Wypukłość wiązania - Bond convexity

W finansach , wypukłość obligacji jest miarą nieliniowej relacji cen obligacji na zmiany stóp procentowych , drugą pochodną ceny obligacji w odniesieniu do stóp procentowych ( czas trwania jest pierwszą pochodną). Ogólnie rzecz biorąc, im dłuższy czas trwania, tym bardziej wrażliwa jest cena obligacji na zmiany stóp procentowych. Wypukłość obligacji jest jedną z najbardziej podstawowych i powszechnie stosowanych form wypukłości w finansach . Wypukłość została oparta na pracy Hon-Fei Lai i spopularyzowana przez Stanleya Dillera.

Obliczanie wypukłości

Czas trwania jest miarą liniową lub pierwszą pochodną tego, jak zmienia się cena obligacji w odpowiedzi na zmiany stóp procentowych. Wraz ze zmianą stóp procentowych cena prawdopodobnie nie zmieni się liniowo, ale zamiast tego zmieni się w zależności od zakrzywionej funkcji stóp procentowych. Im bardziej zakrzywiona jest funkcja ceny obligacji, tym bardziej niedokładny czas trwania jako miara wrażliwości stopy procentowej.

Wypukłość jest miarą krzywizny lub drugiej pochodnej tego, jak cena obligacji zmienia się wraz ze stopą procentową, tj. jak zmienia się czas trwania obligacji wraz ze zmianą stopy procentowej. W szczególności zakłada się, że stopa procentowa jest stała przez cały okres życia obligacji i że zmiany stóp procentowych następują równomiernie. Stosując te założenia, durację można sformułować jako pierwszą pochodną funkcji ceny obligacji względem danej stopy procentowej. Wtedy wypukłość byłaby drugą pochodną funkcji ceny względem stopy procentowej.

Na rzeczywistych rynkach założenie o stałych stopach procentowych, a nawet zmianach nie jest poprawne, a do faktycznej wyceny obligacji potrzebne są bardziej złożone modele. Te upraszczające założenia pozwalają jednak szybko i łatwo obliczyć czynniki opisujące wrażliwość cen obligacji na zmiany stóp procentowych.

Wypukłość nie zakłada liniowej zależności między wartością Obligacji a stopami procentowymi. W przypadku dużych wahań stóp procentowych jest lepszym miernikiem niż czas trwania.

Dlaczego wypukłości wiązania mogą się różnić?

Wrażliwość cenowa na równoległe zmiany struktury terminowej stóp procentowych jest największa w przypadku obligacji zerokuponowych, a najniższa w przypadku obligacji amortyzacyjnych (gdzie płatności są obciążone z góry). Chociaż obligacja amortyzacyjna i obligacja zerokuponowa mają różne wrażliwości przy tej samej zapadalności, jeśli ich ostateczne terminy zapadalności różnią się tak, że mają identyczne czasy trwania obligacji, to będą miały identyczną wrażliwość. Oznacza to, że na ich ceny w równym stopniu wpłyną niewielkie przesunięcia krzywej dochodowości pierwszego rzędu (i równoległe) . Zaczną jednak zmieniać się o różne kwoty z każdym kolejnym stopniowym równoległym przesunięciem stawki ze względu na różne terminy i kwoty płatności.

W przypadku dwóch obligacji o tej samej wartości nominalnej, kuponie i terminie zapadalności wypukłość może się różnić w zależności od tego, w którym punkcie krzywej dochodowości się one znajdują.

Załóżmy, że obydwa mają obecnie tę samą kombinację zysku (py); trzeba też wziąć pod uwagę profil, rating itp. emitentów: załóżmy, że są one emitowane przez różne podmioty. Chociaż obie obligacje mają tę samą kombinację py, obligacja A może znajdować się na bardziej elastycznym odcinku krzywej py w porównaniu z obligacją B. Oznacza to, że jeśli rentowność dalej wzrośnie, cena obligacji A może drastycznie spaść, podczas gdy cena obligacji B zwycięży nie zmieniać; tzn. posiadacze obligacji B spodziewają się w każdej chwili wzrostu ceny i dlatego niechętnie ją sprzedają, podczas gdy posiadacze obligacji A spodziewają się dalszego spadku ceny i są gotowi ją zbyć.

Oznacza to, że obligacja B ma lepszą ocenę niż obligacja A.

Tak więc im wyższy rating lub wiarygodność emitenta, tym mniejsza wypukłość i niższy zysk z gry lub strategii ryzyko-zwrot. Mniejsza wypukłość oznacza mniejszą zmienność cen lub ryzyko; mniejsze ryzyko oznacza mniejszy zwrot.

Definicja matematyczna

Jeżeli płaska zmienna stopa procentowa wynosi r , a cena obligacji to B , to wypukłość C definiuje się jako

${\ Displaystyle C = {\ Frac {1} {B}} {\ Frac {d ^ {2} \ lewo (B (R) \ po prawej)} {dr ^ {2}}}.}$

Innym sposobem wyrażenia C jest określenie zmodyfikowanego czasu trwania D :

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dr}} B (r) = -DB.}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle CB = {\ Frac {d (-DB)} {dr}} = (-D) (-DB) + \ lewo (- {\ Frac {dD} {dr}} \ po prawej) (B), }$

odjazd

${\ Displaystyle C = D ^ {2} - {\ Frac {dD} {dr}}.}$

Gdzie D jest zmodyfikowanym czasem trwania

Jak zmienia się czas trwania obligacji wraz ze zmianą stopy procentowej

Wróć do standardowej definicji zmodyfikowanego czasu trwania:

${\ Displaystyle D = {\ Frac {1} {1 + R}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {P (i) t (i)} {B}}}$

gdzie P ( i ) jest bieżącą wartością kuponu i , a t ( i ) jest przyszłą datą płatności.

