Połączenie Galois - Galois connection

W matematyce , zwłaszcza w teorii porządku , połączenie Galois to szczególna korespondencja (zazwyczaj) między dwoma częściowo uporządkowanymi zbiorami (posety). Połączenia Galois znajdują zastosowanie w różnych teoriach matematycznych. Uogólniają one fundamentalne twierdzenie teorii Galois o zgodności między podgrupami i podpólami , które odkrył francuski matematyk Évariste Galois .

Połączenie Galois można również zdefiniować w zamówionych zestawach lub klasach ; w tym artykule przedstawiono częsty przypadek postów. Literatura zawiera dwa ściśle powiązane ze sobą pojęcia „połączenia Galois”. W tym artykule będziemy odnosić się do nich jako (monotoniczne) połączenie Galois i antytonowe połączenie Galois .

Połączenie Galois jest raczej słabe w porównaniu z izomorfizmem porządku między zaangażowanymi posetami, ale każde połączenie Galois powoduje izomorfizm pewnych podpoz, co zostanie wyjaśnione poniżej. Termin korespondencja Galois jest czasami używany w znaczeniu bijektywnego połączenia Galois ; jest to po prostu izomorfizm rzędu (lub izomorfizm podwójnego rzędu, w zależności od tego, czy bierzemy monotoniczne czy antytonowe połączenia Galois).

Definicje

(Monotone) Połączenie Galois

Niech ( A , ≤) i ( B , ≤) będą dwoma częściowo uporządkowanymi zbiorami . Połączenie monotoniczne Galois pomiędzy tymi Posets składa się z dwóch monotonicznych funkcji : F  : → B i G  : B → A , tak, że dla wszystkich A w A i B w B mamy

F ( a ) ≤ b wtedy i tylko wtedy , gdy a ≤ G ( b ) .

W tej sytuacji, C jest nazywana dolną sprzężony z G , a G jest zwany górny sprzężonego z F . Mnemonicznie, terminologia górna/dolna odnosi się do miejsca, w którym aplikacja funkcji pojawia się względem ≤. Termin „sprzężony” odnosi się do faktu, że monotoniczne połączenia Galois są szczególnymi przypadkami par sprzężonych funktorów w teorii kategorii, jak omówiono poniżej. Inną terminologią napotkaną tutaj jest lewe sprzężenie (odpowiednio prawe sprzężenie ) dla dolnego (odpowiednio górnego) sprzężenia.

Istotną właściwością połączenia Galois jest to, że górne/dolne sprzężenie połączenia Galois jednoznacznie określa drugie:

F ( a ) jest najmniejszym elementem~b z o ≤ G (~b) i

G ( b ) jest największym elementem~az F (~a) ≤ b .

Konsekwencją tego jest to, że jeśli F lub G jest odwracalne , to każdy jest odwrotnością drugiego, tj. F = G ^-1 .

Mając połączenie Galois z dolnym sprzężeniem F i górnym sprzężeniem G , możemy rozważyć złożenie GF  : A → A , znany jako skojarzony operator domknięcia , oraz FG  : B → B , znany jako skojarzony operator jądra. Oba są monotonne i idempotentne i mamy a ≤ GF ( a ) dla wszystkich a w A i FG ( b ) ≤ b dla wszystkich b w B .

Galois wstawiania z B do A jest połączenie Galois w którym operator jądra FG jest tożsamość w B , a więc G jest rozkaz-izomorfizmem B na zamkniętym zestawów GF [ ] w A .

Połączenie Antitone Galois

Powyższa definicja jest dziś powszechna w wielu aplikacjach i widoczna w teorii sieci i domen . Jednak pierwotne pojęcie w teorii Galois jest nieco inne. W tej alternatywnej definicji połączenie Galois jest parą antytonów , tj. funkcji odwracających porządek F  : A → B i G  : B → A pomiędzy dwoma pozycjami A i B , tak że

b ≤ F ( a ) wtedy i tylko wtedy , gdy a ≤ G ( b ) .

Symetria F i G w tej wersji zaciera rozróżnienie między górnymi i dolnymi, a te dwie funkcje są wtedy nazywane biegunowościami, a nie sprzężeniami. Każda biegunowość jednoznacznie determinuje drugą, ponieważ

F ( a ) jest największym elementem b z a ≤ G ( b ) , oraz

G ( b ) jest największym elementem a z b ≤ F ( a ) .

