Kohomologia krystaliczna - Crystalline cohomology

W matematyce kohomologia krystaliczna jest teorią kohomologii Weila dla schematów X nad polem podstawowym k . Jego wartości H ⁿ ( x / W ) są moduły nad pierścieniem W z Witt wektorów ponad k . Został wprowadzony przez Aleksandra Grothendiecka  ( 1966 , 1968 ) i rozwinięty przez Pierre'a Berthelota  ( 1974 ).

Kohomologia krystaliczna jest częściowo inspirowana dowodem p- adicznym w Dworku (1960) części hipotez Weila i jest blisko spokrewniona z algebraiczną wersją kohomologii de Rhama, która została wprowadzona przez Grothendiecka (1963). Z grubsza rzecz biorąc, kohomologia krystaliczna odmiany X w charakterystyce p jest kohomologią de Rhama płynnego podniesienia X do charakterystyki 0, podczas gdy kohomologia de Rhama X jest kohomologią krystaliczną zredukowaną mod p (po uwzględnieniu wyższych Tor s ).

Ideą kohomologii krystalicznej jest, z grubsza, zastąpienie otwartych zbiorów Zariskiego schematu nieskończenie małymi zgrubieniami otwartych zbiorów Zariskiego z podzielonymi strukturami potęgowymi . Powodem tego jest to, że można go następnie obliczyć, przenosząc lokalne podniesienie schematu z cechy p na cechę 0 i stosując odpowiednią wersję algebraicznej kohomologii de Rhama.

Kohomologia krystaliczna działa dobrze tylko w przypadku płynnych, prawidłowych schematów. Sztywna kohomologia rozszerza ją na bardziej ogólne schematy.

Aplikacje

W przypadku schematów w charakterystyce p , teoria kohomologii krystalicznej lepiej radzi sobie z pytaniami o p- skręcanie w grupach kohomologicznych niż kohomologia p- adyczna étale . To sprawia, że naturalne tło dla dużo pracy na L-funkcji p-adic .

Kohomologia krystaliczna, z punktu widzenia teorii liczb, wypełnia lukę w informacjach kohomologii l-adycznej , która występuje dokładnie tam, gdzie występują „równe charakterystyczne liczby pierwsze”. Tradycyjnie zastrzeżona dla teorii rozgałęzień , kohomologia krystaliczna przekształca tę sytuację w teorię modułów Dieudonnégo , dając ważne ujęcie problemów arytmetycznych. Przypuszczenia o szerokim zakresie przekształcenia tego w twierdzenia formalne zostały wygłoszone przez Jean-Marca Fontaine'a , których rozwiązanie nazywa się teorią p-adyczną Hodge'a .

Współczynniki

Dla odmiany, X nad algebraicznie zamkniętym obszarze charakterystyki P > 0 -adic kohomologii grupy dla każdej liczby głównego innego niż P dają zadowalające grupy cohomology z X , ze współczynnikami w pierścieniu z -adic całkowitymi . Na ogół nie jest możliwe znalezienie podobnych grup kohomologicznych ze współczynnikami w Q _p (lub Z _p , lub Q , lub Z ) o rozsądnych właściwościach. ${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {\ ell}}$${\displaystyle \ell}$

Klasycznym powodem (ze względu na Serre'a) jest to, że jeśli X jest superosobliwą krzywą eliptyczną , to jej pierścień endomorfizmu jest najwyższym porządkiem w algebrze kwaternionów B nad Q rozgałęzionym w p i ∞. Gdyby X miał grupę kohomologiczną nad Q _p o oczekiwanym wymiarze 2, wtedy (odwrotna algebra) B działałoby na tę dwuwymiarową przestrzeń nad Q _p , co jest niemożliwe, ponieważ B jest rozgałęziony w p .

Krystaliczny teoria cohomology Grothendiecka dostaje wokół tej przeszkody, ponieważ produkuje moduły nad pierścieniem Pierścień Witta w dziedzinie gruntowych . Tak więc, jeżeli pole jest mielony algebraiczna zamknięcie z f _P , ich wartości są moduły przez p -adic zakończeniu maksymalnej unramified rozszerzenia o Z _P , znacznie większy pierścień zawierający n TH korzenie jedności dla wszystkich n nie jest podzielna przez p , zamiast nad Z _p .

Motywacja

Jednym z pomysłów na zdefiniowanie teorii kohomologii Weila rozmaitości X nad polem k charakterystyki p jest „podniesienie” jej do rozmaitości X * nad pierścieniem wektorów Witta k (co daje z powrotem X przy redukcji mod p ), a następnie weź kohomologię de Rhama tej windy. Problem w tym, że wcale nie jest oczywiste, że ta kohomologia jest niezależna od wyboru liftingu.

