Czas trwania obligacji - Bond duration

Rynki finansowe
Rynek publiczny Giełda  · Papiery wartościowe
Rynek obligacji
Wycena obligacji Obligacja korporacyjna O stałym dochodzie Obligacje rządowe Dług wysokodochodowy Obligacji komunalnych Sekurytyzacja
Giełda Papierów Wartościowych
Zwykłe akcje Preferowane akcje Zarejestrowany udział Zbiory Certyfikat akcyjny Giełda Papierów Wartościowych
Inne rynki
Pochodne ( Kredytowy instrument pochodny Giełda kontraktów terminowych Bezpieczeństwo hybrydowe ) Wymiana zagraniczna ( Waluta Kurs wymiany ) Towar Pieniądze Nieruchomość Reasekuracja
Bez recepty (pozagiełdowe)
Naprzód Opcje Rynek spot Swapy
Handlowy
Uczestnicy Rozporządzenie Clearing
Powiązane obszary
Banki i bankowość Finanse zbiorowy osobisty publiczny
v T mi

W finansach The trwania stosunku do finansowej aktywa , które składa się ze środków przepływów pieniężnych , takich jak wiązania , jest średnią ważoną z czasów aż te stałe przepływy pieniężne są odbierane. Gdy cena aktywów jest traktowana jako funkcja rentowności , czas trwania mierzy również wrażliwość cen na zysk, tempo zmiany ceny w stosunku do zysku lub procentową zmianę ceny przy równoległym przesunięciu rentowności.

Podwójne użycie słowa „czas trwania”, zarówno jako średni ważony czas do spłaty, jak i jako procentowa zmiana ceny, często powoduje zamieszanie. Ściśle mówiąc, czas trwania Macaulay to nazwa nadana średniemu ważonemu czasowi do otrzymania przepływów pieniężnych i jest mierzony w latach. Zmodyfikowany czas trwania to nazwa nadana wrażliwości cenowej i jest to procentowa zmiana ceny dla jednostkowej zmiany zysku.

Obie miary są określane jako „czas trwania” i mają taką samą (lub zbliżoną) wartość liczbową, ale ważne jest, aby pamiętać o różnicach pojęciowych między nimi. Duration Macaulay jest miarą czasu z jednostkami w latach i naprawdę ma sens tylko dla instrumentu o stałych przepływach pieniężnych. W przypadku obligacji standardowej czas trwania Macaulay będzie wynosić od 0 do terminu zapadalności obligacji. Jest równa zapadalności wtedy i tylko wtedy, gdy obligacja jest obligacją zerokuponową .

Z drugiej strony, zmodyfikowana duracja jest matematyczną pochodną (stopą zmiany) ceny i mierzy procentową stopę zmiany ceny w stosunku do zysku. (Wrażliwość cenowa w odniesieniu do rentowności może być również mierzona w kategoriach bezwzględnych ( dolar lub euro itp.), a wrażliwość bezwzględna jest często określana jako czas trwania w dolarach (euro) , DV01, BPV lub ryzyko delta (δ lub Δ). ). Koncepcję zmodyfikowanej duracji można zastosować do instrumentów wrażliwych na stopy procentowe z niestałymi przepływami pieniężnymi, a zatem można ją zastosować do szerszego zakresu instrumentów niż duracja Macaulaya. Zmodyfikowany czas trwania jest używany częściej niż czas Macaulay we współczesnych finansach.

W codziennym użytkowaniu równość (lub prawie równość) wartości Macaulay i zmodyfikowanego czasu trwania może być użyteczną pomocą intuicji. Na przykład standardowa dziesięcioletnia obligacja kuponowa będzie miała czas trwania Macaulay'a nieco, ale nie dramatycznie mniej niż 10 lat i z tego możemy wywnioskować, że zmodyfikowany czas trwania (wrażliwość cenowa) będzie również nieco, ale nie dramatycznie, mniejszy niż 10% . Podobnie dwuletnia obligacja kuponowa będzie miała durację Macaulay nieco poniżej 2 lat i zmodyfikowaną durację nieco poniżej 2%.

Czas trwania Macaulay

Czas trwania Macaulaya , nazwany na cześć Fredericka Macaulaya, który wprowadził to pojęcie, jest średnią ważoną zapadalnością przepływów pieniężnych , w której czas otrzymania każdej płatności jest ważony wartością bieżącą tej płatności. Mianownikiem jest suma wag, czyli dokładnie cena obligacji. Rozważ pewien zestaw stałych przepływów pieniężnych. Obecna wartość tych przepływów pieniężnych jest:

${\ Displaystyle V = \ suma _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i}}$

Czas trwania Macaulay jest zdefiniowany jako:

(1)     ${\ Displaystyle MacD = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {n} {t_ {i} PV_ {i}}} {\ suma _ {i = 1} ^ {n} {PV_ {i} }}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{ ja}{\frac {PV_{i}}{V}}}$

gdzie:

• ${\displaystyle i}$ indeksuje przepływy pieniężne,
• ${\displaystyle PV_{i}}$jest obecna wartość o wypłatę gotówki z th aktywów ,${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$to czas w latach do otrzymania płatności,${\displaystyle i}$
• ${\ Displaystyle V}$ to bieżąca wartość wszystkich przyszłych płatności gotówkowych ze składnika aktywów.

