Słowniczek teorii tensorów - Glossary of tensor theory

To jest słownik teorii tensorów . Aby zapoznać się z wykładami teorii tensorów z różnych punktów widzenia, zobacz:

Aby zapoznać się z historią teorii abstrakcyjnej, zobacz także Algebra wieloliniowa .

Notacja klasyczna

Rachunek Ricciego

Najwcześniejsze podstawy teorii tensorów - notacja indeksu tensorowego.

Kolejność tensora

Składnikami tensora w odniesieniu do bazy jest tablica indeksowana. Zamówienie od tensora jest liczba wskaźników potrzebnych. Niektóre teksty mogą odnosić się do kolejności tensorów przy użyciu terminu stopień lub stopień .

Ranga tensora

Ranga tensora to minimalna liczba tensorów rzędu pierwszego, którą należy zsumować, aby otrzymać tensor. Tensor rzędu jeden można zdefiniować jako wyrażalny jako iloczyn zewnętrzny liczby wektorów niezerowych potrzebnych do uzyskania właściwej kolejności.

Tensor diadyczny

Dwójkowym napinacz jest tensor rzędu drugiego, i może być przedstawiony jako kwadratowy matrycy . W przeciwieństwie do tego diada jest w szczególności tensorem diadycznym rzędu pierwszego.

Notacja Einsteina

Notacja ta opiera się na założeniu, że ilekroć tablica wielowymiarowa zawiera powtarzającą się literę indeksu, domyślna interpretacja jest taka, że iloczyn jest sumowany po wszystkich dozwolonych wartościach indeksu. Na przykład, jeśli a _ij jest macierzą, to zgodnie z tą konwencją a _ii jest jej śladem . Konwencja Einsteina jest szeroko stosowana w tekstach fizyki i inżynierii, do tego stopnia, że jeśli nie ma być stosowane sumowanie, normalne jest, aby wyraźnie to zauważyć.

Delta Kroneckera

Symbol Levi-Civita

Tensor kowariantny

Tensor kontrawariantny

Klasyczna interpretacja składa się z elementów. Na przykład, w postaci różniczkowej _i DX ^I te elementy _i są kowariantna wektorowych. Oznacza to, że wszystkie indeksy są niższe; kontrawariantny oznacza, że wszystkie indeksy są wyższe.

Mieszany tensor

Odnosi się to do dowolnego tensora, który ma zarówno dolny, jak i górny indeks.

Tensor kartezjański

Tensory kartezjańskie są szeroko stosowane w różnych gałęziach mechaniki kontinuum , takich jak mechanika płynów i elastyczność . W klasycznej mechanice kontinuum przedmiotem zainteresowania jest zwykle trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa , podobnie jak przestrzeń styczna w każdym punkcie. Jeśli ograniczymy lokalne współrzędne do współrzędnych kartezjańskich z tą samą skalą wyśrodkowaną w punkcie zainteresowania, tensor metryczny to delta Kroneckera . Oznacza to, że nie ma potrzeby rozróżniania komponentów kowariantnych i kontrawariantnych, a ponadto nie ma potrzeby rozróżniania tensorów i gęstości tensorów . Wszystkie indeksy tensorowo-kartezjańskie są zapisywane jako indeksy dolne. Tensory kartezjańskie osiągają znaczne uproszczenie obliczeniowe kosztem ogólności i pewnego wglądu teoretycznego.

Skurcz tensora

Podnoszenie i obniżanie wskaźników

Tensor symetryczny

Tensor antysymetryczny

Wiele produktów krzyżowych

Notacja algebraiczna

Pozwala to uniknąć początkowego użycia komponentów i wyróżnia się wyraźnym użyciem symbolu produktu tensorowego.

Produkt Tensor

Jeśli v i w są wektorami odpowiednio w przestrzeni wektorowej V i W , to

{\ displaystyle v \ otimes w}

jest tensorem w

{\ Displaystyle V \ otimes W.}

Oznacza to, że operacja ⊗ jest operacją binarną , ale przenosi wartości do nowej przestrzeni (jest w silnym sensie zewnętrzna ). Operacja ⊗ jest mapą dwuliniową ; ale żadne inne warunki nie są do niego stosowane.

Czysty tensor

Czysty tensor V ⊗ W to taki, który ma postać v ⊗ w

To może być napisany dyadically do ^ı b, ^j , a dokładniej do ^ı b ^j e _ı ⊗ f _j , w którym E _i stanowią podstawę dla V i K _J podstawą W . Dlatego też, chyba że V i W mają ten sam wymiar, układ składników nie musi być kwadratowy. Takie czyste tensory nie są typowe: jeśli zarówno V, jak i W mają wymiar większy niż 1, będą tensory, które nie są czyste i będą istniały nieliniowe warunki, które musi spełnić tensor, aby był czysty. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz osadzanie Segre .

Algebra tensora

W algebrze tensorowej T ( V ) przestrzeni wektorowej V , operacja staje się normalną (wewnętrzną) operacją binarną . Konsekwencją jest to, że T ( V ) ma wymiar nieskończony, chyba że V ma wymiar 0. Algebra swobodna na zbiorze X jest praktycznie taka sama jak algebra tensorowa w przestrzeni wektorowej z X jako podstawą. ${\ displaystyle \ otimes}$

Operator gwiazdy Hodge'a

Moc zewnętrzna

Produkt klin jest anty-symetryczne formy operacji ⊗. Przestrzeń iloraz T ( V ), w którym dana operacja wewnętrzna jest zewnętrzny Algebra z V ; to Graded algebra , z Graded kawałek masy k miano k -tego zewnętrznego zasilania w V .