Grupa lokalnie skończona - Locally finite group

W matematyce , w dziedzinie teorii grup , o lokalnie skończona grupa to typ grupy , które mogą być badane w sposób analogiczny do skończonej grupy . Sylow podgrupy , podgrupy Carter i abelowe podgrupy grup lokalnie skończone zostały zbadane. Koncepcja jest zapisana do pracy w 1930 roku przez rosyjskiego matematyka Siergiej Chernikov .

Definicja i pierwsze konsekwencje

Lokalnie ograniczony grupą jest grupa do której każdy skończenie generowane podgrupa jest skończona .

Ponieważ cykliczny podgrupy z lokalnie skończonej grupy są skończenie generowane stąd ograniczone, każdy element ma skończoną kolejności , a więc zespół jest okresowy .

Przykłady i przykłady nie-

Przykłady:

• Każda skończona grupa jest lokalnie skończona
• Każda nieskończona suma prosta grup skończonych jest lokalnie skończona ( Robinson 1996 , str. 443) (Choć bezpośredni produkt może nie być).
• grupy omega-kategoryczne
• W Grupa Prüfera są lokalnie skończona grupa przemienna
• Każdy Hamiltona grupa jest lokalnie skończona
• Każda grupa okresowe rozwiązywalne jest lokalnie skończona ( Dixon 1994 , Prop. 1.1.5).
• Każda podgrupa z lokalnie skończonej grupy jest lokalnie skończona. ( Dowód. Niech G być lokalnie ograniczony grupy i S podgrupy. Każda skończona generowane podgrupa S jest (skończenie generowane) podgrupa G ).
• Uniwersalna grupa Halla jest policzalny lokalnie skończona grupa zawierająca każdy przeliczalny lokalnie skończoną grupę jako podgrupy.
• Każda grupa ma unikalną maksymalny prawidłowy lokalnie podgrupa skończonego ( Robinson, 1996 , str. 436),
• Każdy okresowe podgrupa o ogólnej grupy liniowego na liczbach zespolonych jest lokalnie ograniczony. Ponieważ wszystkie grupy lokalnie skończone są okresowe, oznacza to, że dla grup liniowych i grup okresowych warunki są identyczne.

Niebędące przykładami:

• Żadna grupa z elementem nieskończonej kolejności jest grupa lokalnie skończona
• Nie nietrywialna wolna grupa jest lokalnie skończona
• Grupa monstrum Tarski jest okresowa, ale nie lokalnie skończona.

Nieruchomości

Klasa grupa lokalnie skończona jest zamknięty pod podgrupy, ilorazów i rozszerzeń ( Robinson 1996 , str. 429).

Lokalnie grup skończonych zaspokojenia słabszą formę twierdzeń Sylow użytkownika . Jeśli lokalnie skończona grupa ma skończoną p -subgroup zawarte w żadnym innym p -subgroups, wtedy wszystkie maksymalne p -subgroups są skończone i sprzężoną. Jeśli istnieje skończenie wiele koniugaty, wówczas liczba koniugatów przystaje do 1 modulo p . W rzeczywistości, jeśli każdy policzalny podgrupę lokalnie skończonej grupy ma tylko przeliczalnie wiele maksymalne p -subgroups, to każda ilość P -subgroup grupy koniuguje ( Robinson 1996 , str. 429).

Klasa grupa lokalnie skończona zachowuje się nieco podobnie do klasy grup skończonych. Wiele z 1960 roku teorii formacji i montaż klas, jak również starszym 19 wieku i 1930s teorii podgrup Sylow ma odpowiednika w teorii grup lokalnie skończonych ( Dixon 1994 , s. V.).

Podobnie jak w przypadku problemu Burnside , matematyków się zastanawiać, czy każda grupa zawiera nieskończony nieskończony Abelowych podgrupę . Choć nie musi to być prawdą w ogóle, wynikiem Philip Hall i innych jest to, że każdy nieskończony grupa lokalnie skończony zawiera nieskończoną grupę Abelowych. Dowodem tego faktu w nieskończonej teorii grup opiera się na twierdzeniu Feit Thompsona rozpuszczalności grup skończonych nieparzystych kolejności ( Robinson, 1996 , str. 432).

Referencje

• Dixon, Martyn R. (1994), Teoria Sylow, formacje i montaż zajęcia w grupach lokalnie skończone , Seria algebry, 2 , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN  978-981-02-1795-2 , MR  1313499
• Robinson, Derek John Scott (1996), kurs w teorii grup , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94461-6

Linki zewnętrzne

• AL Shmel'kin (2001) [1994], "L / l060410" , w Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4
• Otto H. Kegel i Bertram AF Wehrfritz (1973), lokalnie skończone grupy , Elsevier