analiza p -adyczna - p-adic analysis

Liczby całkowite 3-adyczne, z wybranymi odpowiadającymi im znakami na ich podwójnej grupie Pontryagin

W matematyce , str analiza -adic jest gałęzią teorii liczb , które zajmuje się matematycznej analizy z funkcji p liczb -adic .

Teoria funkcji liczbowych o wartościach zespolonych na liczbach p- adycznych jest częścią teorii grup lokalnie zwartych . Zwykłe znaczenie przyjęte dla analizy p- adycznej to teoria funkcji o wartościach p -adycznych w przestrzeniach zainteresowania.

Zastosowania analizy p- adycznej dotyczyły głównie teorii liczb , gdzie odgrywa ona znaczącą rolę w geometrii diofantycznej i aproksymacji diofantycznej . Niektóre aplikacje wymagały opracowania p- adycznej analizy funkcjonalnej i teorii spektralnej . Pod wieloma względami P -adic analiza mniej subtelne niż klasycznej analizy , ponieważ ultrametric nierówności środków, na przykład, że zbieżność nieskończonej szeregowo z p liczb -adic jest znacznie prostsze. Topologiczne przestrzenie wektorowe nad polami p -adycznymi wykazują cechy charakterystyczne; na przykład aspekty dotyczące wypukłości i twierdzenia Hahna-Banacha są różne.

Ważne wyniki

Twierdzenie Ostrowskiego

Twierdzenie Ostrowskiego, ze względu na Aleksandra Ostrowskiego (1916), stwierdza, że każdy nietrywialne wartość bezwzględna na liczbach wymiernych Q jest równoznaczne z jednej zwykłej rzeczywistej wartości bezwzględnej lub p -adic wartości bezwzględnej.

Twierdzenie Mahlera

Twierdzenie Mahlera , wprowadzone przez Kurta Mahlera , wyraża ciągłe funkcje p- adyczne w postaci wielomianów.

W każdym polu z charakterystycznym 0, jeden ma następujący wynik. Pozwolić

${\ Displaystyle (\ Delta f) (x) = f (x + 1) - f (x)}$

być operatorem różnicy wyprzedzającej . Wtedy dla funkcji wielomianowych f mamy szereg Newtona :

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} (\ Delta ^ {k} f) (0) {x \ wybierz k}}$

gdzie

${\ Displaystyle {x \ wybierz k} = {\ Frac {x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k +1)} {k!}}}$

jest k- tym wielomianem współczynnika dwumianowego.

Na polu liczb rzeczywistych założenie, że funkcja f jest wielomianem, może być osłabione, ale nie może być osłabione aż do samej ciągłości .

Mahler udowodnił następujący wynik:

Twierdzenie Mahlera : Jeśli f jest ciągłą funkcją o wartościach p -adycznych na p-adycznych liczbach całkowitych, to zachodzi ta sama tożsamość.

Lemat Hensela

Lemat Hensela, znany również jako lemat podnoszenia Hensela, nazwany na cześć Kurta Hensela , jest wynikiem arytmetyki modularnej , stwierdzającej, że jeśli równanie wielomianowe ma prosty pierwiastek modulo liczby pierwszej p , to pierwiastek ten odpowiada unikalnemu pierwiastkowi tego samego równania modulo dowolna wyższa potęga p , którą można znaleźć przez iteracyjne " podnoszenie " rozwiązania modulo kolejne potęgi p . Bardziej ogólnie jest on używany jako nazwa ogólna dla analogów dla kompletnych pierścieni przemiennych (w tym w szczególności pól p- adycznych ) metody Newtona do rozwiązywania równań. Ponieważ analiza p- adyczna jest pod pewnymi względami prostsza niż analiza rzeczywista , istnieją stosunkowo łatwe kryteria gwarantujące pierwiastek wielomianu.

