Krzywa wypełniania przestrzeni - Space-filling curve

Trzy iteracje konstrukcji krzywej Peano , której ograniczeniem jest krzywa wypełniająca przestrzeń.

W analizy matematycznej , A krzywej przestrzennej do napełniania jest łuk , którego zakres jest cały 2-wymiarową kwadrat jednostki (lub ogólnie n wymiarową jednostka hipersześcian ). Ponieważ Giuseppe Peano (1858-1932) był pierwszym, który je odkrył, krzywe wypełniające przestrzeń w płaszczyźnie dwuwymiarowej są czasami nazywane krzywymi Peano , ale to zdanie odnosi się również do krzywej Peano , specyficznego przykładu krzywej wypełniającej przestrzeń znaleziony przez Peano.

Definicja

Intuicyjnie, krzywa w dwóch lub trzech (lub wyższych) wymiarach może być traktowana jako ścieżka ciągle poruszającego się punktu. Aby wyeliminować nieodłączną niejasność tego pojęcia, Jordan w 1887 r. wprowadził następującą rygorystyczną definicję, która od tego czasu została przyjęta jako dokładny opis pojęcia krzywej :

W najogólniejszej postaci zasięg takiej funkcji może leżeć w dowolnej przestrzeni topologicznej , ale w najpowszechniej badanych przypadkach będzie leżeć w przestrzeni euklidesowej, takiej jak płaszczyzna dwuwymiarowa ( krzywa planarna ) lub Przestrzeń trójwymiarowa ( krzywa przestrzenna ).

Czasami krzywa jest utożsamiana z obrazem funkcji (zestawem wszystkich możliwych wartości funkcji), a nie z samą funkcją. Możliwe jest również zdefiniowanie krzywych bez punktów końcowych jako funkcji ciągłej na linii rzeczywistej (lub w przedziale otwartej jednostki  (0, 1) ).

Historia

W 1890 Peano odkrył ciągłą krzywą, zwaną obecnie krzywą Peano , która przechodzi przez każdy punkt kwadratu jednostkowego ( Peano (1890) ). Jego celem było skonstruowanie ciągłego odwzorowania z przedziału jednostkowego na kwadrat jednostkowy . Motywacją Peano był wcześniejszy sprzeczny z intuicją wynik Georga Cantora , że nieskończona liczba punktów w przedziale jednostkowym jest taką samą kardynalnością jak nieskończona liczba punktów w dowolnej rozmaitości skończenie wymiarowej , takiej jak kwadrat jednostkowy. Problem rozwiązany przez Peano polegał na tym, czy takie mapowanie może być ciągłe; czyli krzywa wypełniająca przestrzeń. Rozwiązanie Peano nie ustanawia ciągłej zależności jeden do jednego między interwałem jednostkowym a kwadratem jednostkowym i rzeczywiście taka zależność nie istnieje (patrz „Właściwości” poniżej).

Powszechne było kojarzenie niejasnych pojęć cienkości i jednowymiarowości z krzywymi; wszystkie normalnie spotykane krzywe były różniczkowalne odcinkowo (to znaczy miały pochodne odcinkowo ciągłe), a takie krzywe nie mogą wypełnić całego kwadratu jednostkowego. Dlatego krzywa wypełniania przestrzeni Peano okazała się wysoce sprzeczna z intuicją.

Z przykładu Peano łatwo było wydedukować krzywe ciągłe, których zakresy zawierały n- wymiarowy hipersześcian (dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n ). Łatwo też było rozszerzyć przykład Peano na krzywe ciągłe bez punktów końcowych, które wypełniały całą n- wymiarową przestrzeń euklidesową (gdzie n to 2, 3 lub jakakolwiek inna dodatnia liczba całkowita).

Większość dobrze znanych krzywych wypełniania przestrzeni jest konstruowana iteracyjnie jako granica ciągu odcinkowo liniowych krzywych ciągłych, z których każda jest bardziej zbliżona do granicy wypełniania przestrzeni.

Przełomowy artykuł Peano nie zawierał ilustracji jego konstrukcji, która definiowana jest w kategoriach rozwinięć trójskładnikowych i operatora lustrzanego . Ale konstrukcja graficzna była dla niego zupełnie jasna — wykonał ozdobną płytkę przedstawiającą krzywą w swoim domu w Turynie. Artykuł Peano również kończy się spostrzeżeniem, że technikę tę można oczywiście rozszerzyć na inne nieparzyste podstawy poza zasadą 3. Jego wybór, aby uniknąć jakichkolwiek odwołań do graficznej wizualizacji, był motywowany pragnieniem uzyskania całkowicie rygorystycznego dowodu, niczego nie wynikającego z obrazów. W owym czasie (początek podstaw topologii ogólnej) argumenty graficzne wciąż były uwzględniane w dowodach, ale stawały się przeszkodą w zrozumieniu często sprzecznych z intuicją wyników.