Kompozycje GF  : A → A i FG  : B → B są powiązanymi operatorami domknięcia; są monotonnymi idempotentnymi mapami o własności a ≤ GF ( a ) dla wszystkich a w A i b ≤ FG ( b ) dla wszystkich b w B .

Implikacje tych dwóch definicji połączeń Galois są bardzo podobne, ponieważ antytonowe połączenie Galois między A i B jest po prostu monotonicznym połączeniem Galois między A i podwójnym porządkiem B ^op z B . Wszystkie poniższe stwierdzenia dotyczące połączeń Galois można zatem łatwo przekształcić w zdania dotyczące połączeń antytonowych Galois.

Przykłady

Połączenia Monotone Galois

Zestaw zasilający; implikacja i spójnik

Zamówienia Teoretyczny przykład niech U mieć jakiś zestaw , i niech i B zarówno jako zestaw zasilający od U , uporządkowane według włączenia. Wybierz stały podzbiór L z U . Następnie mapy F i G , gdzie F ( M ) = L ∩ M , a G ( N ) = N ∪ ( U  \  L ) tworzą jednostajne połączenie Galois , gdzie F jest dolnym sprzężeniem. Podobne połączenie Galois, którego dolne sprzężenie jest podane przez operację Meet (infimum) można znaleźć w dowolnej algebrze Heytinga . W szczególności występuje w dowolnej algebrze Boole'a , gdzie dwa odwzorowania można opisać przez F ( x ) = ( a ∧ x ) i G ( y ) = ( y ∨ ¬ a ) = ( a ⇒ y ) . W kategoriach logicznych: „implikacja z ” jest górna adjoint o „połączeniu z ”.

Kraty

Dalsze interesujące przykłady połączeń Galois opisano w artykule dotyczącym własności zupełności . Z grubsza rzecz biorąc, okazuje się, że zwykłe funkcje ∨ i ∧ sąsiadują dolną i górną częścią przekątnej X → X × X . Najmniejsze i największe elementy rzędu częściowego są dane przez dolne i górne sprzężenia unikalnej funkcji X → {1}. Idąc dalej, nawet pełne sieci mogą charakteryzować się istnieniem odpowiednich sprzężeń. Rozważania te dają pewne wrażenie wszechobecności połączeń Galois w teorii porządku.

Przechodnie działania grupowe

Niech G działa przechodnie na X i wybierz punkt x w X . Rozważać

${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {B \ subseteq X: x \ w B; \ forall g \ w G, g B = B \ \ operatorname {lub} \ gB \ czapka B = \ pusty zestaw \}, }$

zbiór bloków zawierających x . Ponadto, niech składa się z podgrup G zawierające stabilizator o x . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Następnie korespondencja : ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} \ do {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle B \ mapsto H_ {B} = \ {g \ w G: gx \ w B \}}$

to monotonne połączenie Galois jeden do jednego. W konsekwencji można ustalić, że akcje podwójnie przechodnie nie mają innych bloków poza trywialnymi (singletony lub całość X ): wynika to z tego, że stabilizatory są w tym przypadku maksymalne w G. Zobacz grupę podwójnie przechodnią do dalszej dyskusji.

Obraz i odwrócony obraz

Jeśli f   : X → Y jest funkcją , to dla dowolnego podzbioru M z X możemy utworzyć obraz F ( M ) =   f  ( M ) = { f ( m ) | m ∈ M } i dla dowolnego podzbioru N z Y możemy utworzyć obraz odwrotny G ( N ) =   f ⁻¹ ( N ) = { x ∈ X |  f  ( x ) N }. Wtedy F i G tworzą jednostajne połączenie Galois między zbiorem potęg X i zbiorem potęg Y , oba uporządkowane przez inkluzję ⊆. W tej sytuacji istnieje jeszcze jedna sprzężona para: dla podzbioru M z X , zdefiniuj H ( M ) = { y ∈ Y |  f ^-1 ({ y }) ⊆ M }. Wtedy G i H tworzą jednostajne połączenie Galois między zbiorem potęgowym Y i zbiorem potęgowym X . W pierwszym połączeniu Galois G jest łącznikiem górnym, podczas gdy w drugim połączeniu Galois służy jako łącznik dolny.    

