowody Lee (1948) i Chevalley (1954) używać algebr Clifford , aby pokazać, że wymiar N o A musi wynosić 1, 2, 4 i 8. W rzeczywistości operatorzy L ( ) z ( , 1) = 0 zaspokoić L ( a ) 2 = −‖ a ‖ 2 iw ten sposób tworzymy rzeczywistą algebrę Clifforda. Jeśli a jest wektorem jednostkowym, to L ( a ) jest skośnie sprzężone z kwadratem − I . Zatem N musi być parzyste lub 1 (w takim przypadku A nie zawiera wektorów jednostkowych prostopadłych do 1). Rzeczywista algebra Clifforda i jej złożoność działają na złożoność A , N- wymiarowej przestrzeni zespolonej. Jeśli N jest parzyste, N − 1 jest nieparzyste, więc algebra Clifforda ma dokładnie dwie złożone nieredukowalne reprezentacje wymiaru 2 N /2 − 1 . Więc ta potęga 2 musi podzielić N . Łatwo zauważyć, że oznacza to, że N może wynosić tylko 1, 2, 4 lub 8.
Dowód Eckmanna (1954) wykorzystuje teorię reprezentacji grup skończonych lub teorię reprezentacji rzutowej elementarnych 2 grup abelowych, o której wiadomo, że jest równoważna teorii reprezentacji prawdziwych algebr Clifforda. Rzeczywiście, przyjęcie ortonormalnej bazy e i dopełnienia ortogonalnego 1 daje operatory U i = L ( e i ) spełniające
Jest to rzutowa reprezentacja iloczynu bezpośredniego N − 1 grup rzędu 2. ( Zakłada się, że N jest większe od 1.) Operatory U i są konstrukcyjnie skośnie symetryczne i ortogonalne. W rzeczywistości Eckmann skonstruował operatory tego typu w nieco inny, ale równoważny sposób. W rzeczywistości jest to metoda pierwotnie zastosowana w Hurwitz (1923) . Załóżmy, że istnieje prawo składu dla dwóch form
w którym z i jest dwuliniowo w x i y . Zatem
gdzie macierz T ( x ) = ( ij ) jest liniowa x . Powyższe relacje są równoważne
Pismo
relacje stają się
Teraz ustaw V i = ( T N ) t T i . Zatem V N = I i V 1 , ... , V N − 1 są sprzężone skośnie, ortogonalne spełniające dokładnie te same relacje co U i :
Ponieważ V i jest macierzą ortogonalną z kwadratem − I na rzeczywistej przestrzeni wektorowej, N jest parzyste.
Niech G będzie grupą skończoną generowaną przez elementy v i takie, że
gdzie ε jest środkiem rzędu 2. Podgrupa komutatorów [ G , G ] składa się właśnie z 1 i ε . Jeśli N jest nieparzyste, to pokrywa się ze środkiem, natomiast jeśli N jest parzyste, środek ma rząd 4 z dodatkowymi elementami γ = v 1 ... v N − 1 i ε γ . Jeśli g w G nie znajduje się w centrum, jego klasa sprzężeń to dokładnie g i ε g . Zatem istnieją 2 N − 1 + 1 klas sprzężeń dla N nieparzystych i 2 N − 1 + 2 dla N parzystych. G ma | G / [ G , G ] | = 2 N − 1 1-wymiarowe reprezentacje zespolone. Całkowita liczba nieredukowalnych reprezentacji złożonych to liczba klas sprzężonych. Tak więc, ponieważ N jest parzyste, istnieją dwie dalsze nieredukowalne reprezentacje złożone. Ponieważ suma kwadratów wymiarów wynosi | G | a wymiary dzielą | G | , dwie nieredukowalne muszą mieć wymiar 2 ( N − 2)/2 . Gdy N jest parzyste, są dwa i ich wymiar musi dzielić kolejność grupy, podobnie jak potęga dwójki, więc oba muszą mieć wymiar 2 ( N − 2)/2 . Przestrzeń, na której akt V i może być złożony. Będzie miał wymiar złożony N . Rozpada się na niektóre złożone nieredukowalne reprezentacje G , wszystkie mające wymiar 2 ( N − 2)/2 . W szczególności ten wymiar jest ≤ N , więc N jest mniejsze lub równe 8. Jeśli N = 6 , wymiar wynosi 4, co nie dzieli 6. Tak więc N może wynosić tylko 1, 2, 4 lub 8.
Zastosowania do algebr Jordana
Niech A będzie algebrą Euklidesa Hurwitza i niech M n ( A ) będzie algebrą n -by- n macierzy nad A . Jest to algebra niezwiązana z jedynką z inwolucją podaną przez
Ślad Tr( X ) jest zdefiniowany jako suma elementów diagonalnych X i śladu o wartościach rzeczywistych przez Tr R ( X ) = Re Tr( X ) . Ślad o wartości rzeczywistej spełnia:
Są to bezpośrednie konsekwencje znanych tożsamości dla n = 1 .
