j -niezmienny - j-invariant

W matematyce , Felix Klein „y J -invariant lub j funkcją , uważany za w funkcji zmiennej zespolonej  τ , jest modułową funkcji masy zerową SL (2, Z ), określonej na górnej półpłaszczyźnie na liczbach zespolonych . Jest to unikalna taka funkcja, która jest holomorficzna z dala od prostego bieguna na wierzchołku, tak że

${\ Displaystyle j \ lewo (e ^ {2 \ pi i/3} \ po prawej) = 0 \ quad j (i) = 1728 = 12 ^ {3}.}$

Funkcjami wymiernymi z j są modularne, aw rzeczywistości daje wszystkie funkcje modularne. Klasycznie, j- niezmiennik był badany jako parametryzacja krzywych eliptycznych nad C , ale ma on również zaskakujące powiązania z symetriami grupy potworów (powiązanie to jest określane jako potworny bimber ).

Definicja

J -invariant może być określona jako funkcja na górnej półpłaszczyźnie H = { τ ∈ C , Im ( τ )> 0},

${\ Displaystyle j (\ tau ) = 1728 {\ Frac {g_ {2} (\ tau ) ^ {3} {g_ {2} (\ tau ) ^ {3}-27 g_ {3} (\ tau ) ^ {2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}}$

gdzie:

${\ Displaystyle g_ {2} (\ tau ) = 60 \ suma _ {(m, n) \ neq (0,0)} \ lewo (m + n \ tau \ prawej) ^ {-4}}$

${\ Displaystyle g_ {3} (\ tau ) = 140 \ suma _ {(m, n) \ neq (0,0)} \ lewo (m + n \ tau \ po prawej) ^ {-6}}$

${\ Displaystyle \ Delta (\ tau) = g_ {2} (\ tau) ^ {3}-27 g_ {3} (\ tau) ^ {2}}$    ( modułowy wyróżnik )

Można to uzasadnić postrzegając każdy τ jako reprezentujący klasę izomorfizmu krzywych eliptycznych. Każda krzywa eliptyczna E nad C jest złożonym torusem, a zatem można ją utożsamić z siatką rzędu 2; czyli dwuwymiarową siatkę C . Ta sieć może być obracana i skalowana (operacje zachowujące klasę izomorfizmu), tak aby była generowana przez 1 i τ ∈ H . Ta sieć odpowiada krzywej eliptycznej (patrz funkcje eliptyczne Weierstrassa ). ${\ Displaystyle y ^ {2} = 4 x ^ {3}-g_ {2} (\ tau) x-g_ {3} (\ tau)}$

Zauważ, że j jest zdefiniowane wszędzie w H, ponieważ dyskryminator modularny jest niezerowy. Wynika to z odpowiedniego wielomianu sześciennego mającego odrębne pierwiastki.

Region podstawowy

Można wykazać, że Δ jest formą modularną wagi dwanaście, a g ₂ jedynki wagi cztery, tak że jego trzecia potęga również ma wagę dwanaście. Zatem ich iloraz, a zatem j , jest funkcją modularną wagi zerowej, w szczególności funkcją holomorficzną H → C niezmienną pod działaniem SL(2, Z ) . Kwotowanie według jego środka { ±I } daje grupę modularną , którą możemy utożsamiać z projekcyjną specjalną grupą liniową PSL(2, Z ) .

Poprzez odpowiedni dobór przekształceń należących do tej grupy,

${\ Displaystyle \ tau \ mapsto {\ Frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}}, \ qquad ad-bc = 1,}$

możemy zredukować τ do wartości dającej taką samą wartość dla j i leżącej w obszarze podstawowym dla j , który składa się z wartości dla τ spełniających warunki

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} | \ tau | & \ geq 1 \ \ - {\ tfrac {1} {2}} i < {\ mathfrak {R}} (\ tau) \ leq {\ tfrac {1 }{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}}$

Funkcja j ( τ ) ograniczona do tego obszaru nadal przyjmuje każdą wartość w liczbach zespolonych C dokładnie raz. Innymi słowy, dla każdego c w C , istnieje unikalny τ w podstawowym regionie taki, że c = j ( τ ) . Zatem j ma właściwość mapowania regionu podstawowego na całą płaszczyznę złożoną.