W przypadku odwzorowania ilorazowego między obiektami algebraicznymi (takimi jak grupy), to powiązanie nazywa się twierdzeniem kratowym : podgrupy G łączą się z podgrupami G / N , a operator domknięcia na podgrupach G jest określony przez H = HN .

Rozpiętość i zamknięcie

Wybierz jakiś obiekt matematyczny X, który ma bazowy zbiór, na przykład grupę , pierścień , przestrzeń wektorów itp. Dla dowolnego podzbioru S z X , niech F ( S ) będzie najmniejszym podobiektem X zawierającym S , tj. podgrupą , podpierścieniem lub podprzestrzeń generowana przez S . Dla każdego podobiekt U z X , niech G ( U ) jest zbiór bazowego U . (Można również wziąć X się do topologii powierzchni , pozwalają F ( S ) na zamknięcie z S i ma jako „podobiekty z X ” zamknięte podzbiorów X ). Teraz F i G tworzą połączenie monotoniczne Galois pomiędzy podzbiorów X i podobiekty X , jeśli oba są uporządkowane przez włączenie. F jest dolnym łącznikiem.

Składnia i semantyka

Bardzo ogólny komentarz Williama Lawvere'a jest taki, że składnia i semantyka są sprzężone: weź A za zbiór wszystkich logicznych teorii (aksjomatyzacji), a B za zbiór potęg zbioru wszystkich struktur matematycznych. Dla teorii T ∈ A , niech F ( T ) będzie zbiorem wszystkich struktur spełniających aksjomaty T ; dla zbioru struktur matematycznych S ∈ B , niech G ( S ) będzie minimum aksjomatyzacji aproksymujących S . Możemy wtedy powiedzieć, że F ( T ) jest podzbiorem S wtedy i tylko wtedy, gdy T logicznie implikuje G ( S ) : „funktor semantyki” F i „funktor składni” G tworzą jednostajne połączenie Galois, przy czym semantyka jest połączony.

Połączenia Antitone Galois

Teoria Galois

Motywujący przykład pochodzi z teorii Galois: załóżmy, że L / K jest rozszerzeniem pola . Niech A będzie zbiorem wszystkich podpól L, które zawierają K , uporządkowanym przez włączenie ⊆. Jeśli E jest takim podciałem, napisz Gal( L / E ) dla grupy automorfizmów pól L, dla których E jest stałe. Niech B oznacza zbiór podgrupy z Gal ( l / K ) , na zlecenie włączenia ⊆. Dla takiej podgrupy G zdefiniuj Fix( G ) jako pole składające się ze wszystkich elementów L, które są utrzymywane jako stałe przez wszystkie elementy G . Wtedy mapy E ↦ Gal( L / E ) i G ↦ Fix( G ) tworzą antytonowe połączenie Galois.

Topologia algebraiczna: pokrycie przestrzeni

Analogicznie, przy danej ścieżkowo połączonej przestrzeni topologicznej X , istnieje antytonowe połączenie Galois pomiędzy podgrupami grupy podstawowej π ₁ ( X ) i połączonymi ścieżkowo przestrzeniami pokrywającymi X . W szczególności, jeśli X jest częściowo połączony lokalnie , to dla każdej podgrupy G z π ₁ ( X ) istnieje przestrzeń pokrywająca z G jako grupą podstawową.

Algebra liniowa: anihilatory i dopełnienia ortogonalne

Mając wewnętrzną przestrzeń produktu V , możemy utworzyć dopełnienie ortogonalne F ( X ) dowolnej podprzestrzeni X z V . Daje to antytonowe połączenie Galois między zbiorem podprzestrzeni V a nim samym, uporządkowane przez inkluzję; obie polaryzacje są równe F .

Biorąc pod uwagę wektor przestrzeni V i podzbiorem X z V możemy zdefiniować swoją Annihilator F ( X ) , składający się z wszystkich elementów podwójnej przestrzeni V  ^* z V , które znikają na X . Podobnie, ponieważ podzestaw Y o V  ^* określamy jego Annihilatora G ( T ) = { x ∈ V | φ ( x ) = 0 ∀ φ ∈ Y }. Daje to antytonowe połączenie Galois między podzbiorami V i podzbiorami V  ^∗ .

Geometria algebraiczna

W geometrii algebraicznej relacja między zbiorami wielomianów a ich zbiorami zerowymi jest połączeniem antytonowym Galois.