W A zdefiniuj asocjatora przez
Jest trójliniowy i znika identycznie, jeśli A jest asocjacyjne. Ponieważ A jest algebrą alternatywną [ a , a , b ] = 0 i [ b , a , a ] = 0 . Polaryzując wynika, że asocjator jest antysymetryczny w swoich trzech wpisach. Ponadto, jeśli a , b lub c leżą w R wtedy [ a , b , c ] = 0 . Z tych faktów wynika, że M 3 ( A ) ma pewne właściwości komutacyjne. W rzeczywistości, jeśli X jest macierzą w M 3 ( A ) z rzeczywistymi wpisami na przekątnej, to
z w A . W rzeczywistości, jeśli Y = [ X , X 2 ] , wtedy
Ponieważ wpisy po przekątnej X są rzeczywiste, wpisy poza przekątną Y znikają. Każdy wpis po przekątnej Y jest sumą dwóch skojarzeń obejmujących tylko wyrazy poza przekątną X . Ponieważ asocjatory są niezmienne w permutacjach cyklicznych, wszystkie przekątne wpisy Y są równe.
Niech H n ( A ) będzie przestrzenią elementów samosprzężonych w M n ( A ) z iloczynem X ∘ Y =1/2( X Y + Y X ) i iloczyn skalarny ( X , Y ) = Tr R ( X Y ) .
Twierdzenie. H n ( A ) jest algebrą Jordana euklidesowego, jeśli A jest zespolone (liczby rzeczywiste, liczby zespolone lub kwaterniony) i n ≥ 3 lub jeśli A jest niełączne (oktonony) i n = 3 .
Wyjątkowy Jordan Algebra H 3 ( O ) jest nazywana Algebra Albert po AA Albert .
Aby sprawdzić, czy H n ( A ) spełnia aksjomaty algebry Euklidesa Jordana, rzeczywisty ślad definiuje symetryczną formę dwuliniową z ( X , X ) = Σ ‖ x ij ‖ 2 . Jest to więc produkt wewnętrzny. Spełnia własność łączności ( Z ∘ X , Y ) = ( X , Z ∘ Y ) ze względu na własności rzeczywistego śladu. Głównym aksjomatem do sprawdzenia jest warunek Jordana dla operatorów L ( X ) określonych przez L ( X ) Y = X ∘ Y :
Łatwo to sprawdzić, gdy A jest asocjacyjne, ponieważ M n ( A ) jest algebrą asocjacyjną, więc algebra Jordana z X ∘ Y =1/2( XY + YX ) . Gdy A = O i n = 3 wymagany jest specjalny argument, jeden z najkrótszych wynikający z Freudenthala (1951) .
W rzeczywistości, jeśli T jest w H 3 ( O ) z Tr T = 0 , wtedy
definiuje skośno-sprzężone wyprowadzenie H 3 ( O ) . W rzeczy samej,
aby
Plony polaryzacyjne:
Ustawienie Z = 1 pokazuje, że D jest skośne. Własność derywacji D ( X ∘ Y ) = D ( X ) ∘ Y + X ∘ D ( Y ) wynika z tego i własności asocjatywności produktu skalarnego w powyższej tożsamości.
Gdy A i n są jak w stwierdzeniu twierdzenia, niech K będzie grupą automorfizmów E = H n ( A ) pozostawiając niezmiennik iloczyn skalarny. Jest to zamknięta podgrupa O ( E ) , czyli zwarta grupa Liego. Jego algebra Liego składa się z wyprowadzeń sprzężonych skośnie. Freudenthal (1951) wykazał, że przy danym X w E istnieje automorfizm k w K taki, że k ( X ) jest macierzą diagonalną. (Dzięki samosprzężeniu wpisy diagonalne będą rzeczywiste.) Twierdzenie o diagonalizacji Freudenthala natychmiast implikuje warunek Jordana, ponieważ iloczyny Jordana przez rzeczywiste macierze diagonalne przechodzą na M n ( A ) dla dowolnej nieskojarzeniowej algebry A .
Aby udowodnić twierdzenie o diagonalizacji, weź X w E . Przez zwartość k można wybrać w K minimalizując sumy kwadratów norm niediagonalnych wyrazów k ( X ) . Ponieważ K zachowuje sumy wszystkich kwadratów, jest to równoważne maksymalizacji sum kwadratów norm wyrażeń diagonalnych k ( X ) . Zastępując X przez k X , można założyć, że maksimum jest osiągane przy X . Ponieważ grupa symetryczne S n , stanowiąc przestawiania współrzędnych leży w K , jeśli X jest przekątną, można przypuszczać, że x 12 , a jego sprzężone x 21 nie są zerami. Niech T będzie macierzą sprzężoną skośnie z (2, 1) wpisem a , (1, 2) wpisem − a * i 0 gdzie indziej i niech D będzie pochodną ad T z E . Niech k t = exp tD w K . Następnie tylko dwie pierwsze pozycje w ukośne X ( t ) = K T X różnią się od X . Wpisy po przekątnej są prawdziwe. Pochodna x 11 ( t ) w t = 0 jest współrzędną (1, 1) [ T , X ] , tj. a * x 21 + x 12 a = 2( x 21 , a ) . Ta pochodna jest niezerowa, jeśli a = x 21 . Z drugiej strony grupa k t zachowuje ślad o wartościach rzeczywistych. Ponieważ może zmienić tylko x 11 i x 22 , zachowuje ich sumę. Jednak w linii x + y = stała, x 2 + y 2 nie ma lokalnego maksimum (tylko globalne minimum), jest to sprzeczność. Stąd X musi być przekątne.