Dodatkowo dwie wartości τ,τ' ∈ H dają taką samą krzywą eliptyczną, jeśli τ = T(τ') dla pewnego T ∈ PSL(2, Z ) . Oznacza to, że j zapewnia bijekcję ze zbioru krzywych eliptycznych nad C do płaszczyzny zespolonej.

Jako powierzchnia Riemanna, obszar podstawowy ma rodzaj 0 , a każda funkcja modularna (poziomu pierwszego) jest funkcją wymierną w j ; i odwrotnie, każda funkcja wymierna w j jest funkcją modularną. Innymi słowy, polem funkcji modularnych jest C ( j ) .

Teoria pola klas i j

J -invariant ma wiele niezwykłe właściwości:

• Jeśli τ jest dowolnym punktem CM , czyli dowolnym elementem urojonego pola kwadratowego z dodatnią częścią urojoną (tak, że j jest zdefiniowane), to j ( τ ) jest algebraiczną liczbą całkowitą . Te specjalne wartości są nazywane modułami singular .
• Rozszerzenie pola Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) jest abelowe, to znaczy ma abelową grupę Galois .
• Niech Λ będzie siecią w C generowaną przez {1, τ }. Łatwo zauważyć, że wszystkie elementy Q ( τ ), które ustalają Λ przy mnożeniu, tworzą pierścień z jednostkami zwany porządkiem . Pozostałe ogrodzenia z generatorów {1 τ ' }, związane w sposób podobny do tego samego celu określić algebraiczny koniugaty j ( τ' ) z j ( τ ) nad Q ( τ ) . Sortowane przez włączenie, unikalny celu maksymalne u Q ( τ ) jest pierścień algebraicznych liczb całkowitych Q ( τ ) i wartości τ mający jako towarzyszącym mu kolejności prowadzi do unramified rozszerzeń z Q ( τ ) .

Te klasyczne wyniki są punktem wyjścia dla teorii mnożenia zespolonego .

Właściwości transcendencji

W 1937 Theodor Schneider udowodnił powyższy wynik, że jeśli τ jest kwadratową liczbą niewymierną w górnej połowie płaszczyzny, to j ( τ ) jest algebraiczną liczbą całkowitą. Dodatkowo udowodnił, że jeśli τ jest liczbą algebraiczną, ale nie urojoną kwadratową, to j ( τ ) jest przestępne.

Funkcja j ma wiele innych własności transcendentalnych. Kurt Mahler domyślił się konkretnego wyniku transcendencji, który często określa się mianem przypuszczenia Mahlera, choć Yu udowodnił, że jest to następstwem wyników. V. Nesterenko i Patrice Phillipon w latach 90. Przypuszczenie Mahlera było takie, że jeśli τ jest w górnej połowie płaszczyzny, to e ^{2π iτ} i j ( τ ) nigdy nie są jednocześnie algebraiczne. Znane są silniejsze wyniki, na przykład jeśli e ^{2π iτ} jest algebraiczne, to następujące trzy liczby są algebraicznie niezależne, a więc co najmniej dwie z nich są transcendentalne:

${\ Displaystyle j (\ tau), {\ Frac {j ^ {\ prime} (\ tau )} {\ pi }}, {\ Frac {j ^ {\ prime \ prime} (\ tau)}{\ pi ^{2}}}}$

Q -expansion i rojenia

Kilka niezwykłych własności j ma związek z jego rozwinięciem q ( rozwinięcie w szereg Fouriera ), zapisanym jako szereg Laurenta w postaci q = e ^{2π iτ} (kwadrat nomu ), który zaczyna się:

${\ Displaystyle j (\ tau ) = q ^ {-1} + 744 + 196884q + 21493760 q ^ {2} + 864299970 q ^ {3} + 20245856256q ^ {4} + \ cdots }$

Zauważ, że j ma prosty biegun na wierzchołku, więc jego q -ekspansja nie ma wyrazów poniżej q ⁻¹ .

