Podstawowe twierdzenie algebry - Fundamental theorem of algebra

Podstawowym twierdzenie algebraicznych stanowi, że co nie- stała jednej zmiennej wielomian ze złożonych współczynników ma co najmniej jeden złożony korzenia . Obejmuje to wielomiany o rzeczywistych współczynnikach, ponieważ każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną, której część urojona jest równa zero.

Równoważnie (z definicji), twierdzenie stwierdza, że pole z liczb zespolonych jest algebraicznie zamknięte .

Twierdzenie to jest również sformułowane w następujący sposób: każdy niezerowy, jednozmienny, wielomian stopnia n o zespolonych współczynnikach ma, policzone z wielokrotnością , dokładnie n pierwiastków zespolonych. Równoważność tych dwóch zdań można udowodnić, stosując kolejne dzielenie wielomianowe .

Pomimo swojej nazwy nie ma czysto algebraicznego dowodu twierdzenia, ponieważ każdy dowód musi wykorzystywać jakąś formę analitycznej zupełności liczb rzeczywistych , co nie jest pojęciem algebraicznym . Dodatkowo nie jest to podstawa dla współczesnej algebry ; jej nazwa została nadana w czasach, gdy algebra była synonimem teorii równań .

Historia

Peter Roth w swojej książce Arithmetica Philosophica (opublikowanej w 1608 r. w Norymberdze przez Johanna Lantzenbergera) napisał, że równanie wielomianowe stopnia n (z rzeczywistymi współczynnikami) może mieć n rozwiązań. Albert Girard w swojej książce L'invention nouvelle en l'Algèbre (opublikowanej w 1629) stwierdził, że równanie wielomianowe stopnia n ma n rozwiązań, ale nie stwierdził, że muszą to być liczby rzeczywiste. Ponadto dodał, że jego twierdzenie jest prawdziwe „chyba że równanie jest niekompletne”, przez co miał na myśli, że żaden współczynnik nie jest równy 0. Jednak gdy szczegółowo wyjaśnia, co ma na myśli, jasne jest, że faktycznie wierzy, że jego twierdzenie jest zawsze prawda; na przykład pokazuje, że równanie, chociaż niekompletne, ma cztery rozwiązania (liczenie krotności): 1 (dwukrotnie) i

Jak zostanie ponownie wspomniane poniżej, z podstawowego twierdzenia algebry wynika, że ​​każdy niestały wielomian o rzeczywistych współczynnikach można zapisać jako iloczyn wielomianów o rzeczywistych współczynnikach o stopniach 1 lub 2. Jednak w 1702 r. Leibniz błędnie powiedział że żaden wielomian typu x 4 + a 4 (z liczbą rzeczywistą i różną od 0) nie może być tak zapisany. Później Nikolaus Bernoulli poczynił to samo twierdzenie dotyczące wielomianu x 4 − 4 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 4 , ale otrzymał list od Eulera w 1742 r., w którym wykazano, że ten wielomian jest równy

z Euler zauważył również, że

Pierwszą próbę udowodnienia twierdzenia podjął d'Alembert w 1746 roku, ale jego dowód był niekompletny. Wśród innych problemów założono twierdzenie (obecnie znane jako twierdzenie Puiseux ), którego udowodniono dopiero ponad sto lat później i przy użyciu podstawowego twierdzenia algebry. Inne próby podjęli Euler (1749), de Focenex (1759), Lagrange (1772) i Laplace (1795). Te cztery ostatnie próby zakładały domyślnie twierdzenie Girarda; dokładniej, założono istnienie rozwiązań i pozostało do udowodnienia tylko to, że ich forma jest a  +  bi dla pewnych liczb rzeczywistych a i b . Współcześnie Euler, de Focenex, Lagrange i Laplace zakładali istnienie rozszczepionego ciała wielomianu p ( z ).