W drugim wyrażeniu składnik ułamkowy jest stosunkiem przepływów pieniężnych do całkowitej wartości PV. Te terminy dodają do 1,0 i służą jako wagi dla średniej ważonej. Zatem ogólne wyrażenie jest średnią ważoną czasu do wypłaty przepływów pieniężnych, przy czym wagą jest proporcja bieżącej wartości aktywów z tytułu przepływów pieniężnych . ${\displaystyle PV_{i}}$${\ Displaystyle {\ Frac {PV_ {i}} {V}}}$${\displaystyle i}$

Dla zbioru all-dodatnich stałych przepływów pieniężnych średnia ważona będzie mieścić się między 0 (czas minimalny), a dokładniej (czas do pierwszej płatności) a czasem końcowego przepływu pieniężnego. Czas trwania Macaulay będzie równy ostatecznemu terminowi zapadalności wtedy i tylko wtedy, gdy w terminie zapadalności występuje tylko jedna płatność. W symbolach, jeśli przepływy pieniężne są w kolejności , to: ${\displaystyle t_{1}}$${\ Displaystyle (t_ {1},..., t_ {n})}$

${\displaystyle t_{1}\leq MacD\leq t_{n}}$

przy czym nierówności są surowe, chyba że ma pojedynczy przepływ pieniężny. W przypadku obligacji standardowych (dla których przepływy pieniężne są stałe i dodatnie), oznacza to, że czas trwania Macaulay będzie równy terminowi zapadalności obligacji tylko dla obligacji zerokuponowych.

Czas trwania Macaulaya ma interpretację diagramatyczną pokazaną na rysunku 1.

Odzwierciedla to obligację omówioną w poniższym przykładzie - dwuletni termin zapadalności z kuponem 20% i stale kapitalizowaną rentownością 3,9605%. Kółka reprezentują bieżącą wartość płatności, przy czym płatności kuponowe są tym mniejsze, im dalej są w przyszłości, oraz końcowa duża płatność obejmująca zarówno płatność kuponową, jak i ostateczną spłatę kapitału. Gdyby te koła zostały umieszczone na belce wagi, punkt podparcia (zrównoważony środek) belki odpowiadałby średniej ważonej odległości (czas do zapłaty), która w tym przypadku wynosi 1,78 roku.

W przypadku większości praktycznych obliczeń czas trwania Macaulay jest obliczany na podstawie stopy zwrotu do terminu zapadalności w celu obliczenia : ${\ Displaystyle PV (i)}$

(2)     ${\ Displaystyle V = \ suma _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} CF_ {i} \ cdot e ^ {-y \ cdot t_ {i }}}$

(3)     ${\ Displaystyle MacD = \ suma _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} {\ Frac {CF_ {i} \ cdot e ^ {-y \ cdot t_ {i}}} {V}}}$

gdzie:

• ${\displaystyle i}$ indeksuje przepływy pieniężne,
• ${\displaystyle PV_{i}}$to bieżąca wartość th płatności gotówkowej z aktywów,${\displaystyle i}$
• ${\ Displaystyle CF_ {i}}$jest przepływ gotówki z th płatności z danego składnika aktywów,${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y}$ to rentowność do wykupu (stale kapitalizowana) dla składnika aktywów,
• ${\displaystyle t_{i}}$to czas w latach do otrzymania płatności,${\displaystyle i}$
• ${\ Displaystyle V}$ to bieżąca wartość wszystkich płatności gotówkowych od składnika aktywów do terminu zapadalności.

Macaulay podał dwa alternatywne środki:

• Wyrażenie (1) to czas trwania Fishera-Weila, który wykorzystuje zerokuponowe ceny obligacji jako czynniki dyskontowe, oraz
• Wyrażenie (3), które wykorzystuje rentowność obligacji do wykupu do obliczenia współczynników dyskontowych.

Kluczową różnicą między tymi dwoma duracjami jest to, że duracja Fishera-Weila dopuszcza możliwość nachylonej krzywej dochodowości, podczas gdy druga forma opiera się na stałej wartości plonu , nie zmieniającej się w zależności od terminu płatności. Przy pomocy komputerów można obliczyć obie formy, ale wyrażenie (3), przy założeniu stałej wydajności, jest szerzej stosowane ze względu na zastosowanie do zmodyfikowanego czasu trwania. ${\displaystyle y}$

Czas trwania a średnia ważona żywotność

Podobieństwa w wartościach i definicjach czasu trwania Macaulaya w porównaniu ze średnią ważoną długością życia mogą prowadzić do pomylenia celu i obliczenia tych dwóch. Na przykład 5-letnia obligacja o stałym oprocentowaniu miałaby średni ważony okres życia równy 5 i czas trwania Macaulay, który powinien być bardzo zbliżony. Podobnie zachowują się kredyty hipoteczne. Różnice między nimi są następujące:

1. Czas trwania Macaulay mierzy wyłącznie przepływy pieniężne w ustalonym okresie, czynniki średniej ważonej okresu życia we wszystkich głównych przepływach pieniężnych, niezależnie od tego, czy są one stałe, czy zmienne. Tak więc w przypadku hipotek hybrydowych ARM o ustalonym okresie, dla celów modelowania, cały ustalony okres kończy się w dniu ostatniej stałej spłaty lub w miesiącu poprzedzającym zresetowanie.
2. Czas trwania Macaulaya dyskontuje wszystkie przepływy pieniężne odpowiednim kosztem kapitału. Średnia ważona żywotność nie podlega dyskontowaniu.
3. Czas trwania Macaulaya wykorzystuje zarówno kapitał, jak i odsetki podczas ważenia przepływów pieniężnych. Średnia ważona życia używa tylko kapitału.