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Albert, AA (1934), „O pewnej algebrze mechaniki kwantowej”, Ann. Matematyki. , 35 (1): 65-73, doi : 10.2307/1968118 , JSTOR 1968118
- Chevalley, C. (1954), algebraiczna teoria spinorów i algebr Clifforda , Columbia University Press
- Eckmann, Beno (1943), „Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz-Radon über die Komposition quadratischer Formen” , Komentarz. Matematyka. Helv. , 15 : 358–366, doi : 10.1007/bf02565652 , S2CID 123322808
- Eckmann, Beno (1989), „Macierze Hurwitza-Radon i okresowość modulo 8” , Enseign. Matematyka. , 35 : 77–91, zarchiwizowane z oryginału 16.06.2013
- Eckmann, Beno (1999), „Topologia, algebra, analiza – relacje i brakujące ogniwa” , Uwagi Amer. Matematyka. Soc. , 46 : 520–527
- Faraut, J.; Koranyi, A. (1994), Analiza stożków symetrycznych , Oxford Mathematical Monographs , Oxford University Press, ISBN 978-0198534778
- Freudenthal, Hans (1951), Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie , Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
- Freudenthal, Hans (1985), „Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie”, Geom. Dedicata , 19 : 7-63, doi : 10.1007/bf00233101 , S2CID 121496094 (przedruk artykułu 1951)
- Herstein, IN (1968), Nieprzemienne pierścienie , Carus Mathematical Monographs, 15 , Mathematical Association of America, ISBN 978-0883850152
- Hurwitz, A. (1898), „Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln” , Goett. Nachr. : 309–316
- Hurwitz, A. (1923), „Über die Komposition der quadratischen Formen” , Matematyka. Anny. , 88 (1–2): 1–25, doi : 10.1007/bf01448439 , S2CID 122147399
- Jacobson, N. (1968), Struktura i reprezentacje algebr Jordana , American Mathematical Society Colloquium Publications, 39 , American Mathematical Society
- Jordania, P.; von Neumann, J.; Wigner, E. (1934), „O algebraicznym uogólnieniu formalizmu mechaniki kwantowej”, Ann. Matematyki. , 35 (1): 29–64, doi : 10.2307/1968117 , JSTOR 1968117
- Lam, Tsit-Yuen (2005), Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami , Studia podyplomowe z matematyki , 67 , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-1095-8, MR 2104929 , Zbl 1068.11023
- Lee, HC (1948), "Sur le théorème de Hurwitz-Radon pour la composition des formes quadratiques" , Komentarz. Matematyka. Helv. , 21 : 261–269, doi : 10.1007/bf02568038 , S2CID 121079375 , zarchiwizowane od oryginału 03.05.2014
- Porteous, IR (1969), Geometria topologiczna , Van Nostrand Reinhold, ISBN 978-0-442-06606-2, Zbl 0186.06304
- Postnikov, M. (1986), Grupy Liego i algebry Liego. Wykłady z geometrii. Semestr V , Mir
- Radon, J. (1922), "Lineare scharen orthogonaler matrizen" , Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 1 : 1-14, doi : 10.1007/bf02940576 , S2CID 120583389
- Rajwade, AR (1993), Squares , London Mathematical Society Lecture Note Series, 171 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-42668-8, Zbl 0785.11022
- Schafer, Richard D. (1995) [1966], Wprowadzenie do algebr nieasocjacyjnych , Dover Publications , ISBN 978-0-486-68813-8, Zbl 0145.25601
- Shapiro, Daniel B. (2000), Kompozycje form kwadratowych , De Gruyter Expositions in Mathematics, 33 , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-012629-7, Zbl 0954.11011
Dalsza lektura
- Baez, John C. (2002), "Oktonions" , Bull. Amer. Matematyka. Soc. , 39 (2): 145-205, arXiv : matematyka/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X , S2CID 586512
- Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003), O kwaternionyach i oktonionach: ich geometrii, arytmetyce i symetrii , AK Peters, ISBN 978-1568811345
- Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989), „Algebry znormalizowane z tożsamością. Twierdzenie Hurwitza”. , Liczby hiperzłożone. Podstawowe wprowadzenie do algebr , Przeł. A. Shenitzer (wyd. 2), Springer-Verlag , s. 121 , ISBN 978-0-387-96980-0, Zbl 0669.17001
- Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Kompozycja Algebry Twierdzenie Hurwitza -. Algebry Vector-Produkt", rozdział 10 o numerach od Heinz-Dieter Ebbinghausa wsp., Springer, ISBN 0-387-97202-1
- Springer, TA ; FD Veldkamp (2000), Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9