Pod koniec XVIII wieku opublikowano dwa nowe dowody, które nie zakładały istnienia korzeni, ale żaden z nich nie był kompletny. Jedna z nich, za sprawą Jamesa Wooda i głównie algebraiczna, została opublikowana w 1798 roku i została całkowicie zignorowana. Dowód Wooda miał lukę algebraiczną. Druga została opublikowana przez Gaussa w 1799 i była głównie geometryczna, ale miała lukę topologiczną, wypełnioną dopiero przez Aleksandra Ostrowskiego w 1920, o czym mówi Smale (1981). Pierwszy rygorystyczny dowód został opublikowany przez Arganda w 1806 r. (i ponownie zbadany w 1813 r.); tu też po raz pierwszy sformułowano podstawowe twierdzenie algebry dla wielomianów o współczynnikach zespolonych, a nie tylko rzeczywistych. Gauss stworzył dwa inne dowody w 1816 roku i kolejną niekompletną wersję swojego oryginalnego dowodu w 1849 roku.

Pierwszy podręcznik zawierający dowód twierdzenia było Cauchy „s Cours d'analizować de l'Ecole Polytechnique Royale (1821). Zawierała dowód Arganda, chociaż Argand nie jest do tego przypisywany.

Żaden z wymienionych dotychczas dowodów nie jest konstruktywny . To Weierstrass po raz pierwszy podniósł w połowie XIX wieku problem znalezienia konstruktywnego dowodu podstawowego twierdzenia algebry. Swoje rozwiązanie, które we współczesnym ujęciu sprowadza się do połączenia metody Duranda-Kernera z zasadą kontynuacji homotopii , przedstawił w 1891 roku. Kolejny dowód tego rodzaju uzyskał Hellmuth Kneser w 1940 roku, a uproszczony przez jego syna Martina Knesera w 1981 roku.

Bez użycia przeliczalnego wyboru , nie jest możliwe konstruktywne udowodnienie podstawowego twierdzenia algebry dla liczb zespolonych na podstawie liczb rzeczywistych Dedekinda (które nie są konstruktywnie równoważne z liczbami rzeczywistymi Cauchy'ego bez przeliczalnego wyboru). Jednak Fred Richman udowodnił przeformułowaną wersję twierdzenia, która działa.

Dowody

Wszystkie poniższe dowody zawierają pewną analizę matematyczną lub przynajmniej topologiczną koncepcję ciągłości funkcji rzeczywistych lub złożonych. Niektórzy używają również funkcji różniczkowalnych, a nawet analitycznych . Fakt ten doprowadził do spostrzeżenia, że ​​Fundamentalne Twierdzenie Algebry nie jest ani fundamentalne, ani twierdzenie algebry.

Niektóre dowody twierdzenia dowodzą jedynie, że dowolny wielomian niestały o współczynnikach rzeczywistych ma jakiś pierwiastek złożony. To wystarczy do ustalenia twierdzenia w ogólnym przypadku, ponieważ przy danym wielomianie niestałym p ( z ) o współczynnikach zespolonych wielomian

ma tylko rzeczywiste współczynniki, a jeśli z jest zerem q ( z ), to albo z albo jego sprzężenie jest pierwiastkiem p ( z ).

Wiele niealgebrycznych dowodów twierdzenia wykorzystuje fakt (nazywany czasem „lematem wzrostu”), że funkcja wielomianowa n-tego stopnia p ( z ), której dominujący współczynnik wynosi 1, zachowuje się jak z n, gdy | z | jest wystarczająco duży. Bardziej precyzyjne stwierdzenie brzmi: istnieje pewna dodatnia liczba rzeczywista R taka, że:

kiedy | z | >  R .

Kompleksowe dowody analityczne

Znajdź zamknięty dysk D o promieniu r wyśrodkowany na początku tak, że | p ( z )| > | p (0)| kiedykolwiek | z | ≥  r . Minimum | p ( z )| na D , które musi istnieć, ponieważ D jest zwarte , osiąga się zatem w pewnym punkcie z 0 we wnętrzu D , ale nie w żadnym punkcie jego granicy. Zasady maksimum moduł (stosowane do 1 / P ( oo )) sugeruje więc, że P ( oo 0 ) = 0. Innymi słowy, z 0 jest zero P ( oo ).

