Binarna grupa dwudziestościenna - Binary icosahedral group

W matematyce The binarny dwudziestościan grupy 2 I lub ⟨2,3,5⟩ pewna nieabelowe grupa z rzędu 120. To rozszerzenie z dwudziestościennego grupy I lub (2,3,5) w celu 60 przez cykliczną rzędu 2 i jest przedobrazem grupy dwudziestościennej pod homomorfizmem pokrywającym 2:1

${\ Displaystyle \ Operatorname {Spin} (3) \ do \ Operatorname {SO} (3) \,}$

o specjalnej grupy ortogonalnej przez grupy wirowania . Wynika z tego, że binarna grupa dwudziestościenna jest dyskretną podgrupą Spin(3) rzędu 120.

Nie należy jej mylić z pełną grupą dwudziestościenną , która jest inną grupą rzędu 120 i jest raczej podgrupą grupy ortogonalnej O(3).

Binarną grupę dwudziestościenną najłatwiej opisać konkretnie jako dyskretną podgrupę kwaternionów jednostkowych , pod izomorfizmem, gdzie Sp(1) jest grupą multiplikatywną kwaternionów jednostkowych. (Aby zapoznać się z opisem tego homomorfizmu, zobacz artykuł na temat kwaternionów i rotacji przestrzennych ). ${\ Displaystyle \ Operatorname {Spin} (3) \ cong \ Operatorname {Sp} (1)}$

Elementy

120 elementów kwaternionowych widzianych w rzucie 12-krotnym. Podane są zamówienia elementów: 1,2,3,4,5,6,10

Wyraźnie binarna grupa dwudziestościenna jest podana jako suma wszystkich parzystych permutacji następujących wektorów:

• 8 parzystych permutacji ${\ Displaystyle (\ pm 1,0,0,0)}$
• 16 parzystych permutacji ${\ Displaystyle (\ pm 1/2, \ pm 1/2, \ pm 1/2, \ pm 1/2)}$
• 96 parzystych permutacji ${\ Displaystyle (0, \ pm 1/2, \ pm \ phi /2, \ pm \ phi / 2)}$

Tutaj jest stosunek złote . ${\ Displaystyle \phi = {\ Frac {1+ {\ sqrt {5}}} {2}}}$

W sumie jest 120 elementów, czyli jednostkowych ikosjan . Wszystkie mają wielkość jednostkową i dlatego leżą w grupie kwaternionów jednostkowych Sp(1).

120 elementów w 4-wymiarowej przestrzeni pasuje do 120 wierzchołków 600-cell , regularny 4-politop .

Nieruchomości

Centralne rozszerzenie

Binarna grupa dwudziestościenna, oznaczona przez 2 I , jest uniwersalnym doskonałym centralnym rozszerzeniem grupy dwudziestościennej, a zatem jest quasiprosta : jest doskonałym centralnym rozszerzeniem prostej grupy.

Wyraźnie pasuje do krótkiej dokładnej sekwencji

${\ Displaystyle 1 \ do \ {\ pm 1 \} \ do 2 I \ do I \ do 1. \,}$

Sekwencja ta jest podzielona , co oznacza, że dwa , że to nie iloczynów produkt z {± 1} o I . W rzeczywistości nie ma podgrupy 2 I izomorficznej z I .

Ośrodek z 2 I jest podgrupa {± 1}, tak że wewnętrzny zespół automorfizmem jest izomorficzny I . Pełna grupa automorfizmu jest izomorficzna z S ₅ ( symetryczna grupa na 5 literach), tak jak dla - każdy automorfizm 2 I ustala nietrywialny element środka ( ), stąd schodzi do automorfizmu I i odwrotnie, każdy automorfizm I winduje do automorfizmu 2 I, ponieważ winda generatorów I jest generatorami 2 I (różne windy dają ten sam automorfizm). ${\ Displaystyle I \ cong A_ {5}}$${\ Displaystyle -1}$

Superidealny

Binarna grupa dwudziestościenna jest doskonała , co oznacza , że jest równa swojej podgrupie komutatora . W rzeczywistości 2 I jest unikalną idealną grupą porządku 120. Wynika z tego, że 2 I nie jest rozwiązywalne .