Zmodyfikowany czas trwania

W przeciwieństwie do duracji Macaulaya, zmodyfikowana duracja (czasami w skrócie MD) jest miarą wrażliwości cenowej, definiowaną jako procentowa pochodna ceny względem rentowności (logarytmiczna pochodna ceny obligacji względem rentowności). Zmodyfikowany czas trwania ma zastosowanie, gdy obligacja lub inny składnik aktywów jest traktowany jako funkcja rentowności. W tym przypadku można zmierzyć pochodną logarytmiczną ze względu na wydajność:

${\ Displaystyle ModD (y) \ equiv - {\ Frac {1} {V}} \ cdot {\ Frac {\ częściowy V} {\ częściowy r}} = - {\ Frac {\ częściowy \ ln (V)} {\częściowy y}}}$

Gdy zysk jest wyrażony w sposób ciągły, czas trwania Macaulay i zmodyfikowany czas trwania są liczbowo równe. Aby to zobaczyć, jeśli weźmiemy pochodną ceny lub wartości bieżącej, wyrażenie (2), w odniesieniu do kapitalizacji ciągłej , widzimy, że: ${\displaystyle y}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy V} {\ częściowy y}} = - \ suma _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} \ cdot CF_ {i} \ cdot e ^ {-y \ cdot t_{i}}=-MacD\cdot V,}$

Innymi słowy, dla plonów wyrażonych w sposób ciągły,

${\ Displaystyle ModD = MacD}$.

gdzie:

• ${\displaystyle i}$ indeksuje przepływy pieniężne,
• ${\displaystyle t_{i}}$to czas w latach do otrzymania płatności,${\displaystyle i}$
• ${\ Displaystyle V}$ to bieżąca wartość wszystkich płatności gotówkowych z aktywa.

Okresowo składane

Na rynkach finansowych stopy kapitalizacji są zazwyczaj wyrażane okresowo kapitalizowane (powiedzmy roczne lub półroczne), a nie stale kapitalizowane. Wtedy wyrażenie (2) staje się:

${\ Displaystyle V (y_ {k}) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {CF_ {i}} { (1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}}$

${\ Displaystyle MacD = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {t_ {i}} {V (y_ {k})}} \ cdot {\ Frac {CF_ {i}} {(1 +y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}}$

Aby znaleźć zmodyfikowany czas trwania, gdy weźmiemy pochodną wartości w odniesieniu do okresowo składanego zysku, który znajdujemy ${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy V} {\ częściowy y_ {k}}} = - {\ Frac {1} {(1 + Y_ {k} / k)}} \ cdot \ suma _ {i = 1 }^{n}t_{i}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}=-{\frac {MacD \cdot V(y_{k})}{(1+y_{k}/k)}}}$

Przegrupowanie (podzielenie obu stron przez -V) daje:

${\ Displaystyle {\ Frac {MacD} {(1 + Y_ {k} / k)}} = - {\ Frac {1} {V (y_ {k})}} \ cdot {\ Frac {\ częściowy V} {\częściowy y_{k}}}\equiv ModD}$

czyli dobrze znany związek między zmodyfikowanym czasem trwania a czasem trwania Macaulaya:

${\ Displaystyle ModD = {\ Frac {MacD} {(1 + Y_ {k} / k)}}}$

gdzie:

• ${\displaystyle i}$ indeksuje przepływy pieniężne,
• ${\displaystyle k}$ to częstotliwość kapitalizacji w ciągu roku (1 dla rocznej, 2 dla półrocznej, 12 dla miesięcznej, 52 dla tygodniowej itd.),
• ${\ Displaystyle CF_ {i}}$to przepływ środków pieniężnych th płatności z aktywów,${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$to czas w latach do otrzymania płatności (np. dwuletni półroczny byłby reprezentowany przez indeks 0,5, 1,0, 1,5 i 2,0),${\displaystyle i}$${\displaystyle t_{i}}$
• ${\displaystyle y_{k}}$ to rentowność do wykupu składnika aktywów, okresowo kapitalizowana
• ${\ Displaystyle V}$ to bieżąca wartość wszystkich płatności gotówkowych z aktywa.

Daje to dobrze znaną zależność między czasem trwania Macaulaya a czasem zmodyfikowanym, cytowanym powyżej. Należy pamiętać, że chociaż czas trwania Macaulaya i zmodyfikowany czas trwania są ze sobą ściśle powiązane, to są one koncepcyjnie różne. Duration Macaulay to średni ważony czas do spłaty (mierzony w jednostkach czasu, takich jak lata), podczas gdy zmodyfikowany czas trwania jest miarą wrażliwości cenowej, gdy cena jest traktowana jako funkcja rentowności, czyli procentowa zmiana ceny w stosunku do wydajności.

Jednostki

Czas trwania Macaulay jest mierzony w latach.

Zmodyfikowany czas trwania jest mierzony jako procentowa zmiana ceny na jednostkę ( punkt procentowy ) zmiany plonu w ciągu roku (na przykład plonu przechodzącego z 8% rocznie (r = 0,08) do 9% rocznie (r = 0,09)). Dzięki temu zmodyfikowany czas trwania będzie miał wartość liczbową zbliżoną do czasu trwania Macaulaya (i równą, gdy stawki są naliczane w sposób ciągły).