Odmiana tego dowodu nie wymaga zastosowania zasady maksymalnego modułu (w rzeczywistości ten sam argument z niewielkimi zmianami daje również dowód na zasadę maksymalnego modułu dla funkcji holomorficznych). Jeśli założymy przez sprzeczność, że a  := p ( z 0 ) ≠ 0, to rozwijając p ( z ) w potęgach zz 0 możemy napisać

Tutaj c j są po prostu współczynnikami wielomianu zp ( z + z 0 ) i niech k będzie indeksem pierwszego współczynnika następującego po stałym członie, który jest niezerowy. Ale teraz widzimy, że dla z wystarczająco bliskiego z 0 ma to zachowanie asymptotycznie podobne do prostszego wielomianu ,

w tym sensie, że (co łatwo sprawdzić) funkcja

jest ograniczona przez pewną dodatnią stałą M w pewnym sąsiedztwie z 0 . Zatem jeśli zdefiniujemy i przyjmiemy , to dla dowolnej dostatecznie małej liczby dodatniej r (tak, aby wspomniana powyżej granica M była zachowana ), używając nierówności trójkąta widzimy, że

Gdy r jest wystarczająco blisko 0, to górna granica dla | p ( z )| jest ściśle mniejszy niż | a |, wbrew definicji z 0 . (Geometrycznie znaleźliśmy wyraźny kierunek θ 0 taki, że jeśli zbliżamy się do z 0 z tego kierunku, można otrzymać wartości p ( z ) mniejsze w wartości bezwzględnej niż | p ( z 0 )|.)

Inny dowód analityczny można uzyskać w tym toku myślenia, obserwując, że ponieważ | p ( z )| > | p (0)| poza D , minimum | p ( z )| na całej płaszczyźnie zespolonej osiąga się przy z 0 . Jeżeli | p ( z 0 )| > 0, wtedy 1/ p jest ograniczoną funkcją holomorficzną na całej płaszczyźnie zespolonej, ponieważ dla każdej liczby zespolonej z , |1/ p ( z )| ≤ | 1 / p ( z 0 ) |. Stosując twierdzenie Liouville'a , które mówi, że cała ograniczona funkcja musi być stała, oznaczałoby to, że 1/ p jest stałe, a zatem p jest stałe. Daje to sprzeczność, a zatem p ( z 0 ) = 0.

Jeszcze inny dowód analityczny wykorzystuje zasadę argumentacji . Niech R będzie na tyle dodatnią liczbą rzeczywistą, że każdy pierwiastek z p ( z ) ma wartość bezwzględną mniejszą niż R ; taka liczba musi istnieć, ponieważ każda niestała funkcja wielomianowa stopnia n ma co najwyżej n zer. Dla każdego r  >  R rozważ liczbę

gdzie c ( r ) jest okręgiem o środku w punkcie 0 o promieniu r zorientowanym w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara; wtedy zasada argumentu mówi, że ta liczba jest liczbą N zer p ( z ) w otwartej kuli wyśrodkowanej w punkcie 0 o promieniu r , który, ponieważ r  >  R , jest całkowitą liczbą zer p ( z ). Z drugiej strony, całka z n / z wzdłuż c ( r ) podzielona przez 2π i jest równa n . Ale różnica między tymi dwiema liczbami to

Licznik całkowanego wyrażenia wymiernego ma stopień najwyżej n  − 1, a stopień mianownika to n  + 1. Dlatego powyższa liczba dąży do 0, ponieważ r → +∞. Ale liczba jest również równa N  −  n, a więc N  =  n .

Jeszcze inny dowód analizy zespolonej można podać, łącząc algebrę liniową z twierdzeniem Cauchy'ego . Aby ustalić, że każdy złożony wielomian stopnia n  > 0 ma zero, wystarczy pokazać, że każda złożona macierz kwadratowa o rozmiarze n  > 0 ma (złożoną) wartość własną . Dowodem tego ostatniego twierdzenia jest sprzeczność .

Niech A będzie złożoną macierzą kwadratową o rozmiarze n  > 0 i niech I n będzie macierzą jednostkową o tym samym rozmiarze. Załóżmy, że A nie ma wartości własnych. Rozważmy rezolwent funkcji

która jest funkcją meromorficzną na płaszczyźnie zespolonej z wartościami w przestrzeni wektorowej macierzy. Wartości własne A są dokładnie biegunami R ( z ). Ponieważ z założenia A nie ma wartości własnych, funkcja R ( z ) jest całą funkcją, a twierdzenie Cauchy'ego implikuje, że

Z drugiej strony, R ( z ) rozwinięte jako szereg geometryczny daje:

Wzór ten obowiązuje poza zamkniętą płytę o promieniu (the norma operatora z A ). Niech wtedy

(w którym tylko suma k  = 0 ma niezerową całkę). To jest sprzeczność, więc A ma wartość własną.

