Binarna grupa czworościenna - Binary tetrahedral group

Regularny złożony polytop , 3{6}2 lub lub , przedstawia diagram Cayleya dla binarnej grupy czworościennej, z każdym czerwonym i niebieskim trójkątem skierowanym podwykresem.

W matematyce The binarny grupa czworościenne , oznaczoną 2T lub ⟨2,3,3⟩ jest pewna nieabelowe grupę o aby 24. To przedłużenie o czworościennej grup T lub (2,3,3) w celu 12 przez cykliczna grupa rzędu 2 i jest wstępnym obrazem grupy tetraedrycznej pod homomorfizmem 2:1 obejmującym Spin(3) → SO(3) specjalnej grupy ortogonalnej przez grupę spinową . Wynika z tego, że binarna grupa tetraedryczna jest dyskretną podgrupą Spin(3) rzędu 24. Złożona grupa refleksyjna nazwana 3(24)3 przez GC Shepharda lub 3[3]3 iprzez Coxeter'a jest izomorficzna z grupą czworościennych binarnym.

Binarną grupę tetraedryczną najłatwiej opisać konkretnie jako dyskretną podgrupę kwaternionów jednostkowych , pod izomorfizmem Spin(3) ≅ Sp(1) , gdzie Sp(1) jest multiplikatywną grupą kwaternionów jednostkowych. (Aby zapoznać się z opisem tego homomorfizmu, zobacz artykuł na temat kwaternionów i rotacji przestrzennych ).

Elementy

Wykres Cayleya SL(2,3)

Projekcje symetrii

8-krotnie	12-krotny
24 elementy kwaternionowe: 1 zamówienie-1: 1 1 zamówienie-2: -1 6 rząd-4: ±i, ±j, ±k 8 rząd-6: (+1±i±j±k)/2 8 rząd-3: (-1±i±j±k)/2.

Ściślej, grupa binarnych czworościenne podaje się jako grupy jednostek w pierścieniu z liczb Hurwitz . Są 24 takie jednostki podane przez

${\ Displaystyle \ {\ pm 1, \ pm ja, \ pm j, \ pm k, {\ tfrac {1} {2}} (\ pm 1 \ pm ja \ pm j \ pm k) \}}$

ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków.

Wszystkie 24 jednostki mają wartość bezwzględną 1 i dlatego leżą w grupie kwaternionów jednostek Sp(1). Wypukłe kadłuba z tych 24 elementów w 4-wymiarowej formie przestrzeni A wypukły regularny 4-Polytope nazwał 24-komórka .

Nieruchomości

Binarna grupa czworościenna, oznaczona przez 2T, pasuje do krótkiej dokładnej sekwencji

${\ Displaystyle 1 \ do \ {\ pm 1 \} \ do 2 \ operator {T} \ do \ operator {T} \ do 1.}$

Ta sekwencja nie dzieli , co oznacza, że ​​2T nie jest półbezpośrednim iloczynem {±1} przez T. W rzeczywistości nie ma podgrupy 2T izomorficznej z T.

Binarna grupa tetraedryczna jest grupą pokrywającą grupę tetraedryczną. Myśląc o grupie czworościennej jako o naprzemiennej grupie składającej się z czterech liter, T ≅ A ₄ , mamy zatem binarną grupę czworościenną jako grupę zakrywającą, 2T ≅ .${\displaystyle {\widehat {\mathrm {A} _{4}}}}$

Centrum 2T jest podgrupa {± 1}. Wewnętrzna grupa automorfizmem jest izomorficzny A ₄ , a pełna grupa automorfizmem jest izomorficzny S ₄ .

Mnożenie od lewej przez − ω , element rzędu -6: spójrz na szare, niebieskie, fioletowe i pomarańczowe kule i strzałki, które tworzą 4  orbity (dwie strzałki nie są pokazane). ω samo w sobie jest najniższą kulą: ω = (− ω )(−1) = (− ω ) ⁴

Binarną grupę tetraedryczną można zapisać jako iloczyn półbezpośredni

${\ Displaystyle 2 \ operatorname {T} = \ operatorname {Q} \ rrazy \ operatorname {C} _ {3}}$

gdzie Q jest grupą kwaternionową składającą się z 8 jednostek Lipschitza, a C ₃ jest cykliczną grupą rzędu 3 generowaną przez ω = − 1/2(1 + ja + j + k ) . Grupa Z ₃ działa na normalną podgrupę Q przez koniugację . Koniugacja przez ω to automorfizm Q, który cyklicznie obraca i , j oraz k .