Rok później David Hilbert opublikował w tym samym czasopiśmie wariację konstrukcji Peano ( Hilbert 1891 ). Artykuł Hilberta był pierwszym, który zawierał obraz pomagający zwizualizować technikę budowy, zasadniczo taką samą, jak pokazano tutaj. Analityczna postać krzywej Hilberta jest jednak bardziej skomplikowana niż u Peano.

Sześć iteracji konstrukcji krzywej Hilberta, której graniczna krzywa wypełniająca przestrzeń została opracowana przez matematyka Davida Hilberta .

Zarys budowy krzywej wypełniającej przestrzeń

Niech oznaczają miejsca Cantora . ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {2} ^ {\ mathbb {N}}}$

Zaczynamy od funkcji ciągłej z przestrzeni Cantora na cały przedział jednostkowy . (Ograniczenie funkcji Cantora do zbioru Cantora jest przykładem takiej funkcji.) Z tego otrzymujemy funkcję ciągłą z iloczynu topologicznego na cały kwadrat jednostkowy przez ${\displaystyle \scriptstyle h}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \scriptstyle [0,\,1]}$${\ Displaystyle \ scriptstyle H}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \scriptstyle [0,\,1]\;\times \;[0,\,1]}$

${\ Displaystyle H (x, y) = (h (x), h (y)). \,}$

Ponieważ zbiór Cantora jest homeomorficzny w stosunku do produktu , istnieje ciągła bijekcja ze zbioru Cantora na . Kompozycja z i jest ciągłą odwzorowywania funkcji zbiór Cantora na całej placu urządzenia. (Alternatywnie moglibyśmy użyć twierdzenia, że ​​każda zwarta przestrzeń metryczna jest ciągłym obrazem zbioru Cantora, aby uzyskać funkcję .) ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}\razy {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \scriptstyle g}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \scriptstyle f}$${\ Displaystyle \ scriptstyle H}$${\displaystyle \scriptstyle g}$${\displaystyle \scriptstyle f}$

Wreszcie można rozszerzyć do funkcji ciągłej, której dziedziną jest cały przedział jednostkowy . Można to zrobić albo za pomocą twierdzenia Tietzego o rozszerzeniu na każdym ze składników , albo po prostu rozszerzając „liniowo” (to znaczy, na każdym z usuniętych przedziałów otwartych w konstrukcji zbioru Cantora, definiujemy część rozszerzenia od się segment linii w kwadracie jednostki łączącej wartości i ). ${\displaystyle \scriptstyle f}$${\displaystyle \scriptstyle F}$${\displaystyle \scriptstyle [0,\,1]}$${\displaystyle \scriptstyle f}$${\displaystyle \scriptstyle f}$${\displaystyle \scriptstyle (a,\,b)}$${\displaystyle \scriptstyle F}$${\displaystyle \scriptstyle (a,\,b)}$${\displaystyle \scriptstyle f(a)}$${\displaystyle \scriptstyle f(b)}$

Nieruchomości

Morton i Hilberta krzywe poziomu 6 (4 ⁵ = 1024 komórek na rekurencyjnym kwadratowy partycji ) wykreślanie co adres jako innego koloru w standardzie RGB i stosując Geohash etykiet. Okolice mają podobne kolory, ale każda krzywa oferuje inny wzór grupowania podobnych w mniejszych skalach.

Jeżeli krzywa nie jest iniektywna, to można znaleźć dwie przecinające się podkrzywe krzywej, każdą uzyskaną przez rozważenie obrazów dwóch rozłącznych odcinków z dziedziny krzywej (odcinka linii jednostkowej). Dwie podkrzywe przecinają się, jeśli przecięcie dwóch obrazów nie jest puste . Można pokusić się o stwierdzenie, że znaczenie przecinających się krzywych polega na tym, że z konieczności przecinają się one, jak punkt przecięcia dwóch nierównoległych linii, z jednej strony na drugą. Jednak dwie krzywe (lub dwie podkrzywe jednej krzywej) mogą stykać się ze sobą bez przecinania się, jak na przykład linia styczna do okręgu.

Nieprzecinająca się krzywa ciągła nie może wypełnić kwadratu jednostkowego, ponieważ spowoduje to, że krzywa będzie homeomorfizmem od przedziału jednostkowego do kwadratu jednostkowego (każda ciągła bijekcja z przestrzeni zwartej na przestrzeń Hausdorffa jest homeomorfizmem). Ale kwadrat jednostkowy nie ma punktu odcięcia , a więc nie może być homeomorficzny z przedziałem jednostkowym, w którym wszystkie punkty z wyjątkiem punktów końcowych są punktami odcięcia. Istnieją nie przecinające się krzywe o niezerowej powierzchni, krzywe Osgooda , ale nie wypełniają one przestrzeni.