Aby podać wynik, niech będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych (lub p -adycznych) i niech m , k będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że m ≤ k . Jeśli r jest liczbą całkowitą taką, że ${\displaystyle f(x)}$

${\ Displaystyle f (r) \ równoważnik 0 {\ pmod {p ^ {k}}}}$ oraz ${\ Displaystyle f '(r) \ nie \ równoważne 0 {\ pmod {p}}}$

wtedy istnieje liczba całkowita s taka, że

${\ Displaystyle f (s) \ równoważnik 0 {\ pmod {p ^ {k + m}}}}$ oraz ${\ Displaystyle r \ równoważny s {\ pmod {p ^ {k}}}.}$

Co więcej, to s jest unikalnym modulo p ^{k +m} i można je obliczyć jako

${\ Displaystyle s = r + tp ^ {k}}$ gdzie ${\ Displaystyle t = - {\ Frac {f (r)} {p ^ {k}}} \ cdot (f '(r) ^ {-1}).}$

Aplikacje

P-adyczna mechanika kwantowa

P-adyczna mechanika kwantowa to stosunkowo nowe podejście do zrozumienia natury fizyki fundamentalnej. Jest to zastosowanie analizy p-adycznej w mechanice kwantowej . Te numery p-adic są intuicyjny układ arytmetyczny (ale geometrycznie intuicją), która została odkryta przez niemieckiego matematyka Kurt Hensel w około 1899 roku przez niemieckiego matematyka Ernsta Kummer (1810-1893), wcześniej w formie podstawowej. Blisko spokrewnione adele i idle zostały wprowadzone w latach 30. XX wieku przez Claude'a Chevalleya i André Weila . Ich badania przekształciły się teraz w główną gałąź matematyki. Od czasu do czasu stosowano je w naukach fizycznych, ale dopiero w publikacji rosyjskiego matematyka Wołowicza w 1987 r. temat ten został potraktowany poważnie w świecie fizyki. Obecnie istnieją setki artykułów naukowych na ten temat, a także czasopisma międzynarodowe.

Istnieją dwa główne podejścia do tematu. W pierwszym dobrze rozpatruje się cząstki o potencjale p-adycznym, a celem jest znalezienie rozwiązań z płynnie zmieniającymi się funkcjami falowymi o wartościach zespolonych. Tutaj rozwiązania mają mieć pewną dozę znajomości ze zwykłego życia. Drugi dotyczy cząstek w studniach potencjału p-adycznego, a celem jest znalezienie funkcji falowych o wartościach p-adycznych. W tym przypadku fizyczna interpretacja jest trudniejsza. Jednak matematyka często wykazuje uderzające cechy, dlatego ludzie nadal ją zgłębiają. Sytuację podsumował w 2005 r. jeden z naukowców w następujący sposób: „Po prostu nie mogę myśleć o tym wszystkim jako o sekwencji zabawnych wypadków i odrzucać to jako „model-zabawkę”. Myślę, że więcej pracy nad tym jest zarówno potrzebne, jak i warte zachodu”.

Zasada lokalno-globalna

Zasada lokalno -globalna Helmuta Hassego , znana również jako zasada Hassego, polega na tym, że można znaleźć całkowite rozwiązanie równania , używając chińskiego twierdzenia o resztach, aby poskładać rozwiązania modulo potęgi każdej innej liczby pierwszej . To jest obsługiwane przez sprawdzenie równania w oddawanych tych liczb wymiernych : z liczb rzeczywistych i p liczb -adic . Bardziej formalna wersja stanach zasady Hasse, że pewne typy równań mają racjonalne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy mają one rozwiązania w liczbach rzeczywistych i w p -adic numerów dla każdego prime p .

Zobacz też

• Lokalnie kompaktowa przestrzeń
• Prawdziwa analiza

Bibliografia

Dalsza lektura

• Koblitz, Neal (1980). analiza p-adyczna: krótki kurs na temat ostatnich prac . London Mathematical Society Wykład Uwaga Seria. 46 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 0-521-28060-5. Zbl  0439.12011 .
• Obiadki, JWS (1986). Pola lokalne . Teksty studenckie London Mathematical Society. 3 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 0-521-31525-5. Zbl  0595.12006 .
• Czystow Aleksander; Karpiński, Marek (1997). „Złożoność decydowania o możliwości rozwiązywania równań wielomianowych na liczbach całkowitych p-adycznych” . Uniw. Raportów Bonn CS 85183 . S2CID  120604553 .
• Karpiński, Marek ; van der Poorten, Alf; Szparliński, Igor (2000). „Testowanie zerowe wielomianów p-adycznych i modularnych” . Informatyka teoretyczna . 233 (1–2): 309–317. doi : 10.1016/S0304-3975(99)00133-4 .( preprint )
• Kurs analizy p-adycznej, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN  978-0-387-98669-2
• Rachunek ultrametryczny: wprowadzenie do analizy P-Adic , WH Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN  978-0-521-03287-2
• P-adyczne równania różniczkowe , Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-76879-5