Formalnie, czas modyfikacji jest semi- elastyczność The procent zmiana ceny dla jednostkowej zmiany wydajności, niż w sprężystości , który jest procentową zmianę wyjściowej dla procentowego zmian wejściowego. Zmodyfikowany czas trwania to stopa zmiany, procentowa zmiana ceny na zmianę wydajności.

Niestałe przepływy pieniężne

Zmodyfikowana duracja może zostać przedłużona do instrumentów o niestałych przepływach pieniężnych, podczas gdy duracja Macaulay dotyczy tylko instrumentów o stałych przepływach pieniężnych. Zmodyfikowany czas trwania jest definiowany jako logarytmiczna pochodna ceny w odniesieniu do zysku i taka definicja będzie miała zastosowanie do instrumentów, które zależą od rentowności, niezależnie od tego, czy przepływy pieniężne są stałe, czy nie.

Skończone zmiany wydajności

Zmodyfikowany czas trwania jest zdefiniowany powyżej jako pochodna (ponieważ termin odnosi się do rachunku różniczkowego), a więc opiera się na nieskończenie małych zmianach. Zmodyfikowany czas trwania jest również przydatny jako miara wrażliwości ceny rynkowej obligacji na skończone zmiany stóp procentowych (tj. rentowności). Dla niewielkiej zmiany plonów, , ${\ Displaystyle \ Delta y}$

${\ Displaystyle ModD \ około - {\ Frac {1} {V}} {\ Frac {\ Delta V}} \ Rightarrow \ Delta V \ około -V \ cdot ModD \ cdot \ Delta Y}$

Tak zmodyfikowany czas trwania jest w przybliżeniu równy procentowej zmianie ceny dla danej skończonej zmiany wydajności. Tak więc 15-letnia obligacja o czasie trwania Macaulay wynoszącym 7 lat miałaby zmieniony okres trwania około 7 lat i spadłaby o około 7%, gdyby stopa procentowa wzrosła o jeden punkt procentowy (powiedzmy z 7% do 8%).

Czas trwania Fishera-Weila

Duracja Fishera–Weila jest udoskonaleniem duracji Macaulaya uwzględniającą strukturę terminową stóp procentowych. Czas trwania Fisher-Weil oblicza bieżące wartości odpowiednich przepływów pieniężnych (ściślej) przy użyciu zysku z kuponu zerowego dla każdego odpowiedniego terminu zapadalności.

Czas trwania stawki klucza

Kluczowe czasy trwania (nazywane również częściowymi DV01 lub częściowymi czasami trwania) są naturalnym rozszerzeniem całkowitego zmodyfikowanego czasu trwania do pomiaru wrażliwości na przesunięcia różnych części krzywej dochodowości. Kluczowe czasy trwania stawki można zdefiniować, na przykład, w odniesieniu do stawek zerokuponowych o terminie zapadalności „1M”, „3M”, „6M”, „1Y”, „2Y”, „3Y”, „5Y”, „7Y” , '10Y', '15Y', '20Y', '25Y', '30Y'. Thomas Ho (1992) wprowadził pojęcie kluczowego czasu trwania stawki. Firma Reitano omówiła modele wieloczynnikowych krzywych dochodowości już w 1991 r. i powróciła do tego tematu w niedawnym przeglądzie.

Kluczowe czasy trwania stóp wymagają, abyśmy wycenili instrument poza krzywą dochodowości i wymagają zbudowania krzywej dochodowości. Oryginalna metodologia Ho opierała się na wycenie instrumentów z zerowej lub kasowej krzywej dochodowości i wykorzystywała liniową interpolację między „kluczowymi stopami”, ale pomysł można zastosować do krzywych dochodowości opartych na stopach terminowych, stopach nominalnych i tak dalej. Wiele problemów technicznych pojawia się w przypadku kluczowych duracji stóp (częściowe DV01), które nie pojawiają się w przypadku standardowej całkowitej zmodyfikowanej duracji ze względu na zależność kluczowych duracji stóp od konkretnego rodzaju krzywej dochodowości użytej do wyceny instrumentów (zob. Coleman, 2011). .

Formuły

W przypadku standardowej obligacji o stałych, półrocznych płatnościach formuła zamknięta na czas trwania obligacji wynosi:

${\ Displaystyle {\ tekst {czas trwania}} = {\ Frac {1} {P}} \ lewo (C {\ Frac {(1 + ai) (1 + i) ^ {m} - (1 + i) - (m-1+a)i}{i^{2}(1+i)^{(m-1+a)}}}+{\frac {FV(m-1+a)}{(1+ i)^{(m-1+a)}}}\prawo)}$

• FV = wartość nominalna
• C = wypłata kuponu za okres (pół roku)
• i = stopa dyskontowa na okres (półroczna)
• a = ułamek okresu pozostały do ​​następnej wypłaty kuponu
• m = liczba pełnych okresów kuponowych do terminu zapadalności
• P = cena obligacji (wartość bieżąca przepływów pieniężnych zdyskontowana stopą i )

W przypadku obligacji z częstotliwością kuponu, ale całkowitą liczbą okresów (aby nie było ułamkowego okresu płatności), formuła upraszcza się do: ${\displaystyle k}$

${\ Displaystyle MacD = \ lewo [{\ Frac {(1 + r / k)} {y / k}} - {\ Frac {100 (1 + r / k) + m (c / k-100 r / k) }{(c/k)[(1+r/k)^{m}-1]+100r/k}}\right]/k}$

gdzie

• y = Wydajność (roczna, w procentach),
• c = Kupon (na rok, w postaci dziesiętnej),
• m = liczba okresów kuponowych.