Wreszcie , twierdzenie Rouche za daje chyba najkrótszy dowód twierdzenia.

Dowody topologiczne

Załóżmy, że minimum | p ( z )| na całej płaszczyźnie zespolonej osiąga się w z 0 ; widać było na dowodzie, który wykorzystuje twierdzenie Liouville'a, że ​​taka liczba musi istnieć. Możemy zapisać p ( z ) jako wielomian w z  −  z 0 : jest pewna liczba naturalna k i są liczby zespolone c k , c k  + 1 , ..., c n takie, że c k  ≠ 0 oraz:

Jeśli p ( z 0 ) jest niezerowe, to jeśli a jest k- tym pierwiastkiem z − p ( z 0 )/ c k i jeśli t jest dodatnie i wystarczająco małe, to | p ( z 0  +  ta )| < | p ( z 0 )|, co jest niemożliwe, ponieważ | p ( z 0 )| to minimum | p | na D .

Dla innego dowodu topologicznego przez sprzeczność, załóżmy, że wielomian p ( z ) nie ma pierwiastków iw konsekwencji nigdy nie jest równy 0. Pomyśl o wielomianu jako odwzorowaniu płaszczyzny zespolonej na płaszczyznę zespoloną. Odwzorowuje dowolny okrąg | z | =  R do zamkniętej pętli, krzywa P ( R ). Weźmiemy pod uwagę to, co dzieje się z liczby uzwojeń z p ( R ) w skrajnych, kiedy R jest bardzo duże i gdy R = 0. Gdy R jest wystarczająco duża liczba, to prowadzi termin z n o p ( z ) dominuje wszystkie pozostałe terminy połączone; innymi słowy,

Gdy z przemierza okrąg raz w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, następnie nawija się n razy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół początku (0,0) i P ( R ) podobnie. Na drugim krańcu, z | z | = 0, krzywa P (0) jest tylko pojedynczym punktem p (0), który musi być niezerowy, ponieważ p ( z ) nigdy nie jest zerem. Zatem p (0) musi być różne od początku (0,0), który oznacza 0 na płaszczyźnie zespolonej. Liczba uzwojeń P (0) wokół początku (0,0) wynosi zatem 0. Teraz ciągła zmiana R będzie stale deformować pętlę . Przy pewnym R numer uzwojenia musi się zmienić. Ale może się to zdarzyć tylko wtedy, gdy krzywa P ( R ) zawiera początek (0,0) dla pewnego R . Ale wtedy dla niektórych z na tym okręgu | z | =  R mamy p ( z ) = 0, co jest sprzeczne z naszym pierwotnym założeniem. Dlatego p ( z ) ma co najmniej jedno zero.

Dowody algebraiczne

Te dowody Podstawowego Twierdzenia Algebry muszą wykorzystywać następujące dwa fakty dotyczące liczb rzeczywistych, które nie są algebraiczne, ale wymagają jedynie niewielkiej ilości analizy (dokładniej, twierdzenie o wartości pośredniej w obu przypadkach):

  • każdy wielomian o nieparzystym stopniu i współczynnikach rzeczywistych ma jakiś pierwiastek rzeczywisty;
  • każda nieujemna liczba rzeczywista ma pierwiastek kwadratowy.

Drugi fakt, wraz ze wzorem kwadratowym , implikuje twierdzenie o rzeczywistych wielomianach kwadratowych. Innymi słowy, algebraiczne dowody fundamentalnego twierdzenia faktycznie pokazują, że jeśli R jest dowolnym ciałem domkniętym realnie , to jego rozszerzenie C = R ( −1 ) jest algebraicznie domknięte.