Ideą kohomologii krystalicznej w charakterystyce 0 jest znalezienie bezpośredniej definicji teorii kohomologii jako kohomologii stałych snopów w odpowiednim miejscu

Inf( X )

nad X , zwany nieskończenie małym miejscem, a następnie pokazać, że jest to samo co kohomologia de Rhama dla dowolnego wzniesienia.

Miejsce Inf( X ) jest kategorią, której obiekty mogą być traktowane jako pewnego rodzaju uogólnienie konwencjonalnych otwartych zbiorów X . W charakterystycznym 0 gdy celem są nieskończenie zgrubienia U → T z Zariski otwartych podzbiorów U z X . Oznacza to, że U jest zamkniętym podschematem schematu T zdefiniowanym przez nilpotentny snop ideałów na T ; Na przykład, spec ( k ) → spec ( K [ x ] / ( x ² )).

Grothendieck wykazał, że dla gładkich schematów X nad C , kohomologia snopa O _X na Inf( X ) jest taka sama jak zwykła (gładka lub algebraiczna) kohomologia de Rhama.

Kohomologia krystaliczna

W charakterystyce p nie działa najbardziej oczywisty analog centrum krystalicznego zdefiniowanego powyżej w charakterystyce 0. Powodem jest mniej więcej to, że do udowodnienia dokładności kompleksu de Rhama potrzebny jest jakiś lemat Poincarégo , którego dowód z kolei wykorzystuje całkowanie, a całkowanie wymaga różnych podzielonych potęg, które istnieją w cesze 0, ale nie zawsze w cesze p . Grothendieck rozwiązał ten problem, definiując obiekty krystalicznej lokalizacji X jako w przybliżeniu nieskończenie małe zgrubienia otwartych podzbiorów Zariskiego X , wraz z podzieloną strukturą potęgową dającą potrzebne podzielone potęgi.

Będziemy działać na pierścień W _n = W / s ⁿ W o Witt wektorami o długości n powyżej doskonałej pola k charakterystycznej p > 0. Na przykład k może być skończonym polem porządku p , a W _n jest wtedy pierścieniem Z / p ⁿ Z . (Bardziej ogólnie można pracować na schemat podstawy S , która ma stałą snop idei I z podzielonym struktury zasilania). Jeśli X jest schematem na k , wówczas krystaliczny miejsce X względem W _n , oznaczonych Cris ( X / W _n ), ma za swoje obiekty pary U → T składające się z zamkniętego zanurzenia otwartego podzbioru Zariskiego U od X w pewien W _n- schemat T określony przez snop ideałów J , wraz z podzieloną strukturą potęgową na J zgodnym z ten na W _n .

Kohomologia krystaliczna schematu X przez k jest zdefiniowana jako granica odwrotna

${\ Displaystyle H ^ {i} (X / W) = \ varprojlim H ^ {i} (X / W_ {n})}$

gdzie

${\ Displaystyle H ^ {i} (X / W_ {n}) = H ^ {i} (\ Operatorname {Cris} (X / W_ {n}), O)}$

jest kohomologią miejsca krystalicznego X / W _n z wartościami w snopie pierścieni O  := O _{W n} .

Kluczowym punktem teorii jest to, że kohomologia krystaliczna gładkiego schematu X przez k może być często obliczona w kategoriach algebraicznej kohomologii de Rhama prawidłowego i gładkiego przeniesienia X do schematu Z przez W . Istnieje kanoniczny izomorfizm

${\ Displaystyle H ^ {i} (X / W) = H_ {DR} ^ {i} (Z / W) \ quad (= H ^ {i} (Z, \ Omega _ {Z / W} ^ {*) })=\varprojlim H^{i}(Z,\Omega _{Z/W_{n}}^{*}))}$

krystalicznego kohomologiami z X z kohomologiami de Rham z Z nad formalnym programu z W (odwrotna graniczną hypercohomology kompleksów różnicowej formy). Odwrotnie, kohomologia de Rhama X może być odzyskana jako mod p redukcji jego kohomologii krystalicznej (po uwzględnieniu wyższych Tor s).

Kryształy

Jeśli X jest schematem nad S, to snop O _{X / S} jest zdefiniowany przez O _{X / S} ( T ) = pierścień współrzędnych T , gdzie piszemy T jako skrót od obiektu U  →  T Cris ( X / S ) .