Można wykazać, że binarna grupa tetraedryczna jest izomorficzna ze specjalną grupą liniową SL(2,3) – grupą wszystkich macierzy 2 × 2 nad ciałem skończonym F ₃ z wyznacznikiem jednostkowym, przy czym ten izomorfizm obejmuje izomorfizm specjalnej projekcyjnej grupa liniowa PSL(2,3) z naprzemienną grupą A ₄ .

Prezentacja

Grupa 2T ma prezentację wygłoszoną przez

${\ Displaystyle \ langle r, s, t \ średni r ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {3} = rts \ rangle }$

lub równoważnie,

${\ Displaystyle \ langle s, t \ mid (st) ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {3} \ rangle.}$

Generatory z tymi zależnościami są podane przez

${\ Displaystyle r = i \ qquad s = {\ tfrac {1} {2}} (1 + i + j + k) \ qquad t = {\ tfrac {1} {2}} (1 + i + jk) ,}$

z . ${\ Displaystyle r ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {3} = -1}$

Podgrupy

Binarny czworościenne grupy , 2T = <3,3,2> ma 2 główne podgrupy:
• grupy kwaternionowej , q = <2,2,2> indeks 3
• cykliczne grupy Z6 = <3>, indeks 4.

Grupa kwaternionów składająca się z 8 jednostek Lipschitza tworzy normalną podgrupę 2T o indeksie 3. Ta grupa i centrum {±1} są jedynymi nietrywialnymi podgrupami prawidłowymi.

Wszystkie inne podgrupy 2T to cykliczne grupy generowane przez różne elementy, z rzędami 3, 4 i 6.

Wyższe wymiary

Tak jak grupa tetraedryczna uogólnia się na obrotową grupę symetrii n - simplex (jako podgrupa SO( n )), istnieje odpowiednia wyższa grupa binarna, która jest 2-krotnym pokryciem, pochodzącym z pokrycia Spin( n ) → SO( n ).

Obrotowa grupa symetrii n -simplex może być uważany jako grupy zmiennego o n  + 1 punktów, _{n +1} , a odpowiednie grupy binarnym jest 2-krotnie grupy obejmującej . Dla wszystkich większych wymiarach z wyjątkiem ₆ i A ₇ (co odpowiada 5-wymiarowych i 6-wymiarowych sympleksów), grupa binarnych jest grupa pokrycie (maksymalne pokrycie) i superperfect , ale wymiarowej 5 i 6, znajduje się dodatkowy wyjątkowy 3-krotna okładka, a grupy binarne nie są super idealne.

Wykorzystanie w fizyce teoretycznej

Binarna grupa tetraedryczna została wykorzystana w kontekście teorii Yanga–Millsa w 1956 roku przez Chen Ning Yang i innych. Po raz pierwszy został użyty do budowy modelu fizyki smaku przez Paula Framptona i Thomasa Kepharta w 1994 roku. W 2012 roku wykazano, że związek między dwoma kątami mieszania neutrin, wyprowadzony przy użyciu tej binarnej, tetraedrycznej symetrii smaku, zgadza się z eksperymentem.

Zobacz też

• Binarna grupa wielościenna
• binarna grupa cykliczna , ⟨ n ⟩, rząd 2 n
• binarna grupa dwuścienna , ⟨2,2, n ⟩, rząd 4 n
• binarna grupa oktaedryczna , 2O = ⟨2,3,4⟩, rząd 48
• binarna grupa dwudziestościenna , 2I = ⟨2,3,5⟩, rząd 120

Uwagi

Bibliografia

• Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). O kwaternionyach i oktonionach . Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.
• Coxeter, HSM i Moser, WOJ (1980). Generatory i relacje dla grup dyskretnych, wydanie 4 . Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-09212-9.6.5 Binarne grupy wielościenne, s. 68