Przez indukcję

Jak wspomniano powyżej, wystarczy sprawdzić stwierdzenie „każdy niestały wielomian p ( z ) o rzeczywistych współczynnikach ma pierwiastek złożony”. To stwierdzenie można udowodnić przez indukcję na największej nieujemnej liczbie całkowitej k takiej, że 2 k dzieli stopień n z p ( z ). Niech mieć współczynnik oo n w p ( oo ) i niech F być podział na pola na p ( oo ) na C ; innymi słowy, pole F zawiera C i są elementy z 1 , z 2 , ..., z n w F takie, że

Jeśli k  = 0, to n jest nieparzyste, a zatem p ( z ) ma pierwiastek rzeczywisty. Załóżmy teraz, że n  = 2, k, m (z m nieparzyste i k  > 0), oraz że twierdzenie udowodnił, gdy stopień wielomianu ma postać 2 k  - 1 m 'w m "nieparzysty. Dla liczby rzeczywistej t zdefiniuj:

Wtedy współczynniki q t ( z ) są symetrycznymi wielomianami w z i o rzeczywistych współczynnikach. Można je zatem wyrazić jako wielomiany o rzeczywistych współczynnikach w elementarnych wielomianach symetrycznych , czyli w − a 1 , a 2 , ..., (−1) n a n . Tak więc q t ( z ) ma w rzeczywistości współczynniki rzeczywiste . Co więcej, stopień q t ( z ) to n ( n  − 1)/2 = 2 k −1 m ( n  − 1), a m ( n  − 1) jest liczbą nieparzystą. Tak więc, korzystając z hipotezy indukcji, q t ma co najmniej jeden złożony pierwiastek; innymi słowy, z i  +  z j  +  tz i z j jest zespolona dla dwóch odrębnych elementów i oraz j z {1, ..., n }. Ponieważ liczb rzeczywistych jest więcej niż par ( i , j ), można znaleźć różne liczby rzeczywiste t i s takie, że z i  +  z j  +  tz i z j oraz z i  +  z j  +  sz i z j są zespolone (dla to samo i i j ). Zatem zarówno z i  +  z j, jak i z i z j są liczbami zespolonymi. Łatwo jest sprawdzić, czy każda liczba zespolona ma złożony pierwiastek kwadratowy, a zatem każdy złożony wielomian stopnia 2 ma złożony pierwiastek według wzoru kwadratowego. Wynika z tego, że z i oraz z j są liczbami zespolonymi, ponieważ są pierwiastkami wielomianu kwadratowego z 2  − ( z i  +  z j ) z  +  z i z j .

Joseph Shipman wykazał w 2007 roku, że założenie, że wielomiany nieparzystego stopnia mają pierwiastki, jest silniejsze niż to konieczne; każde ciało, w którym wielomiany stopnia pierwszego mają pierwiastki, jest algebraicznie domknięte (więc "nieparzysty" można zastąpić przez "nieparzysty pierwszy" i dotyczy to ciał o wszystkich cechach). W przypadku aksjomatyzacji ciał algebraicznie domkniętych jest to najlepsze z możliwych, ponieważ istnieją kontrprzykłady wykluczenia pojedynczej liczby pierwszej. Jednak te kontrprzykłady polegają na tym, że -1 ma pierwiastek kwadratowy. Jeśli weźmiemy pole, w którym −1 nie ma pierwiastka kwadratowego, a każdy wielomian stopnia n  ∈  I ma pierwiastek, gdzie I jest dowolnym ustalonym nieskończonym zbiorem liczb nieparzystych, to każdy wielomian f ( x ) nieparzystego stopnia ma pierwiastek ( ponieważ ( x 2 + 1) k f ( x ) ma pierwiastek, gdzie k jest tak wybrane, że deg( f ) + 2 kI ). Mohsen Aliabadi uogólnił wynik Shipmana z 2013 roku, dostarczając niezależnego dowodu, że wystarczającym warunkiem dla algebraicznego domknięcia dowolnego ciała (o dowolnej charakterystyce) jest to, że ma ono pierwiastek dla każdego wielomianu stopnia pierwszego.