Wszystkie współczynniki Fouriera są liczbami całkowitymi, co daje kilka prawie całkowitych , w szczególności stałą Ramanujana :

${\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} \ około 640320 ^ {3}+744}$.

Asymptotyczna Wzór na współczynnik Q ⁿ jest przez

${\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {4 \ pi {\ sqrt {n}}}} {{\ sqrt {2}} \ n ^ {3/4}}}}$,

co można wykazać metodą koła Hardy'ego-Littlewooda .

Rojenia

Co ciekawsze, współczynniki Fouriera dla dodatnich wykładników q są wymiarami stopniowanej części nieskończenie wymiarowej reprezentacji stopniowanej algebry grupy potworów zwanej modułem bimbru – konkretnie, współczynnik q ⁿ jest wymiarem stopnia n część modułu bimbru, pierwszym przykładem jest algebra Griessa , która ma wymiar 196,884, odpowiadający terminowi 196884 q . Ta zaskakująca obserwacja, po raz pierwszy dokonana przez Johna McKaya , była punktem wyjścia dla teorii bimbru .

Badanie hipotezy Moonshine'a doprowadziło Johna Hortona Conwaya i Simona P. Nortona do przyjrzenia się modułowym funkcjom rodzaju zero. Jeśli są znormalizowane, aby mieć formę

${\ Displaystyle q ^ {-1} + {O} (q)}$

następnie John G. Thompson wykazał, że istnieje tylko skończona liczba takich funkcji (na pewnym skończonym poziomie), a Chris J. Cummins później wykazał, że jest ich dokładnie 6486, z których 616 ma współczynniki całkowite.

Alternatywne wyrażenia

Mamy

${\ Displaystyle j (\ tau) = {\ Frac {256 \ lewo (1-x \ po prawej) ^ {3} {x ^ {2}}}}$

gdzie x = λ (1 − λ ) a λ jest modułową funkcją lambda

${\ Displaystyle \ lambda (\ tau ) = {\ Frac {\ theta _ {2} ^ {4} (e ^ {\ pi ja \ tau})} {\ theta _ {3} ^ {4} (e ^ {\pi i\tau })}}=k^{2}(\tau )}$

stosunek funkcji Jacobiego theta θ _m , i jest kwadratem modułu eliptycznego k ( τ ) . Wartość j pozostaje niezmieniona, gdy λ zostanie zastąpione przez dowolną z sześciu wartości współczynnika krzyżowego :

${\ Displaystyle \ lewo \ lbrace {\ Lambda, {\ Frac {1} {1-\ Lambda}}, {\ Frac {\ Lambda -1}{\ Lambda}}, {\ Frac {1} {\ Lambda} },{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace }$

Punkty rozgałęzienia j znajdują się w {0, 1, ∞} , więc j jest funkcją Belyi .

Wyrażenia w kategoriach funkcji theta

Zdefiniuj nom q = e ^{π iτ} i funkcję Jacobiego theta ,

${\ Displaystyle \ vartheta (0; \ tau ) = \ vartheta _ {00} (0; \ tau) = 1 + 2 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo (e ^ {\ pi ja \tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$

z którego można wyprowadzić pomocnicze funkcje theta . Pozwolić,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} a& = \ theta _ {2} (q) = \ vartheta _ {10} (0; \ tau ) \ \ b & = \ theta _ {3} (q) = \ vartheta _ {00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

gdzie θ _m i ϑ _n są alternatywnymi notacjami, a a ⁴ − b ⁴ + c ⁴ = 0 . Następnie,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} g_ {2} (\ tau) & = {\ tfrac {2} {3}} \ pi ^ {4} \ lewo (a ^ {8} + b ^ {8} + c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8 }+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\Delta &=g_{2}^ {3}-27g_{3}^{2}=4096\pi ^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=4096\pi ^{12}\ eta (\tau )^{24}\end{wyrównany}}}$

dla niezmienników Weierstrassa g ₂ , g ₃ i funkcji Dedekind eta η ( τ ) . Możemy wtedy wyrazić j ( τ ) w postaci, którą można szybko obliczyć.