Ustalmy liczbę naturalną n i ciało K i niech A będzie zbiorem wszystkich podzbiorów pierścienia wielomianowego K [ X ₁ , ..., X _n ] uporządkowanym przez włączenie ⊆ i niech B będzie zbiorem wszystkich podzbiorów K ⁿ uporządkowane przez włączenie ⊆. Jeśli S jest zbiorem wielomianów, zdefiniuj różnorodność zer jako

${\ Displaystyle V (S) = \ {x \ w K ^ {n}: f (x) = 0 {\ mbox {dla wszystkich}} f \ w S \}}$

zbiór wspólnych zer wielomianów w S . Jeśli U jest podzbiorem K ⁿ , zdefiniuj I ( U ) jako ideał wielomianów znikających na U , czyli

${\ Displaystyle I (U) = \ {f \ w K [X_ {1} \ cdots, X_ {n}]: f (x) = 0 {\ mbox {dla wszystkich}} x \ w U \}. }$

Następnie V i ja tworzymy połączenie antytonowe Galois.

Domknięcie na K ⁿ jest domknięciem w topologii Zariskiego , a jeśli ciało K jest algebraicznie domknięte , to domknięcie na pierścieniu wielomianowym jest rodnikiem ideału wygenerowanym przez S .

Bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę pierścień przemienny R (niekoniecznie pierścień wielomianowy), istnieje antytonowe połączenie Galois między ideałami rodnikowymi w pierścieniu a pododmianami odmiany afinicznej Spec( R ) .

Mówiąc bardziej ogólnie, istnieje antytonowe połączenie Galois między ideałami w pierścieniu a podschematami odpowiedniej odmiany afinicznej .

Połączenia na zbiorach mocy wynikające z relacji binarnych

Załóżmy, że X i Y są dowolnymi zbiorami i podana jest binarna relacja R przez X i Y. Dla dowolnego podzbioru M z X , definiujemy F ( M ) = { y ∈ Y | mry ∀ m ∈ M }. Podobnie, dla dowolnego podzbioru N z Y , zdefiniuj G ( N ) = { x ∈ X | xRn ∀ n ∈ N }. Wtedy F i G dają antytonowe połączenie Galois między zestawami potęg X i Y , oba uporządkowane przez inkluzję ⊆.

Aż do izomorfizmu w ten sposób powstają wszystkie antytonowe połączenia Galois między zestawami mocy. Wynika to z „Podstawowego twierdzenia o kratach pojęciowych”. Teoria i zastosowania połączeń Galois wynikających z relacji binarnych są badane w formalnej analizie pojęć . Pole to wykorzystuje połączenia Galois do matematycznej analizy danych. Wiele algorytmów dla połączeń Galois można znaleźć w odpowiedniej literaturze, np. w.

Nieruchomości

Poniżej rozważamy (monotoniczne) połączenie Galois f   = (  f ^∗ ,   f _∗ ) , gdzie f ^∗  : A → B jest dolnym sprzężeniem, jak wprowadzono powyżej. Niektóre pomocne i pouczające podstawowe właściwości można uzyskać natychmiast. Przez definiującą własność połączeń Galois, f ^∗ ( x ) ≤   f ^∗ ( x ) jest równoważne x ≤   f _∗ (  f ^∗ ( x )) , dla wszystkich x w A . Poprzez podobne rozumowanie (lub po prostu stosując zasadę dwoistość do teorii kolejności ), znajduje że f ^* (  K _* ( Y )) ≤ Y dla wszystkich Y w B . Własności te można opisać, mówiąc, że złożona f ^∗ ∘   f _∗ jest deflacyjna , podczas gdy f _∗ ∘   f ^∗ jest inflacyjna (lub ekstensywna ).               

Rozważmy teraz x , y ∈ A takie , że x ≤ y , wtedy używając powyższego otrzymujemy x ≤   f _∗ (  f  ^∗ ( y ) ) . Stosując podstawową własność połączeń Galois, można teraz stwierdzić, że f ^∗ ( x ) ≤   f ^∗ ( y ) . Ale to tylko pokazuje, że f ^∗ zachowuje kolejność dowolnych dwóch elementów, tj. jest monotoniczne. Znowu podobne rozumowanie daje monotoniczność f _∗ . Tak więc monotoniczność nie musi być wyraźnie zawarta w definicji. Jednak wspomnienie o monotoniczności pomaga uniknąć nieporozumień dotyczących dwóch alternatywnych pojęć połączeń Galois.       