Przykład

Weźmy pod uwagę 2-letnią obligację o wartości nominalnej 100 USD, kupon 20% półroczny i rentowność 4% składaną półrocznie. Całkowite PV wyniesie:

${\ Displaystyle V = \ suma _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {CF_ {i}} {(1 + Y / k )^{k\cdot t_{i}}}}=\sum _{i=1}^{4}{\frac {10}{(1+0,04/2)^{i}}}+{\ frac {100}{(1+0,04/2)^{4}}}}$

${\ Displaystyle = 9,804 + 9,612 + 9,423 + 9,238 + 92,385 = 130,462}$

Czas trwania Macaulay wynosi zatem

${\ Displaystyle {\ tekst {MacD}} = 0,5 \ cdot {\ Frac {9.804}{130.462}} + 1,0 \ cdot {\ Frac {9.612}{130.462}} + 1,5 \ cdot {\ Frac {9.423}{130.462 }}+2,0\cdot {\frac {9.238}{130.462}}+2,0\cdot {\frac {92.385}{130.462}}=1,777\,{\text{lata}}}$.

Powyższy prosty wzór daje (y/k =.04/2=.02, c/k = 20/2 = 10):

${\ Displaystyle {\ tekst {MacD}} = \ lewo [{\ Frac {(1,02)} {0,02}} - {\ Frac {100 (1,02) + 4 (10-2)} {10 [(1,02) ^ {4}-1]+2}}\right]/2=1,777\,{\text{lata}}}$

Zmodyfikowany czas trwania, mierzony jako zmiana procentowa ceny na zmianę zysku o jeden punkt procentowy, wynosi:

${\ Displaystyle {\ tekst {ModD}} = {\ Frac {\ tekst {MacD}} {(1 + Y / k)}} = {\ Frac {1,777}{ (1 + 0,04/2)}} = 1.742}$ (% zmiana ceny na 1 punkt procentowy zmiany plonu)

DV01, mierzony jako zmiana ceny w dolarach za 100 USD nominalnej obligacji przy zmianie zysku o jeden punkt procentowy, wynosi

${\ Displaystyle {\ tekst {DV01}} = {\ Frac {{\ tekst {ModD}} \ cdot 130.462 {100}} = 2,27}$ ($ za zmianę zysku o 1 punkt procentowy)

gdzie dzielenie przez 100 oznacza, że ​​zmodyfikowany czas trwania jest zmianą procentową.

Przykład krok po kroku

Rozważ obligację o wartości nominalnej 1000 USD, 5% stopie kuponu i 6,5% rocznej rentowności, z terminem zapadalności w ciągu 5 lat. Kroki do obliczenia czasu trwania są następujące:

1. Oszacuj wartość obligacji Kupony wyniosą 50 USD w latach 1, 2, 3 i 4. Następnie, w roku 5, obligacja opłaci kupon i kapitał, w sumie 1050 USD. Po dyskontowaniu do wartości bieżącej na poziomie 6,5%, wartość obligacji wynosi 937,66 USD. Szczegóły są następujące:

Rok 1: 50 USD / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95

Rok 2: 50 USD / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08

Rok 3: 50 USD / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39

Rok 4: 50 USD / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87

Rok 5: 1050 USD / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37

2. Pomnóż czas otrzymania każdego przepływu pieniężnego przez jego aktualną wartość

Rok 1: 1 * 46,95 USD = 46,95

Rok 2: 2 * 44,08 USD = 88,17

Rok 3: 3 * 41,39 USD = 124,18

Rok 4: 4 * 38,87 USD = 155,46

Rok 5: 5 * 766,37 = 3831,87

RAZEM: 4246,63

3. Porównaj sumę z kroku 2 z wartością obligacji (krok 1)

Czas trwania Macaulay: 4246,63 / 937,66 = 4,53

Czas trwania pieniędzy

ten czas trwania pieniędzy , lubwartość punktu bazowego lub BloombergRyzyko , zwane równieżczas trwania w dolarach lubDV01 w Stanach Zjednoczonych definiuje się jako ujemną pochodną wartości w odniesieniu do wydajności:

${\ Displaystyle D_ {\ $} = DV01 = - {\ Frac {\ częściowy V} {\ częściowy Y}}.}$

aby był to iloczyn zmodyfikowanego czasu trwania i ceny (wartości):

${\ Displaystyle D_ {\ $} = DV01 = BPV = V \ cdot ModD/100}$ ($ za zmianę zysku o 1 punkt procentowy)

lub

${\ Displaystyle D_ {\ $} = DV01 = V \ cdot ModD/10000}$ ($ za zmianę zysku o 1 punkt bazowy)