Co więcej, binarna grupa dwudziestościenna jest superdoskonała , co oznacza abstrakcyjnie, że jej dwie pierwsze grupy homologiczne znikają: Konkretnie oznacza to, że jej abelianizacja jest trywialna (nie ma nietrywialnych ilorazów abelowych) i że jej mnożnik Schura jest trywialny (nie ma nietrywialne doskonałe przedłużenia centralne). W rzeczywistości binarna grupa dwudziestościenna jest najmniejszą (nietrywialną) grupą superdoskonałą. ${\ Displaystyle H_ {1} (2I; \ mathbf {Z} ) \ cong H_ {2} (2 I; \ mathbf {Z}) \ cong 0.}$

Binarna grupa dwudziestościenna nie jest jednak acykliczna , ponieważ _Hn ( 2I , Z ) jest cykliczna rzędu 120 dla n = 4 k +3 i trywialna dla n > 0 w przeciwnym razie ( Adem i Milgram 1994 , s. 279) .

Izomorfizmy

Konkretnie, binarna grupa dwudziestościenna jest podgrupą Spin(3) i obejmuje grupę dwudziestościenną, która jest podgrupą SO(3). Abstrakcyjnie, grupa dwudziestościenna jest izomorficzna z symetriami 4- simplex , który jest podgrupą SO(4), a binarna grupa dwudziestościenna jest izomorficzna z podwójną osłoną tej w Spin(4). Należy zauważyć, że grupa symetryczna nie mają reprezentację 4-wymiarową (zwyczajowej najniższym wymiarową nieredukowalnego reprezentację jako pełną symetrię Spośród -simplex), a pełne symetrie 4-Simplex zatem nie pełna grupa dwudziestościan (są dwie różne grupy zamówienia 120). ${\ Displaystyle S_ {5}}$ ${\displaystyle (n-1)}$${\ Displaystyle S_ {5},}$

Binarną grupę dwudziestościenną można uznać za podwójne pokrycie grupy naprzemiennej, co oznacza, że izomorfizm obejmuje izomorfizm grupy dwudziestościennej z grupą naprzemienną . Podobnie jak dyskretna podgrupa , jest dyskretną podgrupą podwójnego nad , a mianowicie . Homomorfizm 2-1 od do ogranicza się do homomorfizmu 2-1 od do . Podobnie jest dyskretna podgrupa , a jej dwie podwójne osłony są dyskretnymi podgrupami dwóch grup Pinów . ${\ Displaystyle A_ {5},}$${\ Displaystyle 2 \ cdot A_ {5} \ cong 2I;}$${\ Displaystyle A_ {5} \ cong I}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle \ operatorname {SO} (3)}$${\displaystyle 2I}$${\ Displaystyle \ operatorname {SO} (3)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spin} (3) \ cong \ operatorname {SU} (2)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spin} (3)}$${\ Displaystyle \ operatorname {SO} (3)}$${\displaystyle 2I}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle S_ {5}}$${\displaystyle O(3)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Pin} ^ {\ pm} (3)}$

Można wykazać, że binarna grupa dwudziestościenna jest izomorficzna ze specjalną grupą liniową SL(2,5) — grupą wszystkich macierzy 2×2 nad ciałem skończonym F ₅ z wyznacznikiem jednostkowym; Obejmuje to wyjątkowe Izomorfizm z z rzutowej specjalnego liniową grupę PSL (2,5). ${\ Displaystyle I \ cong A_ {5}}$

Zwróć także uwagę na wyjątkowy izomorfizm, który jest inną grupą rzędu 120, gdzie przemienny kwadrat SL, GL, PSL, PGL jest izomorficzny z przemiennym kwadratem, który jest izomorficzny z podgrupami przemiennego kwadratu Spin(4), Pin( 4), SO(4), O(4). ${\ Displaystyle PGL (2,5) \ cong S_ {5},}$${\ Displaystyle 2 \ cdot A_ {5}, 2 \ cdot S_ {5}, A_ {5}, S_ {5},}$

Prezentacja

Grupa 2 I ma prezentację danych przez

${\ Displaystyle \ langle r, s, t \ średni r ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {5} = rst \ rangle}$

lub równoważnie,

${\ Displaystyle \ langle s, t \ mid (st) ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {5} \ rangle.}$

Generatory z tymi zależnościami są podane przez

${\ Displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (1 + i + j + k) \ qquad t = {\ tfrac {1} {2}} (\ varphi + \ varphi ^ {-1} i +j).}$

Podgrupy

Podgrupy:
• binarna grupa czworościenna : 2T =⟨2,3,3⟩
• 3 binarna grupa dwuścienna : Q ₂₀ =⟨2,2,5⟩, Q ₁₂ =⟨2,2,3⟩, Q ₈ =⟨2, 2,2⟩
• 3 binarne grupy cykliczne : Z ₁₀ =⟨5⟩, Z ₆ =⟨3⟩, Z ₄ =⟨2⟩
• 3 grupy cykliczne : Z ₅ =(5), Z ₃ =(3), Z ₂ =(2)
• 1 grupa trywialna : ( )

Jedyną prawidłową normalną podgrupą 2 I jest centrum { ±1 }.