Inną podstawową własnością połączeń Galois jest fakt, że f _∗ (  f ^∗ (  f _∗ ( x ))) =   f _∗ ( x ) , dla wszystkich x w B . Najwyraźniej to stwierdzamy   

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x ))) ≥   f _∗ ( x ) .

ponieważ f _∗ ∘   f ^∗ jest inflacyjne, jak pokazano powyżej. Z drugiej strony, ponieważ f ^∗ ∘   f _∗ jest deflacyjne, a f _∗ jest monotoniczne, stwierdzamy, że      

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x ))) ≤   f _∗ ( x ) .

To pokazuje pożądaną równość. Ponadto możemy użyć tej właściwości, aby stwierdzić, że

 f  ^∗ (  f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x )))) =   f  ^∗ (  f _∗ ( x ))

oraz

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ (  f  ^∗ ( x )))) =   f _∗ (  f  ^∗ ( x ))

tj. f ^∗ ∘   f _∗ i f _∗ ∘   f ^∗ są idempotentne .     

Można wykazać (poszukaj dowodów w Blyth lub Erné), że funkcja f jest dolnym (odpowiednio górnym) sprzężeniem wtedy i tylko wtedy, gdy f jest mapowaniem resztkowym (odpowiednio mapowaniem resztkowym). Dlatego pojęcie odwzorowania resztkowego i jednostajnego połączenia Galois są zasadniczo takie same.     

Zamknięcie operatorów i połączeń Galois

Powyższe ustalenia można podsumować w następujący sposób: w przypadku połączenia Galois złożenie f _∗ ∘   f ^∗ jest monotoniczne (będące złożeniem funkcji monotonicznych), inflacyjne i idempotentne. Oznacza to, że f _∗ ∘   f ^∗ jest w rzeczywistości operatorem domknięcia na A . Podwójnie f ^∗ ∘   f _∗ jest monotonne, deflacyjne i idempotentne. Takie odwzorowania są czasami nazywane operatorami jądra . W kontekście ram i lokalizacji , złożony f _∗ ∘   f ^∗ nazywamy jądrem indukowanym przez f . Jądra indukują homomorfizmy ramowe; podzbiór ustawień regionalnych nazywany jest sublocale, jeśli jest podany przez jądro.           

Odwrotnie, każdy operator domknięcia c w pewnym posecie A powoduje powstanie połączenia Galois z dolnym sprzężeniem f ^∗ będącym tylko rdzeniem c do obrazu c (tj. jako suriektywne odwzorowanie systemu domknięć c ( A ) ). Górne sprzężenie f _∗ jest następnie dane przez włączenie c ( A ) do A , które odwzorowuje każdy zamknięty element na siebie, uważany za element A . W ten sposób operatory zamknięcia i połączenia Galois są postrzegane jako ściśle powiązane, z których każdy określa instancję drugiego. Podobne wnioski odnoszą się do operatorów jądra.    

Z powyższych rozważań wynika również, że zamknięte elementy A (elementy x z f _∗ (  f ^∗ ( x )) = x ) są odwzorowane na elementy w zakresie operatora jądra f ^∗ ∘   f _∗ i odwrotnie.     

Istnienie i wyjątkowość połączeń Galois

Inną ważną cechą jest to, że połączeń Galois niższe adjoints zachować wszystkie Suprema , które istnieją w ich domenie . Podwójnie, górne łączniki zachowują wszystkie istniejące infimy . Z tych właściwości można również od razu wnioskować o monotoniczności sprzęgieł. Twierdzenie adjoint funktor dla teorii kolejność państw, że implikacja odwrotna jest również ważna w niektórych przypadkach: w szczególności, każde odwzorowanie między kompletnych krat , który zachowuje wszystkie Suprema jest niższa adjoint z połączenia Galois.

W tej sytuacji ważną cechą połączeń Galois jest to, że jedno złącze jednoznacznie determinuje drugie. Dlatego można wzmocnić powyższe stwierdzenie, aby zagwarantować, że każda zachowująca supremum mapa między pełnymi kratami jest dolnym elementem unikalnego połączenia Galois. Główna własność do wyprowadzenia tej unikalności jest następująca: Dla każdego x w A , f ^∗ ( x ) jest najmniejszym elementem y z B takim, że x ≤   f _∗ ( y ) . Podwójnie, dla każdego y w B , f _∗ ( y ) jest największym x w A takim, że f ^∗ ( x ) ≤ y . Istnienie pewnego połączenia Galois implikuje teraz istnienie odpowiednich najmniejszych lub największych elementów, bez względu na to, czy odpowiadające im posety spełniają jakiekolwiek właściwości zupełności . Tak więc, gdy dane jest jedno górne sprzężenie połączenia Galois, drugie górne sprzężenie można zdefiniować za pomocą tej samej właściwości.      