DV01 jest analogiczna do delty w wycenie instrumentów pochodnych (jeden z „Greków” ) – jest to stosunek zmiany ceny na wyjściu (w dolarach) do jednostkowej zmiany na wejściu (punkt bazowy zysku). Czas trwania w dolarach lub DV01 to zmiana ceny w dolarach, a nie w procentach. Daje zmienność dolara w wartości obligacji na jednostkę zmiany rentowności. Często jest mierzona w przeliczeniu na 1 punkt bazowy – DV01 jest skrótem od „wartości dolara 01” (lub 1 punktu bazowego). Używana jest również nazwa BPV ( wartość punktu bazowego ) lub Bloomberg „Ryzyko”, często stosowana w odniesieniu do zmiany dolara dla wartości nominalnej 100 USD za zmianę rentowności o 100 pb – dając takie same jednostki jak czas trwania. Czasami stosuje się PV01 (obecna wartość 01), chociaż PV01 dokładniej odnosi się do wartości jednego dolara lub jednego punktu bazowego. (Dla obligacji nominalnej i płaskiej krzywej dochodowości DV01, pochodna ceny od zysku i PV01, wartość jednodolarowej annuity, będą miały w rzeczywistości tę samą wartość). wartość przednia, taka jak swapy stóp procentowych, w których zmiany procentowe i zmodyfikowany czas trwania są mniej przydatne.

Zastosowanie do wartości zagrożonej (VaR)

Czas trwania w dolarach jest powszechnie używany do obliczania wartości zagrożonej (VaR). Aby zilustrować zastosowania do zarządzania ryzykiem portfela, rozważ portfel papierów wartościowych zależny od stóp procentowych jako czynniki ryzyka i pozwól ${\displaystyle D_{\$}}$${\displaystyle r_{1},\ldots,r_{n}}$

${\ Displaystyle V = V (r_ {1}, \ ldots, r_ {n}) \,}$

oznaczają wartość takiego portfela. Wtedy wektor ekspozycji ma składowe ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}=(\omega_{1},\ldots,\omega_{n})}$

${\ Displaystyle \ omega _ {i} =-D_ {\ $, i}: = {\ Frac {\ częściowy V} {\ częściowy r_ {i}}}.}$

W związku z tym zmianę wartości portfela można aproksymować jako

${\ Displaystyle \ Delta V = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ omega _ {i} \ \ delta r_ {i} + \ suma _ {1 \ równoważnik ja, j \ równoważnik n} O ( \Delta r_{i}\,\Delta r_{j}),}$

to znaczy składnik, który jest liniowy w zmianach stóp procentowych plus składnik błędu, który jest co najmniej kwadratowy. Ta formuła może być użyta do obliczenia VaR portfela, ignorując warunki wyższego rzędu. Zazwyczaj terminy sześcienne lub wyższe są obcinane. Terminy kwadratowe, jeśli są włączone, mogą być wyrażone w postaci (wielozmiennej) wypukłości wiązania. Można przyjąć założenia dotyczące łącznego rozkładu stóp procentowych, a następnie obliczyć VaR metodą symulacji Monte Carlo lub, w niektórych szczególnych przypadkach (np. rozkład Gaussa, przy założeniu przybliżenia liniowego), nawet analitycznie. Wzór można również wykorzystać do obliczenia DV01 portfela (por. poniżej) i można go uogólnić na czynniki ryzyka poza stopami procentowymi.

Ryzyko – czas trwania jako wrażliwość na stopy procentowe

Podstawowym zastosowaniem czasu trwania (zmodyfikowanego czasu trwania) jest pomiar wrażliwości lub ekspozycji na stopy procentowe. Myślenie o ryzyku w kategoriach stóp procentowych lub rentowności jest bardzo przydatne, ponieważ pomaga w normalizacji różnych instrumentów. Rozważmy na przykład następujące cztery instrumenty, każdy z 10-letnim ostatecznym terminem zapadalności:

Opis	Kupon ($ rocznie)	Cena początkowa (za nominalne 100 USD)	Ostateczna ponowna spłata kwoty głównej	Dawać	Macaulay Czas trwania (lata)	Zmodyfikowany czas trwania (% na 100 pz yld ch)	BPV lub DV01 ($ za 100 bp yld ch)
5% półroczna obligacja kuponowa	5 zł	100 zł	100 zł	5%	7,99 lat	7,79%	7,79 USD
5% renta półroczna	5 zł	38,9729 USD	0 zł	5%	4,84 lat	4,72%	1,84 USD
obligacja zerokuponowa	0 zł	61,0271$	100 zł	5%	10 lat	9,76%	5,95 USD
5% swap stały-zmienny, Odbierz stały	5 zł	0 zł	0 zł	5%	Nie dotyczy	Nie dotyczy	7,79 USD

Wszystkie cztery mają 10-letni termin zapadalności, ale wrażliwość na stopy procentowe, a co za tym idzie ryzyko, będzie inna: największą wrażliwość ma zerokupon, a najniższą renta roczna.

Rozważ najpierw inwestycję 100 USD w każdą, co ma sens w przypadku trzech obligacji (kuponowej, annuitetowej, zerokuponowej - nie ma to sensu w przypadku swapu stóp procentowych, dla którego nie ma początkowej inwestycji). Zmodyfikowany czas trwania jest przydatną miarą do porównania wrażliwości na stopy procentowe we wszystkich trzech. Obligacja zerokuponowa będzie miała największą wrażliwość, zmieniając się w tempie 9,76% na zmianę rentowności o 100 pb. Oznacza to, że jeśli rentowność wzrośnie z 5% do 5,01% (wzrost o 1 pb), cena powinna spaść o około 0,0976% lub zmiana ceny z 61,0271 USD za nominalne 100 USD do około 60,968 USD. Pierwotne zainwestowane 100 USD spadnie do około 99,90 USD. Renta ma najniższą czułość, mniej więcej połowę niż obligacja zerokuponowa, ze zmodyfikowanym czasem trwania 4,72%.