Według trzeciego twierdzenia o izomorfizmie istnieje połączenie Galois między podgrupami o 2 I a podgrupami o I , gdzie operatorem domknięcia na podgrupach o 2 I jest mnożenie przez { ±1 }.

${\ Displaystyle -1}$jest jedynym elementem rzędu 2, a więc jest zawarty we wszystkich podgrupach rzędu parzystego: zatem każda podgrupa rzędu 2 I jest albo rzędu nieparzystego, albo jest przedobrazem podgrupy rzędu I .

Oprócz cyklicznych grup generowanych przez różne elementy (które mogą mieć nieparzysty porządek), jedyne inne podgrupy 2 I (do koniugacji) to:

• binarne grupy dwuścienne , Dic ₅ =Q20=⟨2,2,5⟩, rząd 20 i Dic ₃ =Q12=⟨2,2,3⟩ rzędu 12
• Grupa kwaternion , Q8 = ⟨2,2,2⟩, składający się z 8 jednostkami Lipschitz stanowi podgrupę wskaźnika 15, który jest również dicykliczną grupa Dic ₂ ; obejmuje to stabilizator krawędzi.
• 24 jednostki Hurwitza tworzą podgrupę o indeksie 5 zwaną binarną grupą tetraedryczną ; obejmuje to chiralną grupę czworościenną . Grupa ta ulega autonormalizacji, więc jej klasa sprzężona liczy 5 członków (to daje mapę, której obrazem jest ).${\ Displaystyle 2I \ do S_ {5}}$${\ Displaystyle A_ {5}}$

Związek z 4-wymiarowymi grupami symetrii

4-wymiarowy analog dwudziestościennej grupy symetrii I _h jest grupą symetrii 600-komórki (również jej podwójnej, 120-komórkowej ). Tak jak pierwsza jest grupą Coxetera typu H ₃ , druga jest grupą Coxetera typu H ₄ , również oznaczoną [3,3,5]. Jej podgrupa rotacyjna, oznaczona [3,3,5] ⁺ to grupa rzędu 7200 zamieszkująca SO(4) . SO(4) ma podwójną okładkę o nazwie Spin(4), podobnie jak Spin(3) jest podwójną okładką SO(3). Podobnie do izomorfizmu Spin(3) = Sp(1), grupa Spin(4) jest izomorficzna z Sp(1) × Sp(1).

Wstępny obraz [3,3,5] ⁺ w Spin(4) (czterowymiarowy odpowiednik 2 I ) jest dokładnie grupą produktów 2 I × 2 I rzędu 14400. Grupa symetrii obrotowej komórki 600 jest następnie

[3,3,5] ⁺ = ( 2 I × 2 I ) / { ±1 }.

Różne inne 4-wymiarowe grupa symetrii może być wykonana z 2 I . Aby uzyskać szczegółowe informacje, patrz (Conway i Smith, 2003).

Aplikacje

Przestrzeń coset Spin(3) / 2 I = S ³ / 2 I jest sferyczną 3-rozmaitością zwaną sferą homologii Poincarégo . Jest to przykład sfery homologii , tj. 3-rozmaitości, której grupy homologii są identyczne jak grupy 3-sfery . Podstawową grupę kuli Poincaré jest izomorficzny binarnego grupy dwudzieściennym jako sfera Poincare jest ilorazem 3-kuli, binarnego grupy dwudzieściennym.

Zobacz też

• binarna grupa wielościenna
• binarna grupa cykliczna , ⟨ n ⟩, rząd 2 n
• binarna grupa dwuścienna , ⟨2,2, n ⟩, rząd 4 n
• binarna grupa czworościenna , 2T=⟨2,3,3⟩, rząd 24
• binarna grupa oktaedryczna , 2O=⟨2,3,4⟩, rząd 48

Bibliografia

Uwagi