Kryształów w miejscu Cris ( X / S ), to wiązka F o O _{X / S} modułów, które jest sztywne w następującym sensie:

dla dowolnego odwzorowania f między obiektami T , T ′ Cris ( X / S ), naturalne odwzorowanie od f ^* F ( T ) do F ( T ′ ) jest izomorfizmem.

Jest to podobne do definicji quasikoherentnego snopa modułów w topologii Zariskiego.

Przykładem kryształu jest snop O _{X / S} .

Termin kryształ dołączony do teorii, wyjaśniony w liście Grothendiecka do Tate'a (1966), był metaforą inspirowaną pewnymi właściwościami algebraicznych równań różniczkowych . Odegrały one rolę w teoriach kohomologii p- adycznej (prekursorów teorii krystalicznej, wprowadzonej w różnych formach przez Dworka , Monsky'ego , Washnitzera, Lubkina i Katza ), szczególnie w pracach Dworka. Takie równania różniczkowe można dość łatwo sformułować za pomocą algebraicznych związków Koszula , ale w teorii p -adycznej analog kontynuacji analitycznej jest bardziej tajemniczy (ponieważ dyski p -adyczne są raczej rozłączne niż nakładają się). Na mocy dekretu kryształ miałby „sztywność” i „propagację” zauważalną w przypadku analitycznej kontynuacji złożonych funkcji analitycznych. (Por. także sztywne przestrzenie analityczne wprowadzone przez Johna Tate w latach 60., kiedy sprawy te były aktywnie dyskutowane).

Zobacz też

• Kohomologia motywiczna
• kohomologia de Rama

Bibliografia

• Berthelot, Pierre (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0 , Notatki do wykładu z matematyki, tom. 407, 407 , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0068636 , ISBN 978-3-540-06852-5, MR  0384804
• Berthelot, Piotr ; Ogus, Arthur (1978), Uwagi o kohomologii krystalicznej , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08218-9, MR  0491705
• Chambert-Loir, Antoine (1998), "Cohomologie krystaliczny: un survol" , Expositiones Mathematicae , 16 (4): 333-382, ISSN  0723-0869 , MR  1654786 , archiwizowane z oryginałem na 2011-07-21
• Dwork Bernard (1960), „O racjonalności funkcji zeta odmiany algebraicznej”, American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 82 (3): 631-648, doi : 10.2307/2372974 , ISSN  0002- 9327 , JSTOR  2372974 , MR  0140494
• Grothendieck, Alexander (1966), „O kohomologii de Rhama odmian algebraicznych” , Institut des Hautes Études Scientifiques. Publikacje Mathématiques , 29 (29): 95–103, doi : 10.1007/BF02684807 , ISSN  0073-8301 , MR  0199194 (list do Atiyah, 14 października 1963)
• Grothendieck, A. (1966), List do J. Tate (PDF).
• Grothendieck, Alexander (1968), „Kryształy i kohomologia schematów de Rama”, w Giraud, Jean; Grothendieck, Aleksander ; Kleiman, Steven L .; i in. (red.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas (PDF) , Studia zaawansowane w czystej matematyce, 3 , Amsterdam: North-Holland, s. 306-358, MR  0269663
• Illusie, Luc (1975), „Raport o kohomologii krystalicznej”, Geometria algebraiczna , Proc. Sympoz. Pure Math., 29 , Providence, RI: Amer. Matematyka. Soc., s. 459-478, MR  0393034
• Illusie, Luc (1976), "Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)", Seminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés nr 453-470), Exp. No. 456 , Lecture Notes in Math., 514 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 53-60, MR  0444668 , zarchiwizowane z oryginału dnia 2012-02-10 , pobrane 2007-09-20
• Illusie, Luc (1994), "Kohomologia krystaliczna", Motywy (Seattle, WA, 1991) , Proc. Sympoz. Pure Math., 55 , Providence, RI: Amer. Matematyka. Soc., s. 43–70, MR  1265522
• Kedlaya, Kiran S. (2009), "kohomologia p-adyczna", w Abramowicz, Dan; Bertram, A.; Katzarkov L.; Pandharipande, Rahul; Thaddeus., M. (red.), Geometria algebraiczna --- Seattle 2005. Część 2 , Proc. Sympoz. Pure Math., 80 , Providence, RI: Amer. Matematyka. Soc., s. 667–684, arXiv : math/0601507 , Bibcode : 2006math......1507K , ISBN 978-0-8218-4703-9, MR  2483951