Z teorii Galois

Kolejny dowód algebraiczny fundamentalnego twierdzenia można podać za pomocą teorii Galois . Wystarczy pokazać, że C nie ma właściwego rozszerzenia pola skończonego . Niech K / C będzie rozszerzeniem skończonym. Ponieważ normalnie zamknięcie z K na R nadal ma skończoną stopniach przez C (lub R ), można przyjąć, bez utraty ogólności , że K jest rozszerzenie normalne z R (stąd jest rozszerzenie Galois jak co algebraicznej rozszerzenia pola o charakterystyce 0 jest separowalne ). Niech G jest grupą Galois tego rozszerzenia i pozwolić H być Sylow 2-podgrupa G , tak że zamówienie z H jest potęgą liczby 2, a wskaźnik z H w G jest nieparzysta. Do zasadniczej twierdzenia teorii Galois , istnieje subextension L z K / R w taki sposób, Gal ( K / L ) =  H . Ponieważ [ L : R ] = [ G : H ] jest nieparzyste i nie ma nieliniowych nierozkładalnych rzeczywistych wielomianów nieparzystego stopnia, musimy mieć L  = R , zatem [ K : R ] i [ K : C ] są potęgami liczby 2. Zakładając w drodze sprzeczności, że [ K : C ] > 1, dochodzimy do wniosku, że 2-grupa Gal( K / C ) zawiera podgrupę o indeksie 2, więc istnieje podrozciągnięcie M stopnia C 2. Jednak C nie ma rozszerzenia stopnia 2, ponieważ każdy złożony wielomian kwadratowy ma złożony pierwiastek, jak wspomniano powyżej. To pokazuje, że [ K : C ] = 1, a zatem K = C , co uzupełnia dowód.

Dowody geometryczne

Istnieje jeszcze inny sposób podejścia do fundamentalnego twierdzenia algebry, za sprawą JM Almiry i A. Romero: za pomocą riemannowskich argumentów geometrycznych . Główną ideą jest tutaj udowodnienie, że istnienie niestałego wielomianu p ( z ) bez zer implikuje istnienie płaskiej metryki Riemanna nad sferą S 2 . Prowadzi to do sprzeczności, ponieważ kula nie jest płaska.

Riemanna powierzchnia ( M , g ) mówi się, że płaska, jeśli jej krzywizny Gaussa, co oznaczamy K g jest identyczny puste. Teraz twierdzenie Gaussa–Bonneta , zastosowane do sfery S 2 , stwierdza, że

co dowodzi, że kula nie jest płaska.

Załóżmy teraz, że n > 0 i

dla każdej liczby zespolonej z . Zdefiniujmy

Oczywiście, P * ( z ) ≠ 0 dla wszystkich Z w C . Rozważmy wielomian f ( z ) =  p ( z ) p* ( z ). Następnie F ( z ) ≠ 0 dla każdego Z w C . Ponadto,

Możemy użyć tego równania funkcyjnego, aby udowodnić, że g , dane przez

dla w w C i

dla w  ∈  S 2 \{0}, jest dobrze zdefiniowaną metryką Riemanna nad sferą S 2 (którą identyfikujemy z rozszerzoną płaszczyzną zespoloną C  ∪ {∞}).

Teraz proste obliczenia pokazują, że

ponieważ rzeczywista część funkcji analitycznej jest harmoniczna. Dowodzi to, że K g  = 0.

Następstwa

Ponieważ podstawowe twierdzenie algebry można traktować jako twierdzenie, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte , wynika z tego, że każde twierdzenie dotyczące ciał algebraicznie domkniętych stosuje się do ciała liczb zespolonych. Oto kilka innych konsekwencji twierdzenia, które dotyczą albo ciała liczb rzeczywistych, albo związku między ciałem liczb rzeczywistych a ciałem liczb zespolonych:

  • Ciałem liczb zespolonych jest algebraiczne domknięcie ciała liczb rzeczywistych.
  • Każdy wielomian jednej zmiennej Z ze złożonych współczynników jest produktem złożonym stałej i wielomiany postaci Z  +  się z złożone.
  • Każdy wielomian jednej zmiennej x o współczynnikach rzeczywistych może być zapisana jako iloczyn stałej wielomiany w postaci x  +  się w rzeczywistym i wielomiany postaci x 2  +  AX  +  b z i b rzeczywistym i w 2  − 4 b  < 0 (co jest tym samym, co stwierdzenie, że wielomian x 2  +  ax  +  b nie ma pierwiastków rzeczywistych). (Zgodnie z twierdzeniem Abela-Ruffiniego liczby rzeczywiste a i b niekoniecznie są wyrażalne w postaci współczynników wielomianu, podstawowych operacji arytmetycznych i wyciągania n-tych pierwiastków.) Oznacza to, że liczba nierzeczywistych złożone korzenie są zawsze równe i pozostają nawet w ich wielości.
  • Każdą funkcję wymierną w jednej zmiennej x o współczynnikach rzeczywistych można zapisać jako sumę funkcji wielomianowej o funkcjach wymiernych postaci a /( x  −  b ) n (gdzie n jest liczbą naturalną, a a i b są rzeczywiste liczb) oraz funkcje wymierne postaci ( ax  +  b )/( x 2  +  cx  +  d ) n (gdzie n jest liczbą naturalną, a a , b , c , i d są liczbami rzeczywistymi takimi, że c 2  − 4 d  < 0). Następstwem tego jest, że każdy racjonalny funkcja jednej zmiennej i współczynnikach rzeczywistych ma elementarny prymitywny .
  • Każde rozszerzenie algebraiczne ciała rzeczywistego jest izomorficzne albo z ciałem rzeczywistym, albo z ciałem zespolonym.

Granice na zerach wielomianu

Podczas gdy podstawowe twierdzenie algebry stwierdza ogólny wynik istnienia, jest rzeczą interesującą, zarówno z teoretycznego, jak i praktycznego punktu widzenia, posiadanie informacji o położeniu zer danego wielomianu. Prostszym wynikiem w tym kierunku jest ograniczenie modułu: wszystkie zera ζ wielomianu monicznego spełniają nierówność |ζ| ≤ R , gdzie

Zauważ, że, jak stwierdzono, nie jest to jeszcze wynik istnienia, ale raczej przykład tego, co nazywamy ograniczeniem a priori : mówi, że jeśli istnieją rozwiązania, to leżą one wewnątrz zamkniętego dysku środka, którego początek i promień R . Jednak w połączeniu z podstawowym twierdzeniem algebry mówi, że dysk zawiera w rzeczywistości co najmniej jedno rozwiązanie. Bardziej ogólnie, związany można podawać bezpośrednio w warunkach jakiegokolwiek p normą w n -wektor współczynników o | ζ | ≤ R p , gdzie R p jest dokładnie q -normą 2-wektora q będącego sprzężonym wykładnikiem p , dla dowolnego 1 ≤ p ≤ ∞. Zatem moduł dowolnego rozwiązania jest również ograniczony przez

dla 1 < p < ∞, a w szczególności

(gdzie określenie się n oznacza 1, który jest odpowiedni, ponieważ jeden jest rzeczywiście n -tego współczynnika naszego wielomian). Przypadek wielomianu rodzajowego stopnia n ,

jest oczywiście zmniejszone do przypadku monic dzieląc przez wszystkie współczynniki a n ≠ 0. Ponadto, w przypadku, 0 nie jest pierwiastkiem, tj 0 ≠ 0, kresy od dołu na korzeniach ζ nastąpić bezpośrednio w granicach od góry na , czyli korzenie

Na koniec, odległość od korzeni ç w dowolnym punkcie może być określona powyżej i poniżej, widząc jak zerowych wielomianu , którego współczynniki są rozwinięcia Taylora z P ( Z ), w

Niech ζ będzie pierwiastkiem wielomianu

w celu udowodnienia nierówności |ζ| ≤ R p możemy oczywiście założyć |ζ| > 1. Zapisanie równania jako

i stosując nierówność höldera znaleźć

Teraz, jeśli p = 1, to jest

zatem

W przypadku 1 < p ≤ ∞, biorąc pod uwagę wzór na sumowanie postępu geometrycznego , mamy

zatem

i uproszczenie,

W związku z tym

obowiązuje, dla wszystkich 1 ≤ p ≤ ∞.

Zobacz też

Bibliografia

Cytaty

Źródła historyczne

Najnowsza literatura

Zewnętrzne linki