Ewentualnie moglibyśmy rozważyć hipotetyczne 100 USD na każdy z instrumentów. W tym przypadku bardziej naturalną miarą jest BPV lub DV01 (wartość dolara o długości 01 lub dolara). BPV w tabeli to zmiana ceny w dolarach za 100 USD nominalnej zmiany rentowności o 100 pb. BPV będzie miał sens dla swapu stóp procentowych (dla którego nie zdefiniowano zmodyfikowanego duracji) oraz trzech obligacji.

Zmodyfikowany czas trwania mierzy wielkość wrażliwości stóp procentowych. Czasami możemy zostać zmyleni, myśląc, że mierzy, na którą część krzywej dochodowości instrument jest wrażliwy. W końcu zmodyfikowana duracja (% zmiana ceny) jest prawie taka sama jak duracja Macaulay (rodzaj średniej ważonej lat do terminu zapadalności). Na przykład powyższa renta ma okres Macaulay wynoszący 4,8 lat i możemy pomyśleć, że jest wrażliwa na 5-letnią rentowność. Ale ma przepływy pieniężne do 10 lat, a zatem będzie wrażliwy na 10-letnie zyski. Jeśli chcemy zmierzyć wrażliwość na części krzywej dochodowości, musimy wziąć pod uwagę kluczowe czasy trwania stóp .

W przypadku obligacji o stałych przepływach pieniężnych zmiana ceny może pochodzić z dwóch źródeł:

1. Upływ czasu (zbieżność w kierunku par). Jest to oczywiście całkowicie przewidywalne, a zatem nie stanowi ryzyka.
2. Zmiana wydajności. Może to być spowodowane zmianą rentowności benchmarku i/lub zmianą spreadu dochodowego.

Relacja rentowność-cena jest odwrotna, a zmodyfikowany czas trwania stanowi bardzo użyteczną miarę wrażliwości ceny na rentowność. Jako pierwsza pochodna daje przybliżenie liniowe. W przypadku dużych zmian wydajności można dodać wypukłość, aby uzyskać przybliżenie kwadratowe lub drugiego rzędu. Alternatywnie, i często bardziej użytecznie, wypukłość może być wykorzystana do pomiaru, jak zmienia się zmodyfikowany czas trwania wraz ze zmianą wydajności. Podobne miary ryzyka (pierwszego i drugiego rzędu) stosowane na rynkach opcji to delta i gamma .

Zmodyfikowany czas trwania i DV01 jako miary wrażliwości na stopy procentowe są również przydatne, ponieważ można je stosować do instrumentów i papierów wartościowych o zmiennych lub warunkowych przepływach pieniężnych, takich jak opcje.

Wbudowane opcje i efektywny czas trwania

W przypadku obligacji, które mają wbudowane opcje , takie jak obligacje z opcją sprzedaży i opcją kupna, zmodyfikowany czas trwania nie będzie prawidłowo przybliżał zmiany ceny w przypadku zmiany rentowności do terminu zapadalności .

Rozważ obligację z wbudowaną opcją sprzedaży. Na przykład obligacja o wartości 1000 USD, którą posiadacz może wykupić po wartości nominalnej w dowolnym momencie przed terminem zapadalności obligacji (tj. amerykańska opcja sprzedaży). Bez względu na to, jak wysokie staną się stopy procentowe, cena obligacji nigdy nie spadnie poniżej 1000 USD (z pominięciem ryzyka kontrahenta ). Wrażliwość cenowa tej obligacji na zmiany stóp procentowych jest inna niż w przypadku obligacji bez opcji sprzedaży o identycznych przepływach pieniężnych.

Aby wycenić takie obligacje, należy użyć wyceny opcji, aby określić wartość obligacji, a następnie obliczyć jej deltę (a co za tym idzie lambdę), czyli czas trwania. Efektywny czas jest dyskretny przybliżenie się do tego ostatniego, i będzie wymagać modelu wyceny opcji.

${\ Displaystyle {\ tekst {Efektywny czas trwania}} = {\ Frac {V_ {-\ Delta Y} - V_ {+ \ Delta Y}} {2 (V_ {0}) \ Delta Y}}}$

gdzie Δ  y jest kwotą, o którą zmienia się rentowność, i są wartościami, jakie przyjmie obligacja, jeśli rentowność spadnie odpowiednio o y lub wzrośnie o y . ( "Przesunięcie równoległe" ; zauważ, że ta wartość może się różnić w zależności od wartości użytej dla Δ  y .) ${\ Displaystyle V_ {- \ Delta r} {\ tekst {i}} V_ {+ \ Delta r}}$

Wartości te są zazwyczaj obliczane przy użyciu modelu opartego na drzewie, zbudowanego dla całej krzywej dochodowości (w przeciwieństwie do pojedynczego zysku do terminu zapadalności), a zatem wychwytując zachowanie w każdym momencie życia opcji jako funkcję zarówno czasu, jak i stóp procentowych ; patrz Model kratowy (finanse) § Instrumenty pochodne na stopę procentową .