W przypadku klasycznych krzywych Peano i Hilberta wypełniających przestrzeń, gdzie przecinają się dwie podkrzywe (w sensie technicznym), występuje samokontakt bez samoskrzyżowania. Krzywa wypełniająca przestrzeń może (wszędzie) przecinać się samoczynnie, jeśli jej krzywe aproksymacyjne są samoprzecinające się. Przybliżenia krzywej wypełniania przestrzeni mogą być samounikające, jak ilustrują powyższe rysunki. W 3 wymiarach samounikające się krzywe aproksymacji mogą nawet zawierać węzły . Krzywe aproksymacyjne pozostają w ograniczonej części przestrzeni n- wymiarowej, ale ich długości rosną bez ograniczeń.

Krzywe wypełniające przestrzeń są szczególnymi przypadkami krzywych fraktalnych . Nie może istnieć różniczkowalna krzywa wypełniająca przestrzeń. Z grubsza rzecz biorąc, różniczkowalność ogranicza szybkość, z jaką krzywa może się obracać.

Twierdzenie Hahna-Mazurkiewicza

Twierdzenie Hahna – Mazurkiewicza to następująca charakterystyka przestrzeni będących ciągłym obrazem krzywych:

Niepusty Hausdorffa Przestrzeń topologiczna jest obrazem ciągłym przedziału jednostkowego wtedy i tylko wtedy, gdy jest to zwarty, połączony , lokalnie podłączony , drugiego przeliczalna przestrzeń .

Przestrzenie, które są ciągłym obrazem interwału jednostkowego, są czasami nazywane przestrzeniami Peano .

W wielu sformułowaniach twierdzenia Hahna-Mazurkiewicza sekunda policzalna jest zastępowana przez metryzowalne . Te dwie formuły są równoważne. W jednym kierunku zwarta przestrzeń Hausdorffa jest przestrzenią normalną i, zgodnie z twierdzeniem Urysohna o metryzacji , liczba policzalna przez sekundy oznacza metryzowalność. I odwrotnie, kompaktowa przestrzeń metryczna jest policzalna jako sekunda.

grupy kleinowskie

W teorii podwójnie zdegenerowanych grup kleinowskich istnieje wiele naturalnych przykładów krzywych wypełniających przestrzeń, a raczej sferycznych . Na przykład, Cannon i Thurston (2007) wykazali, że koło w nieskończoności uniwersalnego pokrywy z włóknem torusa mapowania z mapą pseudo Anosov krzywą kuli napełniania. (Tutaj sfera jest sferą w nieskończoności hiperbolicznej 3-przestrzeni .)

Integracja

Wiener wskazał w The Fourier Integral and Certain of its Applications, że krzywe wypełniania przestrzeni można wykorzystać do zredukowania integracji Lebesgue'a w wyższych wymiarach do integracji Lebesgue'a w jednym wymiarze.

Zobacz też

• Krzywa smoka
• Krzywa Gospera
• Krzywa Hilberta
• Krzywa Kocha
• Krzywa Moore'a
• Wielokąt Murraya
• Krzywa Sierpińskiego
• Drzewo wypełniające przestrzeń
• Indeks przestrzenny
• Hilbert R-drzewo
• B ^x -drzewo
• Porządek Z (krzywa) (Porządek Mortona)
• Lista fraktali według wymiaru Hausdorffa

Bibliografia

• Cannon, James W.; Thurston, William P. (2007) [1982], „Grupa niezmiennicze krzywe Peano”, Geometria i topologia , 11 (3): 1315-1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.315 , ISSN  1465-3060 , MR  2326947
• Hilbert, D. (1891), „Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück” , Mathematische Annalen (w języku niemieckim), 38 (3): 459-460, doi : 10.1007/BF01199431 , S2CID  123643081
• Mandelbrot, BB (1982), "Ch. 7: Wykorzystanie krzywych potwora Peano", fraktalna geometria natury , WH Freeman.
• McKenna, Douglas M. (1994), "SquaRecurves, E-Tours, Eddies i Frenzies: Podstawowe rodziny krzywych Peano na siatce kwadratowej", w Guy, Richard K .; Woodrow, Robert E. (red.), The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Rekreacyjna Matematyka i jej Historia , Mathematical Association of America , s.  49-73 , ISBN 978-0-88385-516-4.
• Peano, G. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire samolot" , Mathematische Annalen (w języku francuskim), 36 (1): 157-160, doi : 10.1007/BF01199438 , S2CID  179177780.
• Sagan, Hans (1994), krzywe wypełniania przestrzeni , Universitext, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3, MR  1299533.

Zewnętrzne linki

• Wielowymiarowe krzywe wypełniające przestrzeń
• Dowód na istnienie bijekcji w momencie odcięcia węzła

Aplety Java:

• Krzywe wypełniania płaszczyzny Peano przy przecięciu węzła
• Krzywe Hilberta i Moore'a wypełniające samolot w punkcie przecięcia węzła
• Wszystkie krzywe wypełniania płaszczyzny Peano przy przecięciu węzła