Z drugiej strony, jakaś funkcja monotoniczna f jest dolnym sprzężeniem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór postaci { x ∈ A |  f  ( x ) ≤ b } , dla b w B , zawiera największy element. Ponownie, można to zrobić dualistycznie dla górnego łącznika.   

Połączenia Galois jako morfizmy

Połączenia Galois zapewniają również ciekawą klasę odwzorowań między posetami, które można wykorzystać do uzyskania kategorii posetów. W szczególności możliwe jest komponowanie połączeń Galois: dane połączenia Galois (  f  ^∗ ,   f _∗ ) między posetami A i B oraz ( g ^∗ , g _∗ ) między B i C , złożone ( g ^∗ ∘   f  ^∗ ,   f _∗ ∘ g _∗ ) jest również połączeniem Galois. Rozważając kategorie kompletnych sieci, można to uprościć do rozważenia tylko odwzorowań zachowujących wszystkie supremy (lub alternatywnie infima). Odwzorowując kompletne sieci na ich dualności , kategorie te wykazują autodualność , która jest dość fundamentalna dla uzyskania innych twierdzeń o dualności. Bardziej specjalnymi rodzajami morfizmów, które wywołują sprzężone mapowania w przeciwnym kierunku, są morfizmy zwykle rozważane dla ramek (lub ustawień regionalnych).

Połączenie z teorią kategorii

Każdy częściowo uporządkowany zbiór może być postrzegany jako kategoria w naturalny sposób: istnieje unikalny morfizm od x do y wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ y . Monotonne połączenie Galois jest więc niczym innym jak parą sprzężonych funktorów między dwiema kategoriami, które powstają z częściowo uporządkowanych zbiorów. W tym kontekście, styk górny jest stykiem prawym, a styk dolny jest stykiem lewym . Jednak tej terminologii unika się w przypadku połączeń Galois, ponieważ był czas, kiedy pozy były przekształcane w kategorie w dwojaki sposób, tj. ze strzałkami skierowanymi w przeciwnym kierunku. Doprowadziło to do komplementarnej notacji dotyczącej lewego i prawego sprzężenia, która dziś jest niejednoznaczna.

Zastosowania w teorii programowania

Połączenia Galois mogą być wykorzystane do opisania wielu form abstrakcji w teorii abstrakcyjnej interpretacji z języków programowania .

Uwagi

Bibliografia

Poniższe książki i artykuły ankietowe zawierają połączenia Galois wykorzystujące definicję monotoniczną:

• Brian A. Davey i Hilary A. Priestley: Wprowadzenie do krat i porządku , Cambridge University Press, 2002.
• Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott: Continuous Lattices and Domains , Cambridge University Press, 2003.
• Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, Elementarz o połączeniach Galois , w: Proceedings of the Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Nauki, tom. 704, 1993, s. 103-125. (Swobodnie dostępny online w różnych formatach plików PS.GZ PS , przedstawia wiele przykładów i wyników, a także uwagi dotyczące różnych notacji i definicji, które powstały w tym obszarze.)

Niektóre publikacje wykorzystujące oryginalną (antytonową) definicję:

• Mac Lane, Saunders (wrzesień 1998). Kategorie dla Matematyka Pracy (druga ed.). Skoczek. Numer ISBN 0-387-98403-8.
• Thomas Scott Blyth, Kraty i uporządkowane struktury algebraiczne , Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5 .
• Nikolaos Galatos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski i Hiroakira Ono (2007), Residuated Lattices. Algebraiczne spojrzenie na logikę substrukturalną , Elsevier, ISBN  978-0-444-52141-5 .
• Garrett Birkhoff: Teoria sieci , Amer. Matematyka. Soc. Dz. Pub., t. 25, 1940
• Ore, Øystein (1944), "Galois Connexions", Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 55 (3): 493-513, doi : 10.2307/1990305 , JSTOR  1990305