${\ Displaystyle j (\ tau ) = 1728 {\ Frac {g_ {2} ^ {3}} {g_ {2} ^ {3}-27 g_ {3} ^ {2}}} = 32 {\ Frac {\ left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}}$

Definicja algebraiczna

Do tej pory rozważaliśmy j jako funkcję zmiennej zespolonej. Jednak jako niezmiennik dla klas izomorfizmu krzywych eliptycznych, może być zdefiniowany czysto algebraicznie. Pozwolić

${\ Displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}}$

być płaską krzywą eliptyczną nad dowolnym polem. Następnie możemy wykonać kolejne przekształcenia tak, aby powyższe równanie dostało się do postaci standardowej y ² = 4 x ³ − g ₂ x − g ₃ (należy zauważyć, że przekształcenie to można wykonać tylko wtedy, gdy charakterystyka pola nie jest równa 2 lub 3 ). Otrzymane współczynniki to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} b_ {2} i = a_ {1} ^ {2} + 4a_ {2}, \ quad & b_ {4} i = a_ {1} a_ {3} +2 a_ {4} ,\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{ 3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2} ^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{wyrównany}}}$

gdzie g ₂ = c ₄ i g ₃ = c ₆ . Mamy też wyróżnik

${\ Displaystyle \ Delta = -b_ {2} ^ {2} b_ {8} + 9b_ {2} b_ {4} b_ {6} -8b_ {4} ^ {3}-27b_ {6} ^ {2} .}$

J -invariant na krzywej eliptycznej może teraz być zdefiniowane jako

${\displaystyle j={\frac {c_{4}^{3}}{\delta}}}$

W przypadku, gdy pole, nad którym definiowana jest krzywa, ma charakterystykę inną niż 2 lub 3, jest to równe

${\ Displaystyle j = 1728 {\ Frac {c_ {4} ^ {3} {c_ {4} ^ {3}-c_ {6} ^ {2}}}.}$

Funkcja odwrotna

Odwrotną funkcję z j -invariant może być wyrażona w kategoriach hypergeometric funkcji ₂ F ₁ (patrz również artykuł Picard-Fuchs równania ). Jawnie, mając liczbę N , rozwiązanie równania j ( τ ) = N dla τ można wykonać na co najmniej cztery sposoby.

Metoda 1 : Rozwiązywanie sekstyki w λ ,

${\ Displaystyle j (\ tau ) = {\ Frac {256 {\ Bigl (} 1- \ Lambda (1- \ Lambda ) {\ Bigr )} ^ {3} {{\ Bigl (} \ Lambda (1- \lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

gdzie x = λ (1 − λ ) , a λ jest modułową funkcją lambda, więc sekstyk można rozwiązać jako sześcienny w x . Następnie,

${\ Displaystyle \ tau = i \ {\ Frac {{} _ {2} F_ {1} \ lewo ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, 1; 1 -\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right) }}}$

dla dowolnej z sześciu wartości λ .

Metoda 2 : Rozwiązywanie quartic w γ ,

${\ Displaystyle j (\ tau ) = {\ Frac {27 \ lewo (1 + 8 \ gamma \ prawo) ^ {3}}{\ gamma \ lewo (1- \ gamma \ prawo) ^ {3}}}}$

następnie dla dowolnego z czterech pierwiastków ,

${\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {i} {\ sqrt {3}}} {\ Frac {{} _ {2} F_ {1} \ lewo ({\ tfrac {1} {3}}, {\ tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2} {3}},1;\gamma \right)}}}$

Metoda 3 : Rozwiązywanie sześciennych w β ,

${\ Displaystyle j (\ tau ) = {\ Frac {64 \ lewo (1 + 3 \ beta \ po prawej) ^ {3}} {\ beta \ po lewej (1-\ beta \ po prawej) ^ {2}}}}$

następnie dla dowolnego z trzech pierwiastków,

${\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {i} {\ sqrt {2}}} {\ Frac {{} _ {2} F_ {1} \ lewo ({\ tfrac {1} {4}} {\ tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3} {4}},1;\beta \prawo)}}}$