Wraz ze wzrostem stopy procentowej bieżąca wartość płatności o dłuższym terminie maleje w stosunku do wcześniejszych kuponów (o czynnik dyskontowy między wcześniejszymi i opóźnionymi płatnościami). Jednak cena obligacji również spada wraz ze wzrostem oprocentowania, ale zmiany wartości bieżącej sumy każdego kuponu razy czas (licznik w sumowaniu) są większe niż zmiany ceny obligacji (mianownik w sumowaniu). Dlatego wzrost r musi skrócić czas trwania (lub, w przypadku obligacji zerokuponowych, pozostawić niezmodyfikowaną stałą durację). Zwróć uwagę, że zmodyfikowany czas trwania D różni się od zwykłego czasu trwania o czynnik jeden ponad 1+r (pokazany powyżej), który również maleje wraz ze wzrostem r.

${\ Displaystyle {\ Frac {dD} {dr}} \ równoważnik 0.}$

Biorąc pod uwagę powyższy związek między wypukłością a czasem trwania, konwencjonalne wypukłości wiązań muszą zawsze być dodatnie.

Pozytywność wypukłości można również wykazać analitycznie dla papierów wartościowych o podstawowym oprocentowaniu. Na przykład przy założeniu płaskiej krzywej dochodowości można zapisać wartość obligacji opatrzonej kuponem jako , gdzie c _i oznacza kupon zapłacony w czasie t _i . Wtedy łatwo to zauważyć ${\ Displaystyle \ scriptstyle B (r) \ = \ \ suma _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} e ^ {-rt_ {i}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} B} {dr ^ {2}}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} e ^ {-rt_ {i}} t_ { i}^{2}\geq 0.}$

Zauważ, że to odwrotnie implikuje ujemność pochodnej czasu trwania przez różniczkowanie . ${\ Displaystyle \ scriptstyle dB/dr\ =\ -DB}$

Zastosowanie wypukłości

1. Convexity to wskaźnik zarządzania ryzykiem, używany podobnie do sposobu, w jaki „gamma” jest używane w zarządzaniu ryzykiem instrumentów pochodnych ; jest to liczba służąca do zarządzania ryzykiem rynkowym, na które narażony jest portfel obligacji. Jeśli łączna wypukłość i czas trwania księgi handlowej są wysokie, to samo ryzyko. Jeśli jednak łączna wypukłość i czas trwania są niskie, księga jest zabezpieczona i niewiele pieniędzy zostanie utraconych, nawet jeśli wystąpią dość znaczne zmiany stóp procentowych. (Równolegle na krzywej dochodowości.)
2. Przybliżenie drugiego rzędu ruchów cen obligacji spowodowanych zmianami stóp wykorzystuje wypukłość:

${\ Displaystyle \ Delta B = B \ lewo [{\ Frac {C} {2}} (\ Delta r) ^ {2} -D \ Delta r \ prawej].}$

Efektywna wypukłość

Dla obligacji z wbudowaną opcją , a rentowność do wykupu obliczenia w oparciu o wypukłości (i czas ) nie zastanowić się, jak zmiany w krzywej zmieni przepływów pieniężnych z powodu wykonania opcji . Aby rozwiązać ten problem, efektywną wypukłość należy obliczyć liczbowo. Skuteczne wypukłość jest dyskretna aproksymacja z drugiej pochodnej o wartości Bond jako funkcję szybkości procentową:

${\ Displaystyle {\ tekst {Efektywna wypukłość}} = {\ Frac {V_ {-\ Delta Y}-2V + V_ {+ \ Delta Y}} {(V_ {0}) \ Delta Y ^ {2}}} }$

gdzie jest wartością obligacji obliczoną przy użyciu modelu wyceny opcji , Δ  y jest kwotą, przy której zmienia się rentowność i są wartościami, jakie przyjmie obligacja, jeśli rentowność spadnie odpowiednio o y lub wzrośnie o y ( przesunięcie równoległe ). ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V_ {- \ Delta r} {\ tekst {i}} V_ {+ \ Delta r}}$

Wartości te są zwykle znajdowane przy użyciu modelu opartego na drzewie, zbudowanego dla całej krzywej dochodowości , a zatem wychwytującego zachowanie wykonania w każdym momencie życia opcji jako funkcję zarówno czasu, jak i stóp procentowych; patrz Model kratowy (finanse) § Instrumenty pochodne na stopę procentową .

Zobacz też

• Równanie Blacka-Scholesa
• Czas trwania obligacji
• Wycena obligacji
• Szczepienia (finanse)
• Lista tematów wypukłych
• Lista tematów finansowych

Bibliografia

Dalsza lektura

• Frank Fabozzi , The Handbook of Fixed Income Securities, 7th ed. , Nowy Jork: McGraw Hill, 2005.
• Fabozzi, Frank J. (1999). „Podstawy trwania i wypukłości”. Czas trwania, wypukłość i inne miary ryzyka obligacji . Seria Franka J. Fabozziego. 58 . John Wiley i Synowie. Numer ISBN 9781883249632.
• Mayle, Jan (1994), Standardowe metody obliczania papierów wartościowych: Formuły papierów wartościowych o stałym dochodzie dla środków analitycznych , 2 (1st ed.), Securities Industry and Financial Markets Association , ISBN 1-882936-01-9. Standardowe odniesienie do konwencji mających zastosowanie do amerykańskich papierów wartościowych.

Zewnętrzne linki

• Fundusz Inwestycyjny dla Fundacji wyjaśnia niebezpieczeństwa związane z kupowaniem obligacji o wysokiej ujemnej wypukłości
• Samouczek wideo, objaśnienie czasu trwania wiązania i wypukłości
• Wyjaśnienie wypukłości Investopedii