Czas trwania rozprzestrzeniania

Speed ​​duration to wrażliwość ceny rynkowej obligacji na zmianę spreadu skorygowanego o opcje (OAS). W ten sposób indeks lub bazowa krzywa dochodowości pozostaje bez zmian. Aktywa o zmiennym oprocentowaniu, które są porównywane z indeksem (takim jak 1-miesięczny lub 3-miesięczny LIBOR) i okresowo aktualizowane, będą miały efektywny czas trwania bliski zeru, ale czas trwania spreadu porównywalny z identycznymi obligacjami o stałym oprocentowaniu.

Średni czas trwania

Ważna może być również wrażliwość portfela obligacji, takiego jak fundusz obligacji , na zmiany stóp procentowych. Często podawany jest średni czas trwania obligacji w portfelu. Czas trwania portfela jest równy średniej ważonej zapadalności wszystkich przepływów pieniężnych w portfelu. Jeżeli każda obligacja ma taką samą rentowność do wykupu, jest to równa średniej ważonej czasów trwania obligacji portfela, z wagami proporcjonalnymi do cen obligacji. W przeciwnym razie średnia ważona czasów trwania obligacji jest tylko dobrym przybliżeniem, ale nadal można ją wykorzystać do wywnioskowania, jak zmieniałaby się wartość portfela w odpowiedzi na zmiany stóp procentowych.

Wypukłość

Czas trwania jest liniową miarą tego, jak cena obligacji zmienia się w odpowiedzi na zmiany stóp procentowych. Wraz ze zmianą stóp procentowych cena nie zmienia się liniowo, lecz jest raczej wypukłą funkcją stóp procentowych. Wypukłość jest miarą krzywizny zmiany ceny obligacji wraz ze zmianą stopy procentowej. W szczególności durację można sformułować jako pierwszą pochodną funkcji ceny obligacji w odniesieniu do danej stopy procentowej, a wypukłość jako drugą pochodną.

Wypukłość daje również wyobrażenie o rozkładzie przyszłych przepływów pieniężnych. (Tak jak czas trwania daje zdyskontowany średni okres, wypukłość może być wykorzystana do obliczenia zdyskontowanego odchylenia standardowego, powiedzmy, zwrotu).

Zauważ, że wypukłość może być dodatnia lub ujemna. Obligacja o dodatniej wypukłości nie będzie miała żadnych cech kupna – tj. emitent musi wykupić obligację w terminie zapadalności – co oznacza, że ​​wraz ze spadkiem stóp wzrośnie zarówno czas trwania, jak i cena.

Z drugiej strony uważa się , że obligacja z cechami kupna – tj. gdy emitent może wcześniej wykupić obligację – ma ujemną wypukłość, gdy stopy zbliżają się do realizacji opcji, co oznacza, że ​​jej czas trwania będzie spadał wraz ze spadkiem stóp, a tym samym jej cena wzrośnie wolniej. Dzieje się tak, ponieważ emitent może wykupić starą obligację z wysokim kuponem i ponownie wyemitować nową obligację po niższym oprocentowaniu, zapewniając w ten sposób emitentowi cenną opcjonalność. Podobnie jak powyżej, w takich przypadkach bardziej poprawne może być obliczenie efektywnej wypukłości .

Papiery wartościowe zabezpieczone hipoteką (przekazywane przedpłaty kapitału hipotecznego) z 15- lub 30-letnimi hipotekami o stałym oprocentowaniu w stylu amerykańskim jako zabezpieczenie to przykłady obligacji płatnych na żądanie.

Współczynnik Shermana

„Wskaźnik Shermana” to rentowność oferowana na jednostkę czasu trwania obligacji, nazwana na cześć dyrektora inwestycyjnego DoubleLine Capital , Jeffreya Shermana. Został on nazwany „Najstraszniejszym wskaźnikiem rynku obligacji” i osiągnął najniższy w historii poziom 0,1968 dla amerykańskiego indeksu obligacji korporacyjnych. Wskaźnik to po prostu oferowana rentowność (w procentach) podzielona przez czas trwania obligacji (w latach).

Zobacz też

• Wycena obligacji
• Konwencja liczenia dni
• Szczepienia (finanse)
• Lista tematów finansowych
• Czas trwania zapasów

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

• Fabozzi, Frank J. (1999), "Podstawy czasu trwania i wypukłości", czas trwania, wypukłość i inne miary ryzyka obligacji , Frank J. Fabozzi Series, 58 , John Wiley and Sons, ISBN 9781883249632
• Mayle, Jan (1994), Standardowe metody obliczania papierów wartościowych: Formuły papierów wartościowych o stałym dochodzie dla środków analitycznych , 2 (1st ed.), Securities Industry and Financial Markets Association , ISBN 1-882936-01-9. Standardowe odniesienie do konwencji mających zastosowanie do amerykańskich papierów wartościowych.

• Rojas Arzú, Jorge; Roca, Florencia (grudzień 2018), Risk Management and Derivatives Explained , Amazon Kindle Direct Publishing , s. 43-44, ISBN 9781791814342

Zewnętrzne linki

• Encyklopedia ryzyka dla dobrego wyjaśnienia wielu definicji czasu trwania i ich pochodzenia.
• Samouczek wideo krok po kroku
• Objaśnienie czasu trwania Investopedii