Metoda 4 : Rozwiązywanie kwadratu w α ,

${\ Displaystyle j (\ tau) = {\ Frac {1728} {4 \ alfa (1-\ alfa)}}}$

następnie,

${\ Displaystyle \ tau = i \ {\ Frac {{} _ {2} F_ {1} \ lewo ({\ tfrac {1} {6}}, {\ tfrac {5} {6}}, 1; 1 -\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right) }}}$

Jeden pierwiastek daje τ , a drugi daje − 1/τ, ale ponieważ j ( τ ) = j (−1/τ) , nie ma znaczenia, który α zostanie wybrany. Te trzy ostatnie metody można znaleźć w teorii funkcji eliptycznych Ramanujana do alternatywnych baz.

Inwersja stosowana w precyzyjnych obliczeniach okresów funkcji eliptycznych, nawet gdy ich stosunki stają się nieograniczone. Pokrewnym wynikiem jest wyrażanie przez pierwiastki kwadratowe wartości j w punktach osi urojonej, których wielkości są potęgami 2 (co pozwala na konstrukcje kompasu i liniału ). Ten ostatni wynik jest mało oczywisty, ponieważ równanie modułowe poziomu 2 jest sześcienne.

wzory pi

Do braci Chudnovsky znaleziono w 1987 roku,

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ pi}} = {\ Frac {12} {640320 ^ {3/2}}} \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(6k )!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}}$

dowód, który wykorzystuje fakt, że

${\ Displaystyle j \ lewo ({\ Frac {1 + {\ sqrt {-163}}} {2}} \ po prawej) = -640320 ^ {3}.}$

Podobne formuły można znaleźć w serii Ramanujan-Sato .

Wartości specjalne

J -invariant znika w „rogu” z podstawowej domeny na

${\ Displaystyle \ quad J \ lewo ({\ tfrac {1 + {\ sqrt {3}} i} {2}} \ po prawej) = 0}$

Oto kilka innych specjalnych wartości podanych w postaci alternatywnej notacji J ( τ ) ≡1/1728 j ( τ ) (tylko pierwsze cztery są dobrze znane):

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} J (i) i = J \ lewo ({\ tfrac {1 + i} {2}} \ po prawej) = 1 \ \ J \ lewo ({\ sqrt {2}} ja \right)&=\left({\tfrac {5}{3}}\right)^{3}\\J(2i)&=\left({\tfrac {11}{2}}\right)^ {3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^ {3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left( {\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right )^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\ sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\ sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000} {7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}} \right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\ po prawej)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{32}}\left(5+3{\sqrt {3}}\right )^{2}\left(3+{\sq rt {7}}\right)^{2}\left(65+34{\sqrt {3}}+26{\sqrt {7}}+15{\sqrt {21}}\right)^{3} \\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2} }+4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10 {\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16 }}\left(10+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt { 2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5} }\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right) ^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\ tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5 }}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\ po prawej)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\frac { \sqrt {19}}{2}}\left({\sqrt {\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{ 3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {2 7}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}}+{\sqrt {\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93} }}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}} }}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}} \left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i )&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\left(30+11{\sqrt {7}}+\left (6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)& =\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{ \sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\ J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{ 25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right) &=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}- 719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\ tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\rig ht)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3 }\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}} +1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555} }i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\ sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}$

Brak klasyfikacji krzywych eliptycznych względem innych pól

-Invariant jest czułe jedynie klas Izomorfizm krzywych eliptycznych na liczbach zespolonych, albo bardziej ogólnie, z pola algebraicznie zamknięte . Nad innymi polami istnieją przykłady krzywych eliptycznych, których -niezmienniczość jest taka sama, ale nie są izomorficzne. Na przykład niech będą krzywe eliptyczne związane z wielomianami${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle E_{1},E_{2}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} E_ {1}: & {\ tekst {}} y ^ {2} = x ^ {3}-25 x \ \ E_ {2}: i {\ tekst {}} y ^ {2}=x^{3}-4x\end{wyrównany}}}$

oba mają -niezmienny . Wtedy wymierne punkty można obliczyć jako${\displaystyle j}$${\ Displaystyle 1728}$${\displaystyle E_{2}}$

${\ Displaystyle E_ {2} (\ mathbb {Q} ) = \ {\ infty, (2,0), (-2,0), (0,0) \}}$

odkąd

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x ^ {3}-4x i = x (x ^ {2}-4) \ \ i = x (x-2) (x + 2) \ koniec {wyrównany}}}$

. Nie ma racjonalnych rozwiązań z . Można to pokazać za pomocą wzoru Cardano, aby pokazać, że w takim przypadku wszystkie rozwiązania są irracjonalne. ${\displaystyle y=a\neq 0}$${\ Displaystyle x ^ {3}-4x-a ^ {2}}$

Z drugiej strony na zbiorze punktów

${\ Displaystyle \ {n (-4,6): n \ w \ mathbb {Z} \}}$

równanie dla daje równanie${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle 36n^{2}=-64n^{3}+100n}$

Dzielenie równania przez w celu wyeliminowania rozwiązania daje${\ Displaystyle 4n}$${\ Displaystyle (0,0)}$

${\ Displaystyle 9n = -16n ^ {2} + 25}$

które można przepisać jako równanie kwadratowe

${\ Displaystyle 16n ^ {2} + 9n-25 = 0}$

Używając wzoru kwadratowego, daje to

${\ Displaystyle {\ Frac {-9 \ pm {\ sqrt {81-4 \ cdot 16 \ cdot (-25)}}} {2 \ cdot 16}} = {\ Frac {-9 \ pm 41} {32 }}}$

stąd jest to liczba wymierna.

Jeśli te krzywe są uważane za ponad , istnieje wysyłanie izomorfizmu${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {10}})}$${\ Displaystyle E_ {1} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {10}}})) \ cong E_ {2} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {10}}))}$

${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto (\ mu ^ {2} x \ mu ^ {3} y) {\ tekst {gdzie}} \ mu = {\ Frac {\ sqrt {10}} {2} }}$

Bibliografia

• Apostol, Tom M. (1976), Funkcje modułowe i seria Dirichleta w teorii liczb , Teksty magisterskie z matematyki, 41 , Nowy Jork: Springer-Verlag, MR  0422157. Zapewnia bardzo czytelne wprowadzenie i różne ciekawe tożsamości.
  • Apostol, Tom M. (1990), Funkcje modułowe i Dirichlet Series w teorii liczb , Graduate Texts in Mathematics, 41 (2nd ed.), doi : 10.1007/978-1-4612-0999-7 , ISBN 978-0-387-97127-8, MR  1027834
• Berndt, Bruce C .; Chan, Heng Huat (1999), "Ramanujan i modułowa j-niezmiennicza", Canadian Mathematical Bulletin , 42 (4): 427-440, doi : 10.4153/CMB-1999-050-1 , MR  1727340. Zapewnia wiele interesujących tożsamości algebraicznych, w tym odwrotność jako szereg hipergeometryczny.
• Cox, David A. (1989), Primes of the Form x ^ 2 + ny ^ 2: Fermat, teoria pola klasowego i mnożenie zespolone , New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc., MR  1028322 Wprowadza j-niezmiennik i omawia pokrewną klasową teorię pola.
• Conway, John Horton ; Norton, Simon (1979), "Monstroous moonshine", Biuletyn London Mathematical Society , 11 (3): 308-339, doi : 10.1112/blms/11.3.308 , MR  0554399. Zawiera listę 175 modułowych funkcji rodzaju zero.
• Rankin, Robert A. (1977), Modułowe formy i funkcje , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-21212-0, numer MR  0498390. Zawiera krótki przegląd w kontekście formularzy modułowych.
• Schneider, Theodor (1937), "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale", Matematyka. Annalen , 113 : 1–13 , doi : 10.1007/BF01571618 , MR  1513075 , S2CID  121073687.